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數(shù)形結(jié)合思想在“點(diǎn)”上的體現(xiàn)
——“平面直角坐標(biāo)系（1）”的教學(xué)設(shè)計與反思

☉江蘇省淮安工業(yè)園區(qū)實(shí)驗(yàn)學(xué)校李賓

一、背景介紹

眾所周知，圖的由來是函數(shù)圖像教學(xué)的基礎(chǔ)，而平面直角坐標(biāo)系的引入又成為基礎(chǔ)的基礎(chǔ).新課程標(biāo)準(zhǔn)指出，學(xué)生對有關(guān)的數(shù)學(xué)內(nèi)容進(jìn)行探索、實(shí)踐和思考的過程就是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程.從這個意義上來說，學(xué)生應(yīng)當(dāng)成為學(xué)習(xí)活動的主體，教師應(yīng)成為學(xué)習(xí)活動的組織者、引導(dǎo)者與合作者.作為教師，首先應(yīng)考慮如何調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性和積極性，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會自主探究、創(chuàng)新，教師在發(fā)揮組織、引導(dǎo)作用的同時，又是學(xué)生的合作者和好朋友，而非居高臨下的“統(tǒng)治者”“管理者”.基于以上認(rèn)識，筆者于本周進(jìn)行了一次對市公開課的教學(xué)嘗試，從了解平面直角坐標(biāo)系、坐標(biāo)軸、點(diǎn)的坐標(biāo)等概念開始，到會正確地畫出直角坐標(biāo)系，并會在給定的平面直角坐標(biāo)系中，由點(diǎn)的位置寫出它的坐標(biāo)，根據(jù)坐標(biāo)描出點(diǎn)的位置，以“點(diǎn)”為中心順次展開，在數(shù)形結(jié)合中體現(xiàn)“點(diǎn)”的強(qiáng)大作用.下面就將本課的教學(xué)設(shè)計進(jìn)行分享和展示.

二、教學(xué)設(shè)計

（一）課前準(zhǔn)備

復(fù)習(xí)數(shù)軸相關(guān)概念.

①什么是數(shù)軸？__________________________.

②圖1中A、B、C三個點(diǎn)分別表示什么數(shù)：

圖1

A點(diǎn)表示___，B點(diǎn)表示___，C點(diǎn)表示___.

③在②的數(shù)軸上標(biāo)出表示-1.5、0、3的對應(yīng)點(diǎn)D、E、F.

④數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)之間是一種什么關(guān)系？__________________________.

（二）課中探究

1.引入概念：平面直角坐標(biāo)系

平面上互相垂直且有公共原點(diǎn)的兩條數(shù)軸構(gòu)成平面直角坐標(biāo)系，簡稱為直角坐標(biāo)系.（也稱為笛卡兒坐標(biāo)系.）

問題：①要實(shí)現(xiàn)平面上點(diǎn)的定位，在平面上必須畫幾條數(shù)軸？

②從方便、直觀等方面考慮，兩條數(shù)軸要滿足哪些條件？

圖2

（兩條、互相垂直、原點(diǎn)重合且具有相同單位長度）

2.象限

坐標(biāo)軸將平面分成的四個區(qū)域稱為象限，按逆時針順序分別記為第一象限、第二象限、第三象限、第四象限.圖2中，點(diǎn)A、B、O、C、D、E、F不屬于任何象限，這些點(diǎn)是坐標(biāo)軸上的點(diǎn)，因此可以說坐標(biāo)軸上的點(diǎn)不屬于任何一個象限.

3.點(diǎn)的坐標(biāo)

（1）已知點(diǎn)的位置確定坐標(biāo).

問題：①結(jié)合生活中的實(shí)例，談?wù)勀銣?zhǔn)備怎么描述音樂噴泉的位置；②在圖3中你能用不同的表示方法來表示點(diǎn)G嗎？如何描述？

圖3

辨析：能指出（150，-100）所表示的點(diǎn)的位置嗎？是點(diǎn)G嗎？（利用圖3研究）

嘗試：請在圖4所示的平面直角坐標(biāo)系中，分別表示出A、B、C、D、E、F的坐標(biāo).

（2）已知點(diǎn)的坐標(biāo)確定位置.

圖4

嘗試：在圖4所示的平面直角坐標(biāo)系中，描出坐標(biāo)（-3，6）、（0，6）、（3，6）、（3，3）、（3，-3）、（-3，-3）、（-1，0）、（-3，3）所對應(yīng)的點(diǎn)G、H、I、J、K、L、M、N.

（三）探究規(guī)律

探究1：平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)的特征：①各個象限內(nèi)點(diǎn)的符號特征；②各個象限內(nèi)點(diǎn)的絕對值特征；③坐標(biāo)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征.

探究2：①一般情況下，表示點(diǎn)的坐標(biāo)的兩個數(shù)值不能互換，有沒有一個點(diǎn)的坐標(biāo)，它的兩個數(shù)值可以互換？若有，它在哪里？

②第二、四象限角平分線上的點(diǎn)的坐標(biāo)有什么特征？

③對于點(diǎn)P（a，b），a的數(shù)值變化、b的數(shù)值不變，那么點(diǎn)P的位置會如何呢？

④對于點(diǎn)P（a，b），a的數(shù)值不變、b的數(shù)值變化，那么點(diǎn)P的位置會發(fā)生怎樣的變化？

（四）歸納小結(jié)

歸納：本節(jié)課你學(xué)到了哪些知識？學(xué)會了哪些本領(lǐng)？掌握了哪些數(shù)學(xué)思想方法？還有哪些困惑？

小結(jié)：四個“一”.

一種工具——平面直角坐標(biāo)系；

一種方法——確定點(diǎn)及圖形的位置；

一種思想——數(shù)形結(jié)合思想（數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微），

一次經(jīng)歷——建立平面直角坐標(biāo)系及其運(yùn)用過程，

一份收獲——多了解決問題的工具、解決問題的思想方法.

三、教學(xué)反思與感悟

1.以實(shí)際問題為背景，將數(shù)形結(jié)合落實(shí)到“點(diǎn)”上

本節(jié)課讓學(xué)生經(jīng)歷在同一直線上的點(diǎn)可以畫一條數(shù)軸來表示，聯(lián)想不在同一直線上的點(diǎn)需要畫兩條數(shù)軸才能表示，通過一組生活中的實(shí)際問題的解決與感悟，構(gòu)建平面直角坐標(biāo)系，感受數(shù)形結(jié)合、類比轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，揭示人類認(rèn)識世界是由特殊到一般、具體到抽象、一維到多維等認(rèn)識規(guī)律.另外，通過點(diǎn)和數(shù)之間建立的一一對應(yīng)的關(guān)系，使學(xué)生更直觀地得到坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)與有序?qū)崝?shù)對的關(guān)系，從而更加貼近學(xué)生的實(shí)際生活，讓數(shù)學(xué)生活化.通過游戲過程中的感受和體會，進(jìn)一步提高學(xué)生提出問題、分析問題、解決問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生積極參與、勤于思考、勇于創(chuàng)新的意識.這樣的教學(xué)設(shè)計從學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，抓住“點(diǎn)”這個基本元素，將學(xué)生已有的知識和經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行聯(lián)系，幫助學(xué)生分析和理解平面直角坐標(biāo)系，從而能夠更好地把數(shù)形結(jié)合思想滲透到實(shí)處，落實(shí)到點(diǎn)上.

2.以“點(diǎn)”為橋梁，滲透數(shù)學(xué)思想

本課是函數(shù)部分內(nèi)容的起始課，需要將數(shù)與形之間建立一一對應(yīng)的聯(lián)系，需要不斷讓學(xué)生感受組成圖像的核心元素——點(diǎn)與各個知識點(diǎn)之間的聯(lián)系，理清知識之間的關(guān)聯(lián)，形成知識結(jié)構(gòu)圖，在每一個環(huán)節(jié)都能有效滲透數(shù)學(xué)思想方法.

（1）滲透特殊與一般的思想.

從實(shí)際問題開始，學(xué)生就逐漸理解平面直角坐標(biāo)系對于解決問題的價值和作用，即研究普通的圖形需要從具體的點(diǎn)入手，滲透了由一般到特殊的數(shù)學(xué)思想.在平面直角坐標(biāo)系的建立過程中，數(shù)學(xué)思想的滲透是不間斷的.

（2）體現(xiàn)學(xué)生的主體性.

本課從數(shù)軸上的數(shù)表示開始，引導(dǎo)學(xué)生思考后排學(xué)生的位置如何表示，于是類比數(shù)軸的建立提出再引入一條數(shù)軸，建立了平面直角坐標(biāo)系.接著通過規(guī)律探究，認(rèn)識平面內(nèi)的點(diǎn)與其坐標(biāo)的對應(yīng)關(guān)系.在這個過程中，首先，教師是以一個參與者的角色出現(xiàn)，和學(xué)生一起發(fā)現(xiàn)問題、解決問題，分享學(xué)生每一次成功的喜悅；其次，才以引導(dǎo)者出現(xiàn)，善于捕捉學(xué)生每一次思維的閃光點(diǎn)，及時給予鼓勵，在學(xué)生陷入困境的時候再及時給予點(diǎn)撥，使學(xué)生自始至終在愉悅的氛圍中學(xué)習(xí).為了真正做到把學(xué)習(xí)的權(quán)利交還給學(xué)生，體驗(yàn)做數(shù)學(xué)的樂趣，在平面直角坐標(biāo)系發(fā)現(xiàn)及點(diǎn)的坐標(biāo)歸納的學(xué)習(xí)過程中，筆者把觀察時間交給學(xué)生、想象的空間交給學(xué)生、發(fā)現(xiàn)的過程交給學(xué)生、抽象概括的機(jī)會交給學(xué)生，讓學(xué)生自己說思維，講過程，探方法，找規(guī)律，請學(xué)生到前臺展示成果，講解思路、方法，充分體現(xiàn)了“學(xué)生是主體、是學(xué)習(xí)的主人”的思想理念.

（3）依據(jù)課本設(shè)計教案體現(xiàn)課改精神.

平面直角坐標(biāo)系是發(fā)展學(xué)生空間觀念的重要載體，是溝通代數(shù)與幾何的橋梁，是非常重要的數(shù)學(xué)工具.在教學(xué)中，筆者運(yùn)用不同的教學(xué)方式，不斷深化學(xué)生的思維.其中，既有老師的組織與引導(dǎo)，又有學(xué)生的思考與合作；既有老師的點(diǎn)撥，又有學(xué)生的講解；既有操作體驗(yàn)，又有語言表述；既有基礎(chǔ)訓(xùn)練，又有拓展延伸；課堂上生生互動、師生互動，讓學(xué)生體驗(yàn)成功的樂趣，不同層次的學(xué)生都得到發(fā)展.在此基礎(chǔ)上，類比數(shù)軸，探討了在平面內(nèi)確定點(diǎn)的位置的方法，引出平面直角坐標(biāo)系，實(shí)現(xiàn)由一維到二維的過渡.另外，教學(xué)時使學(xué)生經(jīng)歷知識的生成和發(fā)展過程，體會學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的必要性，真正把學(xué)習(xí)的主動權(quán)交給學(xué)生，引導(dǎo)學(xué)生自主去探索和發(fā)現(xiàn)，留給學(xué)生充足的空間和機(jī)會，在豐富、有趣的數(shù)學(xué)活動中，積極思考、充分探究、獲取知識、發(fā)展能力，培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì)和學(xué)習(xí)素養(yǎng).

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3.季衛(wèi)東.變式取向：從“標(biāo)準(zhǔn)模式”到“非標(biāo)準(zhǔn)模式”——以“軸對稱最值問題”解題教學(xué)為例［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2014（3）.Z