龔衛(wèi)東

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Excel在數(shù)學探究中的應用

龔衛(wèi)東

近年來，探究性學習已成為數(shù)學學習研究中出現(xiàn)頻率很高的關鍵詞。在這方面，專家學者與中學一線教師做了大量的努力，取得了令人矚目的研究成果。但同時，具有數(shù)學特色的探究性學習研究深度不夠［1］。

在過去的二十多年中，世界各國都很重視教育信息化，投入的人力、物力數(shù)量可觀。但從初步的調研情況看，效果不能令人滿意［2］。究其原因，信息技術工具在數(shù)學學習中應用的研究不足，缺少具體案例，學生參與太少。姜伯駒院士曾指出：“在教師指導下，探索某些理論或應用的課題，學生的新鮮想法借助數(shù)學軟件可以迅速實現(xiàn)，在失敗與成功中得到真知。這種方式，變被動的灌輸為主動的參與，有利于培養(yǎng)學生的獨立工作能力和創(chuàng)新精神?！北疚囊訣xcel軟件為例，舉例說明如何發(fā)揮其在高中數(shù)學探究性學習中的作用。

Excel是微軟公司的辦公軟件Microsoft office的組件之一，是由Microsoft為Windows和Apple Macintosh操作系統(tǒng)的電腦而編寫和運行的一款試算表軟件。Excel是微軟辦公套裝軟件的一個重要的組成部分，它可以進行各種數(shù)據(jù)的處理、統(tǒng)計分析和輔助決策操作，廣泛地應用于管理、統(tǒng)計財經(jīng)、金融等眾多領域［3］。許多人對Excel的功能了解不全，僅把它當作制作表格和圖表的辦公軟件。事實上，它能夠在數(shù)學教學中進行數(shù)據(jù)統(tǒng)計、運算、處理和繪制統(tǒng)計圖形乃至編程。只要善于開發(fā)，它能夠在數(shù)學探究中發(fā)揮出巨大的作用。

1.借助Excel運算，觀察數(shù)值變化

快速重復計算是計算機的本色，是計算機產(chǎn)生的最初動力。Excel科學便捷的設計使得數(shù)值計算如游戲般輕松，合理使用能令人腦洞大開。

例1點P是曲線y=x2-lnx上任意一點，求點P到直線y=x+2的距離的最小值。

錯解：設與y=x+2平行的直線y=x+b同曲線y= x2-lnx相切，對函數(shù)求導得。

解：設P（x，x2-lnx）為函數(shù)y=x2-lnx上任意一點，到直線x-y+2=0的距離是。

研究函數(shù)h（x）=x-x2+lnx+2，使用Excel：A1、A2中輸入0.01、0.02，鼠標指向右下角出現(xiàn)“+”，向下拖動，則會自動生成A列步長0.01（可以更?。┑膞的變化值，B1中輸入“=x-x2+lnx+2”可立刻算出x=0.01對應的函數(shù)值，向下拖動鼠標即可自動算出全部相應的函數(shù)值（如圖1）。觀察B列數(shù)據(jù)的變化過程，可以初步斷定最短距離一定不是，應該是0。事實上兩個函數(shù)的圖像相交（見例5）。

2.借助Excel作圖，揭示問題本質

數(shù)據(jù)統(tǒng)計中，Excel可以方便地生成柱形圖、條形圖、餅圖。在數(shù)學問題探究中，我們可以巧妙利用其散點圖，觀察函數(shù)圖像，推斷函數(shù)性質。

例2探究函數(shù)y=logx2在（0，1）的單調性。

用幾何畫板畫出的圖像如圖2所示，感覺比較怪，圖像還出現(xiàn)了一個“尖銳”的點。

圖2

而用Excel生成兩列數(shù)據(jù)，A列從0到1步長0.001的x的變化值，B列為相應的y值，“插入—圖表—散點圖”，畫出的圖像是這樣的（如圖3所示）。

圖3

由于步長很小，散點圖極為稠密，已連成光滑的曲線。函數(shù)圖像先下凸再上凸，（0.1，0.2）之間似乎有一個拐點。

令y′′=0，有l(wèi)nx+2=0，解得x=e-2≈0.1353。

由此可知，x0=0.1353是函數(shù)y=logx2的拐點。

3.借助Excel測量，完成數(shù)學實驗

Excel本身除了設計有大量常用的數(shù)學函數(shù)，還有一個隨機函數(shù)能夠自動生成0～1的隨機數(shù)，使用蒙特卡洛方法時需要測量相應數(shù)據(jù)。

例3在正方形中隨機撒一把豆子，用隨機模擬的方法估計圓周率的值［4］。

圖4

打開Excel，在A2格中輸入“=rand（）”并回車，產(chǎn)生一個隨機數(shù)，右下角向下拖動“+”到A1001，又自動產(chǎn)生999個隨機數(shù)，作為點的橫坐標。在B列用同樣方法產(chǎn)生1000個隨機數(shù)作為縱坐標。在C2格中輸入“=A22+B22”，求得x2+y2的值，向下拖動“+”自動算出全部點對應的x2+y2。在空格中輸入“=COUNTIF（C2：C1001，"＜1"），統(tǒng)計出符合x2+y2＜1條件的點的個數(shù)為780。由于總點數(shù)是1000，故根據(jù)幾何概型知，豆子落在陰影部分的概率是0.78，據(jù)此求出π的值為4×0.78=3.12（如圖5）。

圖5

上述方法借助Excel輕松完成了1000次的數(shù)學實驗，模擬幾何概型“撒豆子”，其原型是布馮投針實驗［5］。

4.借助Excel統(tǒng)計，開展特定應用

Excel具有強大的統(tǒng)計功能，很多復雜的運算和操作都被菜單化，比如求線性回歸方程等問題，可以交給計算機自動完成，能夠減少計算量，避免算錯。

例4從深圳市教育局發(fā)布的深圳市教育事業(yè)統(tǒng)計手冊中，可以獲得2008～2014共7年的初中在校生人數(shù)的數(shù)據(jù)。

2008～2014年深圳市初中教育規(guī)模（表一）

據(jù)此預測深圳“十三·五”初中在校生人數(shù)。

在Excel界面，選擇“插入—圖表—散點圖”，可以看到所給數(shù)據(jù)在坐標系內的描點情況。鼠標對著任意一個數(shù)據(jù)點，點擊右鍵，選擇“添加趨勢線”，選擇類型為“線性”，勾選“顯示公式”“顯示R2”，即可顯示坐標系內的直線，并得到回歸直線方程（如圖6）。

圖6

圖中還顯示了R2的值，是相關系數(shù)r的平方，r體現(xiàn)預報變量與解釋變量x的相關關系，|x|越接近1，相關程度越高。因而，R2越接近1，函數(shù)擬合效果越好。輸入2016～2020年對應的變量x=16，17，…，20，得到預測的各年份初中在校生人數(shù)。

（表二）

5.借助Excel編程，實現(xiàn)算法思想

高中數(shù)學教材必修3中有算法內容，與計算機語言的結合本身就是最好的研究性學習課題。VB語言甚至不用下載專門的軟件，Excel中自帶。即使以前從來沒有編寫過程序，也能夠使用Visual Basic for Application開發(fā)出解決方案。VB是現(xiàn)在可用的最容易學習、最容易使用也是最復雜的應用程序自動化語言（過去常常稱為宏語言）之一。

例5二分法求方程x2-lnx=x+2在［0,1］之間的近似解（精確到0.0001）。

在Excel工作表中，選擇“工具/宏/Visual Basic編輯器”，在VB編輯器窗口中選擇“工具/宏”，在“宏名稱”欄內輸入宏的名稱，單擊“創(chuàng)建”，出現(xiàn)宏主體語句Sub和End Sub，輸入下列程序后按F5即可運行。

Sub二分法（）

a=Val（InputBox（"輸入?yún)^(qū)間左端點值"））

b=Val（InputBox（"輸入?yún)^(qū)間左端點值"））

c=Val（InputBox（"輸入誤差限制"））

Do

x0=（a+b）/2

f1=a^2-Log（a）-a-2

f2=x0^2-Log（x0）-x0-2

If f2=0 Then Exit Do

If f1*f2＜0 Then

b=x0

Else

a=x0

End If

Loop Until Abs（a-b）＜c

MsgBox"方程的近似解為"&x0

End Sub

程序運行中，輸入左端點值0.01，輸入右端點值1，輸入誤差限制0.0001后，程序將算出近似解0.1216。（注：程序中調用的函數(shù)Log（x0）即為自然對數(shù)lnx0，例5的結果能夠證明例1的結論）

信息時代的數(shù)學學習和探究應當充分借助信息技術工具。Excel作為一般計算機標配的預裝軟件，具有獲得便捷、功能強大、使用靈活等優(yōu)點，完全覆蓋和大大超過函數(shù)計算器、圖形計算器等工具，是開展數(shù)學探究的理想工具，應鼓勵學生創(chuàng)造性地使用。

（作者單位：深圳市高級中學）

參考文獻

［1］李偉軍。近十年來數(shù)學探究性學習述評——以《數(shù)學教育學報》為線索［J］。內蒙古師范大學學報（教育科學版），2012，（8）：92-95。

［2］張景中，彭翕成。深入數(shù)學學科的信息技術［J］。數(shù)學教育學報，2009，（5）：1-7。

［3］百度百科：http://baike.baidu.com/view/150 9071.htm？fromtitle=Excel&fromid。

［4］劉紹學主編。普通高中課程標準實驗教科書·數(shù)學必修3（A版）［M］3版。北京：人民教育出版社，2007，2：139。

［5］龔衛(wèi)東。自己動手求圓周率［J］。高中數(shù)理化。2016，（1）：20-22。