摘 要： 本文主要以均勻和非均勻物質(zhì)分布為基礎(chǔ)，采用了局部均勻求近似，利用極限得精確的數(shù)學(xué)思想方法，探討了導(dǎo)數(shù)和積分是處理均勻量中的乘法和除法在處理相應(yīng)的非均勻事物的發(fā)展，簡單地分析積分和微分之間的關(guān)系。

關(guān)鍵詞： 微積分 均勻 非趙紅妮均勻

由于物體運(yùn)動過程中某一時刻的瞬時速度、曲線在一點(diǎn)處的切線問題、函數(shù)的最值、曲線長、曲線圍成的面積、曲面圍成的體積、物體的重心等這一系列問題的出現(xiàn)促使了微積分的誕生。國際數(shù)學(xué)家教育委員會前主席、荷蘭數(shù)學(xué)家H.Freudental說：“沒有一種數(shù)學(xué)思想以它被發(fā)現(xiàn)時的那個樣子發(fā)表出來，一個問題被解決以后，相應(yīng)地發(fā)展成為一種形式化的技巧，結(jié)果使得火熱的思考變成冰冷的美麗?！?/p>

任何事物都有其微觀和宏觀不同的表現(xiàn)形式，現(xiàn)將其簡單地歸納如下。

通過上表可以看出，任何事物都有兩面性的體現(xiàn)，而我們所探討的微分與積分也是在初級教學(xué)中乘法除法的一個延伸，用以解決實際中的問題。

1.均勻與非均勻物質(zhì)變化率

現(xiàn)以均勻與非分布的物質(zhì)從質(zhì)量分布的細(xì)密程度、單位長度上的變化、變化率、函數(shù)表達(dá)式及圖形來對比兩者之間的共性和不同。

通過表2可以看出，非均勻分布與均勻分布基本類似，非均勻物質(zhì)在各方面的表示都是均勻物質(zhì)的推廣，由線性函數(shù)到非線性函數(shù)，從直線到曲線，均勻物質(zhì)是非均勻物質(zhì)分布的特殊情況，而非均勻物質(zhì)是均勻物質(zhì)的推廣。

2.微積分方法的本質(zhì)（物質(zhì)細(xì)棒）

不管從微觀還是宏觀角度而言，解決的基本思想方法是一樣的“局部均勻求近似”“利用極限得精確”；導(dǎo)數(shù)與定積分分別是處理均勻量的商和積在處理相應(yīng)的非均勻量中的發(fā)展；均勻物體用乘除法，非均勻物體采用微積分。

3.微分與積分的關(guān)系

現(xiàn)以線密度為μ（x），求質(zhì)量為m（x），探討微分與積分的關(guān)系。

1）在微小一段[x，x+Δx]上對μ（x）以“不變代變”，求質(zhì)量m（x）增量的近似值。

對上式兩邊求微分可得=μ（x），則m（x）為μ（x）的原函數(shù)，而μ（x）是m（x）的導(dǎo)函數(shù)，兩者之間是原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系。

2）同理是否可在[a，b]區(qū)間上對導(dǎo)函數(shù)μ（x）以“不變代變”求原函數(shù)m（x）增量的近似值呢？上述這個例子是否具有普遍性？

假設(shè)F= f（x）dx成立，則可推出F（x）= f（u）du，u∈（a，b）。

若f（x）是[a，b]上的連續(xù)函數(shù)，則有

假設(shè)f（x）是[a，b]上的連續(xù)函數(shù)，則有

通過上式可以看出

4.總結(jié)

1）導(dǎo)數(shù)和積分是商和積的發(fā)展，即導(dǎo)數(shù)和積分是處理均勻量中商和積兩個概念在處理相應(yīng)地非均勻量事物的發(fā)展，也就是說導(dǎo)數(shù)和積分是處理均勻量中的乘法和除法在處理相應(yīng)的非均勻量事物的發(fā)展；

2）積分是微分的無限累加，求積分的關(guān)鍵在于求微分；

3）求微分就是尋找所求量的微小增量的線性主部，通?？上葘ふ宜罅糠蔷鶆蚍植嫉哪骋涣浚捎诖肆康淖兓斐煞蔷鶆蚍植?，將此量在微小局部以“不變代變”便可得到所求微分。