王惠

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漫談什么是解題

王惠

簡(jiǎn)單地說(shuō)，解題就是求出未知結(jié)論的過(guò)程。羅增儒先生說(shuō)：“解題就是解決問(wèn)題，即求出數(shù)學(xué)題的答案。這個(gè)答案在數(shù)學(xué)上也叫做解。所以，解題就是找出題的解的活動(dòng)。小至一個(gè)學(xué)生算出作業(yè)的答案，一個(gè)教師講完概念的構(gòu)建與定理的證明，大至一個(gè)數(shù)學(xué)課題得出肯定或否定的結(jié)論，一個(gè)數(shù)學(xué)技術(shù)應(yīng)用于實(shí)際、構(gòu)建出適當(dāng)?shù)哪Ｐ偷?，都叫做解題。”

波利亞發(fā)現(xiàn)，在日常解題和攻克難題而獲得數(shù)學(xué)上的重大發(fā)現(xiàn)之間并沒(méi)有不可逾越的鴻溝。他說(shuō)：“一個(gè)重大的發(fā)現(xiàn)可以解決一些重大的問(wèn)題，但在求解任何問(wèn)題的過(guò)程中，都會(huì)有點(diǎn)滴的發(fā)現(xiàn)?！薄耙粋€(gè)有意義的題目的求解，為解此題所花的努力和由此得到的見(jiàn)解，可以打開通向一門新的科學(xué)的大門?！?/p>

大家非常熟悉的哥尼斯堡七橋問(wèn)題，歐拉解決了，也就是說(shuō)，歐拉解答了這個(gè)問(wèn)題，由此創(chuàng)立了圖論這個(gè)數(shù)學(xué)分支，即誕生了新的科學(xué)。像這樣的例子，在數(shù)學(xué)上不勝枚舉。這就驗(yàn)證了波利亞上面的論述。

波利亞主張把解題作為培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)才能和教會(huì)他們思考的一種手段與途徑。這一主張得到了國(guó)際數(shù)學(xué)教育界的贊同。1976年，國(guó)際數(shù)學(xué)管理者委員會(huì)把解題能力列為十項(xiàng)基本技能的首位，美國(guó)數(shù)學(xué)教師聯(lián)合會(huì)理事會(huì)把解題提到了“1980年代學(xué)校數(shù)學(xué)教學(xué)的核心”之高度?？梢?jiàn)，解題對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要。

例1“！”表示階乘運(yùn)算，如2！=2×1，3！=3×2× 1，求！的值。

分析：將各階乘數(shù)轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算，并找出消掉一些數(shù)的方法。不然的話，直接計(jì)算會(huì)相當(dāng)繁雜，也不是此題的本意。這就聯(lián)想到階乘運(yùn)算中的公式：n· n！=（n+1）！-n！。通過(guò)觀察可知，公式左邊有點(diǎn)像題目的左邊，右邊出現(xiàn)了減法，那就有可能消掉某些數(shù)。沿著這個(gè)思路試試，也許會(huì)有驚喜。

例2n是自然數(shù)，n2+n+11是素?cái)?shù)嗎？

分析：目前還沒(méi)有表示所有素?cái)?shù)的公式，那么，可以肯定所表示的數(shù)不可能全是素?cái)?shù)。這就需要找出n2+n+11能表示哪些素?cái)?shù)。解題方向明確了，我們就可以開始尋找解題方法。顯然，n2+n+11在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)不能分解因式，我們只能采取取值辦法一一驗(yàn)證，找到結(jié)論。

解：記（fn）=n2+n+11，則分別令n=1，2，3，4，5，6，（fn）的值為13，17，23，31，41，53。顯然這些數(shù)都是素?cái)?shù)。是不是（fn）表示的所有的數(shù)都是素?cái)?shù)？還需要繼續(xù)驗(yàn)證。

令n=7，8，9，（fn）分別為67，83，101。還要驗(yàn)證嗎？要！

令n=10，（fn）=121=112，不是素?cái)?shù)！

因此，n2+n+11所表示的數(shù)不全是素?cái)?shù)。

例350條直線最多能將平面分成多少部分？

分析：50條直線，多了點(diǎn)吧？畫出50條直線來(lái)找答案，估計(jì)難以找到一個(gè)會(huì)這樣解的人！怎么辦？先畫幾條直線，從中找找分平面數(shù)的規(guī)律。

解：分別作出1條～5條直線分平面的情況，見(jiàn)下圖。

它們分平面的部分?jǐn)?shù)分別為2，4，7，11，16。再將這5個(gè)數(shù)分解為2=1+1，4=1+1+2，7=1+1+2+3，11= 1+1+2+3+4，16=1+1+2+3+4+5。

這樣，規(guī)律就凸顯出來(lái)了。

我們從這3道題的解答過(guò)程中可以看到數(shù)學(xué)思維方法的運(yùn)用。如靈活運(yùn)用（n+1）！-n！=n·n！，將復(fù)雜的運(yùn)算式子變得簡(jiǎn)便；要否定一個(gè)命題，只要舉出一個(gè)反例即可；從最簡(jiǎn)單的情形出發(fā)，遞推出結(jié)論。

解題過(guò)程中，很重要的一步就是要充分挖掘已知條件，顯性的、隱性的都要充分利用。如例1中，等式（n+1）！-n！=n·n！是不可能告訴你的，必須根據(jù)階乘的運(yùn)算挖掘出來(lái)。如果沒(méi)有這個(gè)等式的運(yùn)用，計(jì)算量將會(huì)大大增加。事實(shí)上，由條件挖掘隱性的東西是成功解題的關(guān)鍵。

（作者單位：安鄉(xiāng)縣圍庵小學(xué)）