高三數(shù)學綜合測試

一、填空題(本大題共14小題,每小題5分,共70分)

3.已知l1:x+ay+6=0和l2:(a-2)x+3y+2a=0，則直線l1∥l2的充要條件是a=______.

4.設x∈{-1,1},y∈{-2,0,2}，則以(x,y)為坐標的點落在不等式x+2y≥1所表示的平面區(qū)域內的概率為______.

5.根據(jù)如圖所示的偽代碼,可知輸出的結果S為______.

第5題圖

6. 一個樣本a,3,4,5,6的解的平均數(shù)是b,且不等式x2-6x+c<0的解集是(a,b)，則這個樣本的標準差是______.

8.已知P是直線l:kx+y+4=0(k>0)上一動點,PA,PB是圓C:x2+y2-2y=0的兩條切線,切點分別為A,B.若四邊形PACB的最小面積為2,則k=______.

13.設定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(0)=1,若對任意的x∈R,都有f(x+2)-f(x)≤5·3x,f(x+4)-f(x)≥50·3x,則f(8)=______.

14.已知函數(shù)

若函數(shù)y=f(f(x)-a)有四個零點，則實數(shù)a的所有可能取值構成的集合是______.

二、解答題(本大題共6小題，共90分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)

(1)求ω的值，并求函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,π]上的單調增區(qū)間；

16.(本小題滿分14分)如圖,在四棱錐P-ABCD中,O為AC與BD的交點,AB⊥平面PAD,?PAD是正三角形,DC∥AB,DA=DC=2AB.

(2)求證:平面PBC⊥平面PDC.

17.(本小題滿分15分)某中學校園內原有一塊四分之一圓面形狀的草坪AMN，如圖(1),其中AM=AN=8 m,∠MAN=90°.今年暑假整治校園環(huán)境時,為美觀起見,學校設計將原有草坪擴大,具體實施方案是:從圓弧上一點P作圓弧的切線BD,分別與AM,AN的延長線交于點B，D,并以AB,AD為鄰邊構造矩形ABCD,再以C為圓心制作一塊與AMN形狀相同的草坪,構成矩形綠地ABCD(如圖(2)).

(1)求矩形綠地ABCD占地面積的最小值；

(2)若由于地形條件限制,使得矩形一邊AB的長度不能超過10 m,求此時矩形綠地ABCD占地面積的最小值.

(1)求橢圓E的標準方程;

19.(本小題滿分15分)已知數(shù)列{an}中，a1=3,a2=5,{an}前n項和Sn,滿足Sn+Sn-2=2Sn-1+2n-1(n≥3).

(1)求數(shù)列{an}的通項公式;

20.(本小題滿分16分)己知函數(shù)

(1)若f(1)=0,求函數(shù)f(x)的單調遞減區(qū)間;

(2)若關于x的不等式f(x)≤ax-1恒成立,求整數(shù)a的最小值；

(3)若a=-2,正實數(shù)x1,x2滿足f(x1)+f(x2)+x1x2=0,證明:

參考答案

一、填空題

二、解答題

16.(1)因為OE∥平面PBC,OE?平面PAC,平面PAC∩平面PBC=PC,所以OE∥PC,

所以AO∶OC=AE∶EP.

在正三角形PAD中,M為PD中點,所以AM⊥PD.因為AB⊥平面PAD,所以AB⊥AM.

又因為DC∥AB,所以DC⊥AM.

因為BF∥AM,所以BF⊥PD,BF⊥CD.

又因為PD∩DC=D,PD、DC?平面PCD,所以BF⊥平面PCD.因為BF?平面PBC,所以平面PBC⊥平面PDC.

17.(1)設AB=a,AD=b,矩形綠地ABCD占地面積為S,則

(5k2+1)x2+10mkx+5m2-50.

當Δ>0，5k2-m2+1>0時，

∵OP是OM，OQ的等比中項，

∴OP2=OM·OQ，

19.(1)由Sn+Sn-2=2Sn-1+2n-1(n≥3),得

Sn-Sn-1=Sn-1-Sn-2+2n-1(n≥3),

所以an=an-1+2n-1(n≥3),

累加得an=2n+1.

所以Tn=b1+b2+…bn

因為Tn+1-Tn>0,所以{Tn}遞增.

f(x)=lnx-x2+x,x>0,

由f′(x)<0,得2x2-x-1>0.

又x>0，所以x>1，

所以f(x)的單調減區(qū)間為(1，+∞).

(2)方法1：令g(x)=f(x)-(ax-1)

當a≤0時，因為x>0,所以g′(x)>0,所以g(x)在(0,+∞)上是增函數(shù).

故函數(shù)g(x)的最大值為

所以當a≥2時，h(a)<0，

所以整數(shù)a的最小值為2.

在(0，+∞)上恒成立.

當x∈(0,x0)時，g′(x)>0;

當x∈(x0,+∞)時，g′(x)<0,

所以g(x)在x∈(0,x0)上是增函數(shù)；在x∈(x0,+∞)上是減函數(shù).

所以，a≥2，即整數(shù)a的最小值為2.

(3)當a=-2時，f(x)=lnx+x2+x,x>0.

由f(x1)+f(x2)+x1x2=0,即lnx1+x21+x1+lnx2+x22+x2+x1x2=0,從而

(x1+x2)2+(x1+x2)=x1·x2-ln(x1·x2).

令t=x1·x2,則由φ(t)=t-lnt，得

可知，φ(t)在區(qū)間(0，1)上單調遞減，在區(qū)間(1，+∞)上單調遞增，

所以φ(t)≥φ(1)=1,

所以(x1+x2)2+(x1+x2)≥1,