云南省昆明市嵩明縣嵩陽街道第三初級(jí)中學(xué) 李 絨

我們從直線方程入手，推導(dǎo)過程如下。

下面就直線參數(shù)方程應(yīng)用作如下論述。

1.求定點(diǎn)到過定點(diǎn)的直線與其它曲線的交點(diǎn)的距離

準(zhǔn)確寫出直線的參數(shù)方程，求定點(diǎn)到兩交點(diǎn)的距離和，注意兩個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)的符號(hào)的異同。

例1、設(shè)直線l經(jīng)過點(diǎn)M0(1,5),傾求直線l和圓的兩個(gè)交點(diǎn)到點(diǎn)M0的距離的和與積.

將其代入,得設(shè)此方程的兩根為則,可知均為負(fù)值,所以兩交點(diǎn)到M0的距離

例2、經(jīng)過點(diǎn)P(-1，2)，傾斜角為的直線l與圓相交于A，B兩點(diǎn)，求PA+PB和PA·PB的值.

2.求解直線與曲線相交，弦長(zhǎng)問題

將普通方程化為參數(shù)方程,先判定點(diǎn)M在直線上,并求出直線的傾斜角,用參數(shù)t的幾何意義求相應(yīng)的距離.直與曲線對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1,t2.

例3、已知直線L：x+y-1=0與拋物線交于A,B兩點(diǎn),求線段AB的長(zhǎng)和點(diǎn)M(-1,2)到A,B兩點(diǎn)的距離之積.

3.中點(diǎn)問題與弦長(zhǎng)有關(guān)，考慮用直線的參數(shù)方程，若A、M、B是直線上的點(diǎn)，所對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1、t、t，則AB中點(diǎn)M的參數(shù)為

例4、經(jīng)過點(diǎn)M(2,1)作直線l，交B 兩點(diǎn).如果點(diǎn)M恰好為線段AB的中點(diǎn)，求直線l的方程.

解：設(shè)過點(diǎn)M(2,1)的直線l的參t為參數(shù)），

代入橢圓方程，整理得(3sin2α+1)t2+4(cosα+2sinα)-8=0

因?yàn)辄c(diǎn)M在橢圓內(nèi)，這個(gè)方程必有兩個(gè)實(shí)根，設(shè)A,B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1,t2，

因?yàn)辄c(diǎn)M為線段AB的中點(diǎn)，所以即cosα+2sinα=0.

于是直線l的斜率k=tan

因此，直線l的方程是.

例5、已知過2點(diǎn)P(2,0)，斜率為的直線和拋物線y=2x相交于A,B兩點(diǎn)設(shè)線段AB的中點(diǎn)為M，求點(diǎn)M的坐標(biāo).

參數(shù)方程的引入使得我們?cè)谔幚碇本€與曲線的題型上，無疑為我們進(jìn)行這一類問題處理開啟了另一扇門，在教學(xué)中，對(duì)提高學(xué)生創(chuàng)造性，發(fā)散性思維有著一定的作用，也為學(xué)生解決此類問題，提供了另一路徑。

參考文獻(xiàn)：1、劉紹學(xué)，張建躍，錢佩玲.高中數(shù)學(xué)選修4-4坐標(biāo)系與參數(shù)方程.人民教育出版社，課程教材研究所.

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3、張 忠.參數(shù)法巧解直線與圓錐曲線問題.互聯(lián)網(wǎng)