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        用“分節(jié)法”研究能被11、7整除的數的特征

        2016-06-07 08:17:19黃紅文水軍
        新課程·上旬 2016年4期
        關鍵詞:規(guī)律特征

        黃紅+文水軍

        摘 要:掌握了2,3,5的倍數的特征,對于學習約分、通分、分數的四則混合運算就有了一個強有力的工具。7或11的倍數是否有特征呢?如有,又是怎樣的特征呢?教材上沒有滲透,資料上也沒有提及,但教師必須弄明白這方面的真相。

        關鍵詞:分節(jié)法;規(guī)律;特征

        2012年秋,當我上完西師版教材五年級數學上冊第七章“倍數與因數”第二節(jié)內容“2,3,5的倍數特征”后,我掩卷沉思:這一章節(jié)的內容主要是在整數中研究的,雖有許多實際的功用,但主要的目的是為今后分數方面的計算做準備。掌握了2,3,5的倍數的特征,對于學習約分、通分、分數的四則混合運算就有了一個強有力的工具。但通過我多年的教學經驗得知,學生在進行約分時最困難的卻是難以快速判斷分子、分母是否含有因子7或11,甚至于是13,因此影響約分的速度和效果。要突破這方面的難點,須得弄清7或11的倍數的特征。

        7或11的倍數是否有特征呢?如有,又是怎樣的特征呢?教材上沒有滲透,資料上也沒有提及。但我怎能放棄呢?必須弄明白這方面的真相。

        首先,我以11為突破口,于是,在我案頭上出現了一大堆的數字:88,99,121,132,187,209,319,627,770,880,858,這些都是11的倍數。

        看著這些數字,我內心只有一個想法:規(guī)律在哪里?它們的內在存在什么聯系?……一連串的問題在我心中縈繞。

        個位上的數字有奇、有偶,從個位上尋求規(guī)律行不通。

        把各位上的數字相加,結果與11也毫無關系。

        ……

        看著88,99,770,880這幾個比較特殊的數與121,132,187,209,319,627的結構不同,難道是兩位數與三位數的特征不同?難道要進行分別研究?有了這個想法,我立馬把11的倍數進行了分類整理。

        11的倍數是兩位數的:11,22,33,44,55,66,77,88,99

        很有趣:個位上的數字與十位上的數字相同。

        11的倍數是三位數的:121,132,143,154,165,176,187,198,209,220,231…308,319…

        我依次列舉了一串,通過仔細觀察,這些數似乎可以劃分為兩種情形。

        一類是:121,132,143,154,165,176,187,198,220,231,242,253…

        一類是:209,308,319…

        前一類滿足一個共同的特征:

        百位上的數字+個位上的數字-十位上的數字=0

        后一類滿足:

        百位上的數字+個位上的數字-十位上的數字=11

        我驚了:這0和11不就是11的倍數嗎?在三位數中難道滿足百位上的數字+個位上的數字-十位上的數字=0或11的數就是11的倍數嗎?我急不可待地驗證了許多11的倍數,結果都是這樣。同時也弄明白了滿足什么條件的兩位數的11倍結果為0,滿足什么條件的兩位數的11倍結果為11。

        11的倍數是兩位數的有特點,是三位數的也有特點,且特點不同,難道四位數中是11的倍數又具有另類特征嗎?跟前面的研究方法一樣,我又列舉了一大串11的倍數:1089,1100,1111,1122,1144,1188,1210,1221,1342,1353。

        1100,1111,1122,1144,1188各位數字的組合比較特殊,很容易理解。但1089,1210,1221,1342,1353這些比較一般的數怎樣才能尋出點眉目來呢?

        把各位上的數字相加,結果與11沒有關聯,此路不通。我深信各位上的數字經過一定方式的處理應該與11有關聯。通過苦苦思索,我發(fā)現把1221分成兩節(jié),12為一節(jié),21為一節(jié),把這兩個數相加結果為33,恰是11的倍數。興奮之余,我試著把其他的幾個數按同樣的方式分為兩節(jié),把兩節(jié)數字一加,結果都是11的倍數。我相信這絕不是偶然,接著我進行了大量的驗證,經過這樣的分節(jié)處理,兩節(jié)之和就是11,22,33,44…99這9個數字中的其中一個。這難道不是與判斷3的倍數的特征有異曲同工之妙嗎?

        這個分節(jié)法適用于三位數乃至更多位數嗎?試試看。

        11的倍數:187 10857 39248

        分節(jié):1/87 1/08/57 3/92/48

        相加:1+87=88 1+08+57=66 3+92+48=143

        再分節(jié)相加:1/43 1+43=44

        判斷:因為88,66,44是11的倍數,故原數就是11的倍數。綜上所有研究的結果,可以表述為:11的倍數可以用分節(jié)法來進行判斷,具體的操作過程是,把這個數從右向左每兩個數字分為一節(jié),最后一節(jié)可以是一個數字,然后把各節(jié)上的數相加,如結果是11的倍數,那么這個數就是11的倍數。

        當然,研究問題要全面,我舉了大量不是11的倍數的例子,通過上面的操作其結果都不是11的倍數,從而初步認定分節(jié)法的可靠性。

        有了研究11的倍數的經驗,我接著對7的倍數進行了摸索,最終找到了7的倍數的判斷方法。只是在分節(jié)法的基礎上又有不同的處理方式,具體操作演示如下:(下面的數都是7的倍數)

        119 175 2520 5663

        分節(jié):1/19 1/75 25/20 56/63

        過程:1×2+19 1×2+75 25×2+20 56×2+63

        =21 =77 =70 =175

        再分節(jié)相加:1/75 1×2+75=77

        需要說明的是,只能分成兩節(jié),右邊兩個數字為一節(jié),其余的為一節(jié),要用前一節(jié)的數乘2再加后一節(jié)的數,如果結果過大,繼續(xù)分節(jié)進行,直到很好判斷為止。

        后來,我對13,17,23等數也進行了研究,它們的倍數都可以用分節(jié)法來進行判斷,只是過程處理有一些差別而已。

        編輯 趙飛飛

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