廣東省佛山市三水區(qū)白坭中學(xué) 李翠英

下面就是我對北師大版九年級數(shù)學(xué)（下）習(xí)題2.4 第3題的練習(xí)題，談?wù)務(wù)n本練習(xí)題的演變與探究。

一、原題回放

例1 如圖1，AD是?ABC的高，點G、H在BC邊上，點E在AB邊上，點F在AC邊上，BC=10cm，AD=8cm，四邊形EFGH是面積為15cm2的矩形，求這個矩形的長和寬？

二、原題演變與探究

演變1 內(nèi)接矩形變?yōu)楣潭▋?nèi)接正方形

例1 如圖2，四邊形EFGH是?ABC內(nèi)接正方形，BC=27cm，AD=21cm，求這個正方形的邊長？

探究：利用相似三角形的對應(yīng)高之比等于相似比是解決例1和例2的關(guān)鍵。

演變2 內(nèi)接正方形變?yōu)閯討B(tài)內(nèi)接矩形

例2 如圖3，已知△A B C中，BC=120，高AD=80，矩形PQMN的頂點P、N分別在AB、AC上，M、Q在BC上，AD與PN交于點E，請問矩形PQMN的面積什么時候最大，最大面積是多少？

探究：本題將相似三角形的性質(zhì)和二次函數(shù)有機結(jié)合，形的最值

問題轉(zhuǎn)化成數(shù)的最值問題，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)建模的思想。

演變3 三角形變等腰三角形（課本習(xí)題）

例3 如下圖，已知△ABC中，AB=AC=10，BC=12，設(shè)EF=x，SDEFG=y，寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并畫出相應(yīng)的函數(shù)圖象，根據(jù)這三種表示方式回答下列問題：

（1）自變量x的取值范圍是什么？

（2）圖象的對稱軸和頂點坐標(biāo)分別是什么？

（3）如何描述y隨x 的變化而變化的情況？

（4）若高80，請問矩形PQMN的面積什么時候最大？最大面積是多少？

演變4 矩形變?yōu)閯討B(tài)正方形

例4 銳角?ABC中，BC=6，S△ABC=12，兩動點M,N分別在AB,AC邊上滑動，且MN∥BC，以MN為邊向下作正方形MPGN，設(shè)其邊長為x，正方形 MPGN與?ABC公共部分的面積為y(y>0)。

（1）?ABC中邊BC上高AD=______；

（2）當(dāng)x=___時，PQ恰好落在邊BC上（如圖3）；

（3）當(dāng)PQ在?ABC外部時（如圖4），求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求出x為何值時y最大，最大值是多少？

探究 雖然正方形在運動，但其問題的本質(zhì)仍然是相似三角形的性質(zhì)與二次函數(shù)的有機結(jié)合，運動中也有“靜止不變”的一面。

演變5 △ABC變?yōu)橹苯侨切?/h3>

例5 （課本例題）如圖，在一個直角三角形的內(nèi)部作一個矩形ABCD，

（1）設(shè)矩形的一邊AB=xcm，那么AD邊的長度如何表示？

（2）設(shè)矩形的矩形面積為ycm2，當(dāng)x取何值時，y的值最大？最大值是多少？

分析：表示出矩形的長與寬，進而可表示出矩形面積，再利用配方法，求出最大值

演變6 矩形一邊BC在斜邊上

例6 （課本習(xí)題）在上一例中，如果把矩形改為如圖所示的位置上，其他條件不變，那么矩形的最大面積是多少？

三、原題再探究 探究內(nèi)接平行四邊形面積的最大值

例7 如圖12，四邊形PQRS是平行四邊形。探究平行四邊形PQRS的面積的最大值。

四、從課本習(xí)題的探究談中考復(fù)習(xí)

近年來全國各地的中考試題和有關(guān)輔導(dǎo)資料中，有一類試題，都是以課本例習(xí)題為原型，并在此基礎(chǔ)上綜合、變化、拓展。事實上，教材中的許多例、習(xí)題所蘊含的內(nèi)容相當(dāng)豐富，對它們不能簡單地以題論題，而應(yīng)進行適當(dāng)?shù)淖兓?、引申、挖掘、歸納和探索，這樣對提高學(xué)生數(shù)學(xué)解題能力，發(fā)展智力都能起到事半功倍的作用，同時對改進學(xué)習(xí)方法，減輕學(xué)生學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)，提高教學(xué)質(zhì)量，都是大有裨益的。在教學(xué)過程中，我們應(yīng)該從以下幾點做。

（一）多角度分析，聯(lián)想獲得多種解題途徑，探索多種證題途徑

在教學(xué)過程中，通過多角度觀察、聯(lián)想獲得多種解題途徑，能夠拓寬學(xué)生的思路，使學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的奧妙與情趣，從而培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識和能力。通過一題多解，或多題一解等，不僅能拓寬學(xué)生的思維領(lǐng)域，增加學(xué)生的思維空間，達到增長學(xué)生智能的目的。這樣教學(xué)不僅提高了學(xué)生運用所學(xué)知識解決數(shù)學(xué)問題的能力，而且培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新能力，發(fā)展了學(xué)生的求異思維。特別是在中考的綜合復(fù)習(xí)階段，教學(xué)時注意精選一些具有廣闊延展性的例題和習(xí)題，進行恰當(dāng)?shù)难由旌屯卣?，深入研究，以一?dāng)十，舉一反三，放棄題海戰(zhàn)術(shù)，我們就能獲得最大限度的收獲。

（二）“多思考、多總結(jié)”是提升學(xué)生的數(shù)學(xué)能力和學(xué)生的智能

通過多題的探究，我們可以得到“多思考、多總結(jié)”是數(shù)學(xué)能力和學(xué)生素質(zhì)提高的法寶。通過這種訓(xùn)練，使學(xué)生從中了解命題的來龍去脈與變化，探索命題演變的思維方法，它是發(fā)展學(xué)生發(fā)散思維，培養(yǎng)創(chuàng)新能力的有效途徑。同時，通過一題多變，可培養(yǎng)學(xué)生自行獲取知識的能力，真正達到《大綱》提出的教師應(yīng)著眼于調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性、主動性，使學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中提升自己的思維能力，從而調(diào)動他們智能，使學(xué)生不僅學(xué)到了知識，而且又掌握了解決數(shù)學(xué)問題的學(xué)習(xí)方法。從而培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力及創(chuàng)新素質(zhì)。這是創(chuàng)新教育對我們每一位數(shù)學(xué)教師的要求，也是我們必須完成的一項重要任務(wù)。

（三）對命題條件、結(jié)論作各種變化進行探究和演變，提高學(xué)生的創(chuàng)新能力

在教學(xué)中經(jīng)常引導(dǎo)學(xué)生對命題條件、結(jié)論作各種變化，對圖形位置可能出現(xiàn)的情形作一系列演變，進而從縱向、橫向、逆向展開多項探索，定能大面積提高學(xué)生的創(chuàng)新能力。在課堂教學(xué)中，要盡可能給學(xué)生創(chuàng)設(shè)對命題條件、結(jié)論作各種變化或提供創(chuàng)新的情境，培養(yǎng)學(xué)會探究和演變，使學(xué)生養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，掌握數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)方法，懂得怎樣的知識去解決實際問題，并能主動的去探究、去深造、去擴展，從而培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力及創(chuàng)新素質(zhì)。