黃高明

(福建省龍巖市新羅區(qū)教師進修學校，365400)

○高考之窗○

對一道高考題普適性特點的探究

黃高明

(福建省龍巖市新羅區(qū)教師進修學校，365400)

2015年全國高考課標Ⅰ卷理科數(shù)學第20題，是以拋物線為背景、以導數(shù)幾何意義、直線與拋物線的位置關系為著力點命制的一道綜合題．本題特點是題干清晰、設問精煉簡潔,題目閱讀量小,沒有偏、煩、難、怪的味道,中規(guī)中矩,滲透了人文關懷的思想．此題重在考查學生的運算求解能力、推理論證能力、抽象概括能力；也考查了學生數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程的、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學思想．此題第(2)小題雖然是考查直線和拋物線位置關系的一個結(jié)論,但筆者研究發(fā)現(xiàn),直線在圓及其它圓錐曲線位置關系中也都具有這個普適性性質(zhì),讓我們來慢慢揭開其中的奧秘吧．

一、原題回放及解答展示

(1)當k=0時,分別求C在點M和N處的切線方程;

(2)y軸上是否存在點P,使得當k變動時,總有∠OPM=∠OPN?說明理由．

解題思路及解法分析第(1)題屬容易題,根據(jù)導數(shù)幾何意義即可獲解．

第(2)題屬稍難題,考查學生解決直線與圓錐曲線位置關系的常見方法,重在考查學生的探究能力；同時,也考查學生的運算求解能力、推理論證能力．本題滲透了數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學思想．常規(guī)思路是將∠OPM=∠OPN,轉(zhuǎn)化為k1+k2=0,利用韋達定理可獲解．

(2)存在符合題意的點,證明如下:

設P(0,b)為符合題意的點,M(x1,y1),N(x2,y2)，直線PM,PN的斜率分別為k1,k2.

將y=kx+a代入C的方程，得x2-4kx-4a=0，故x1+x2=4k,x1x2=-4a，

∴當b=-a時,有(k1+k2)=0,則直線PM的傾斜角和直線PN的傾斜角互補,

故∠OPM=OPN,所以存在P(0,-a)滿足條件．

(2)存在符合題意的點,證明如下:

設P(0,n)為符合題意的點,M(x1,y1),N(x2,y2)，直線PM,PN的斜率分別為k1,k2,直線PM,PN的方程分別為y=k1x+n和y=k2x+n.

∵∠OPM=OPN，

∴原點到直線PM,PN的距離相等，

∴(k1-k2)(k1+k2)=0.

∵M,N是不同的兩點,

∴k1≠k2，故有k1+k2=0.

以下同解法1．(略)．

二、題目變式推廣

1.拋物線變式為具體橢圓

(2)y軸上是否存在點P,使得當k變動時,總有∠OPM=∠OPN?說明理由．

(2)存在符合題意的點,證明如下:

(4+k2)x2+2kmx+m2-4=0.

由Δ=(2km)2-4(4+k2)(m2-4)

=16k2+64-16m2>0,

得m2<4+k2.

又∵k∈R,m>0，∴0

當m≥2時,不存在滿足條件的點P．

注:以下所有變式及推廣解答過程與此題基本相似,限于篇幅,均略去解答過程,只提供答案．

2.拋物線變?yōu)榫唧w雙曲線

(2)y軸上是否存在點P,使得當k變動時,總有∠OPM=∠OPN?說明理由.

答案:(1)4. (2)當 0

本變式還可以變形為:

(2)試問y軸上是否存在點P,使得當k變動時,總存在以原點為圓心的圓與直線PN、PM都相切?

3.拋物線變?yōu)榫唧w圓

變式4在直角坐標系xOy中,圓C:x2+y2=9與直線y=kx+m交于M,N兩點.

(1)當m=6時,求直線和圓相切時的直線方程；

(2)試問y軸上是否存在點P,使得當k變動時,總有∠OPM=∠OPN?說明理由.

三、題目進一步縱深推廣

(1)當直線經(jīng)過F1時,求?MNF2的周長；

(2)試問y軸上是否存在點P,使得當k變動時,總有∠OPM=∠OPN?說明理由．

解答過程略．

(1)當直線經(jīng)過F1時,求F2M+F2N-MN的值；

(2)試問y軸上是否存在點P,使得當k變動時,總存在以原點為圓心的圓與直線PN、PM都相切?

解答過程略．

3.拋物線變?yōu)橐话銙佄锞€C:x2=2py(p>o)

變式7在直角坐標系xOy中,拋物線C:x2=2py(p>0)與直線y=kx+m(m>0)交于M,N兩點.

(1)當k=0時,求曲線在M、N處的切線方程；

(2)試問y軸上是否存在點P,使得當k變動時,總存在以原點為圓心的圓與直線PN、PM都相切?

(2)存在點P(0,-m)滿足條件．

4.拋物線變?yōu)橐话銏AC:x2+y2=R2

變式8在直角坐標系xOy中,圓C:x2+y2=R2與y=kx+m(m>0)交于M,N兩點,

(1)當直線和圓相切時,試用R、k的代數(shù)式表示m；

(2)試問y軸上是否存在點P,使得當k變動時,總存在以原點為圓心的圓與直線PN、PM都相切?

由以上變式推廣和縱深推廣可知,本題所考察的性質(zhì)不只拋物線有,對于一般的圓錐曲線都具有普適性．