李衛(wèi)華，　李國安，　王　偉，　李茂華

(寧波大學(xué)理學(xué)院，浙江寧波315211)

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二元一般指數(shù)分布的識別性及其參數(shù)估計

李衛(wèi)華，李國安，王偉，李茂華

(寧波大學(xué)理學(xué)院，浙江寧波315211)

[摘要]討論了一般二元指數(shù)分布的識別性問題及參數(shù)估計問題.本文證明了兩個結(jié)論：其一、當(dāng)只有最大值隨機變量的分布已知時，僅一個參數(shù)可識別；其二、當(dāng)可識別最大值的分布已知時，所有參數(shù)皆可識別.進一步根據(jù)上述結(jié)論得到了所有參數(shù)的最大似然估計.

[關(guān)鍵詞]一般二元指數(shù)分布； 識別性； 最大似然估計

1引言

Gupta，Kundu于1999年在文獻[1]中提出了一個一般指數(shù)分布，在2009年，Kundu，Gupta在文獻[2]中導(dǎo)出了一個一般二元指數(shù)分布，本文討論二元一般指數(shù)分布的識別性問題及其參數(shù)估計.所謂參數(shù)的識別性是指總體分布的參數(shù)是否能被隨機變量的某些函數(shù)的分布所唯一確定，若能，則稱參數(shù)是可識別的.顯然，參數(shù)的識別性是其可估計的先決條件.文[3-13]討論了二元正態(tài)分布、三元正態(tài)分布、及多元正態(tài)分布的參數(shù)的識別性，在本文中，討論二元一般指數(shù)分布的參數(shù)的識別性問題.本文具體分兩種情況討論其參數(shù)的識別性問題.第一種情況為僅知道兩個隨機變量最大值的分布，這時只有部分參數(shù)能識別.為了能夠識別所有六個變量，則需要添加其他條件，本文通過添加兩隨機變量的比較識別變量來實現(xiàn)，具體見后文的分析.

2二元一般指數(shù)分布的識別性

文[2]給出了如下的二元一般指數(shù)分布的定義，具體見定義1.

定義1稱二維隨機變量(X1,X2)服從二元一般指數(shù)分布，若其有如下的分布函數(shù)

F(x1,x2)=(1-e-λx1)α1(1-e-λx2)α2(1-e-λmin(x1,x2))α3，x1>0,x2>0，

記作

(X1,X2)～BVGE(α1,α2,α3,λ)，

下面討論兩隨機變量的最大值的分布已知時，二元一般指數(shù)分布的參數(shù)的識別性問題.為討論的方便，引入兩個隨機變量

U=max(X1,X2),

(1)

(2)

并記U的密度函數(shù)和分布函數(shù)分別記為g(z)和G(z)，二維隨機變量(U,I)的密度函數(shù)為h(u,i),其中z∈+，i∈{1,2,3}.二元一般指數(shù)分布的參數(shù)的識別性問題，具體定義見定義2.

定義2設(shè)二元隨機變量(X1,X2), (X′1,X′2)服從同類型的分布，且

(X1,X2)～ F (X1,X2, θ)，(X′,Y′)～ F (X′,Y′,θ′)，

這里θ，θ′同為參數(shù)或參數(shù)向量，并如(1), (2)兩式引入隨機變量(U,I) 和(U′,I′).若G(z)=G′(z)蘊含θ=θ′，則參數(shù)在此情形下是可識別的，否則參數(shù)在此情形下是不可識別的；類似地，若h(z,i)=h′(z,i)蘊含θ=θ′，則稱參數(shù)在此情形下是可識別的，否則參數(shù)在此情形下是不可識別的.

引理1若(X1,X2)～BVGE(α1,α2,α3,λ)，則U的分布密度為

g(u)=αλe-λu(1-e-λu)α-1,u>0.

證由P(U≤u)=P(max(X1,X2)≤u)=P(X1≤u,X2≤u)=F(u,u)

=(1-e-λu)α1(1-e-λu)α2(1-e-λmin(u,u))α3=(1-e-λu)α，

得

g(u)=αλe-λu(1-e-λu)α-1,u>0.

引理2若(X1,X2)～BVGE(α1,α2,α3,λ)，則(U,I)的分布密度為

證二元一般指數(shù)分布為混合分布，現(xiàn)對其三部分x1>x2, x1

當(dāng)x1>x2時，分布函數(shù)

F1(x1,x2)=(1-e-λx1)α1(1-e-λx2)α2(1-e-λx2))α3=(1-e-λx1)α1(1-e-λx2)α2+α3，

所以

同理，當(dāng)x1

f2(x1,x2)=α2(α1+α3)λ2e-λ(x1+x2)(1-e-λx2)α2-1(1-e-λx1)α1+α3-1.

P(U≤u,I=1)=P(max(X1,X2)≤u,I=1)=P(X1≤u,X1>X2)

所以

h(u,1)=α1λe-λu(1-e-λu)α-1，

同理

h(u,2)=α2λe-λu(1-e-λu)α-1.

當(dāng)x1=x2時

F1(x1,x1)=(1-e-λx1)α1+α2+α3，

所以

h(u,3)=αλe-λu(1-e-λu)α-1.

定理1設(shè)

(X1,X2)～BVGE(α1,α2,α3,λ)，(X′1,X′2)～BVGE(α′1,α′2,α′3,λ′)，

若已知U與U′同分布，則只有參數(shù)λ可識別，其余參數(shù)皆不可識別.

證由g(u)=g′(u)，得

αλe-λu(1-e-λu)α-1=α′λ′e-λ′u(1-e-λ′u)α′-1u>0,

首先得λ=λ′，α=α′.因此，參數(shù)λ可識別； α1,α2,α3均不可識別，但三者的和可識別.

定理2設(shè)

(X1,X2)～BVGE(α1,α2,α3,λ)，(X′1,X′2)～BVGE(α′1,α′2,α′3,λ′)，

若已知(U,I)與(U′,I′)同分布，則所有參數(shù)皆可識別.

證由h(u,i)=h'(u,i)，得

αiλe-λu(1-e-λu)α-1=α′iλ′e-λ′u(1-e-λ′u)α′-1,i=1,2,u>0,

得λ=λ′,α=α′,α1=α′1,α2=α′2，進而得α3=α′3.因此，所有參數(shù)可識別.

3二元一般指數(shù)分布的參數(shù)估計

文獻[2]研究了二元一般指數(shù)分布的參數(shù)估計，這里，我們從定理1和定理2出發(fā)，直接分別獲得了參數(shù)λ，以及所有參數(shù)的最大似然估計.

定理3設(shè)(X1,X2)是總體，(X11,X21),…,(X1n,X2n)是來自總體(X1,X2)的容量為n的樣本，記

U=max(X1,X2)，Ui=max(X1i,X2i)，i=1,…,n，

若U具有以下的分布密度

g(u)=αλe-λu(1-e-λu)α-1,u>0，

U1,…,Un是來自總體U的容量為n的樣本，u1,…,un為樣本值，則參數(shù)λ的最大似然估計為下列方程的解

(3)

證

其對數(shù)似然函數(shù)的駐點方程為

求解，即得結(jié)論.

定理4設(shè)(X1,X2)是總體，(X11,X21),…(X1n,X2n)是來自總體(X1,X2)的容量為n的樣本，按前文(1)，(2)兩式引入U,I，同時記Ui=max(X1i,X2i)，Ii=φ(X1i,X2i).現(xiàn)假定(U,I)具有如引理2所述的分布密度，(U1,I1),…,(Un,In)是來自總體(U,I)的容量為n的樣本.U的樣本值記為u1,…,un，并記

α1，α2，α3的最大似然估計為

證似然函數(shù)為

對數(shù)似然函數(shù)的駐點方程為

得參數(shù)λ滿足方程

結(jié)論僅是U的分布已知時，只有參數(shù)λ可識別，即只有參數(shù)λ可估計，當(dāng)(U,I)的分布已知時，所有參數(shù)皆可識別，即所有參數(shù)皆可估計.

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Identifiability of the Bivariate Generalized Exponential Distributions

LIWei-hua，LIGuo-an,WANGWei,LIMao-hua

(Department of Mathematics, Ningbo University, Ningbo Zhejiang 315211, China)

Abstract:If two random variable has a bivariate generalized exponential distribution，when the distribution of the maximum is known，then only one of parameters is identified，when the distribution of the identified minimum is known，then all of parameters are identified；hence，the maximum likelihood estimator of all of parameters are derived.

Key words:bivariate generalized exponential distribution； identifiability； maximum likelihood estimator

[收稿日期]2014-10-13；[修改日期] 2016-03-08

[基金項目]浙江省自然科學(xué)基金(LQ12A01006)；浙江省自然科學(xué)基金(LY15A010005)

[作者簡介]李衛(wèi)華(1979-),男，碩士，實驗師，從事數(shù)值計算、應(yīng)用統(tǒng)計等研究.Email: liweihua@nbu.edu.cn

[中圖分類號]O29；TE312

[文獻標(biāo)識碼]C

[文章編號]1672-1454(2016)02-0081-05