李思達(dá),田文壯,翟卉馨,吳　昊，吳明和，滕保華

(電子科技大學(xué) a.英才實驗學(xué)院；b.通信與信息工程學(xué)院；c.物理電子學(xué)院，四川 成都 610054)

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無外力矩氣墊轉(zhuǎn)盤自轉(zhuǎn)的定量研究

李思達(dá)a,田文壯a,翟卉馨b,吳昊c，吳明和c，滕保華c

(電子科技大學(xué) a.英才實驗學(xué)院；b.通信與信息工程學(xué)院；c.物理電子學(xué)院，四川 成都 610054)

摘要：從科里奧利力出發(fā)，對無外力矩氣墊轉(zhuǎn)盤自轉(zhuǎn)現(xiàn)象進行了定量討論，通過解析計算科里奧利力對不同形狀轉(zhuǎn)盤的影響，并結(jié)合數(shù)值仿真，形象說明了可以通過改變轉(zhuǎn)盤形狀來減少科里奧利力的影響.

關(guān)鍵詞：科里奧利力;氣墊轉(zhuǎn)盤;角加速度

科里奧利力是描述相對慣性系旋轉(zhuǎn)的參照系中運動質(zhì)點偏移原來運動方向的作用，它不是真實存在的力，而是慣性作用在非慣性系中的體現(xiàn). 科里奧利力F與運動質(zhì)點質(zhì)量m和速度v及地球自轉(zhuǎn)角速度ω(方向指向北極)的關(guān)系為[1-2]

F=2m(v×ω),

(1)

北半球上科里奧利力的水平分量總是指向運動的右側(cè)(在南半球上則總是指向運動的左側(cè))，因而導(dǎo)致北半球上的氣流右偏、河流右岸沖刷嚴(yán)重等.

實際上，科里奧利力在許多領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用. 例如傅科擺，當(dāng)擺面方向與地球自轉(zhuǎn)的角速度方向存在一定的夾角，由于科里奧利力的影響，使得擺面發(fā)生轉(zhuǎn)動. 再如質(zhì)量流量計，它讓被測量的流體通過轉(zhuǎn)動或者振動中的測量管，由于流體在管道中受到的科里奧利力僅與其質(zhì)量和運動速度有關(guān)，從而可以測量其質(zhì)量流量. 廣泛應(yīng)用于航天航空航海以及手機當(dāng)中的陀螺儀，其工作原理也離不開科里奧利力.

本文討論的氣墊轉(zhuǎn)盤問題是科里奧利力的另外一個重要應(yīng)用. 氣墊轉(zhuǎn)盤一般用于測定轉(zhuǎn)盤的轉(zhuǎn)動慣量，由于其機械摩擦小、現(xiàn)象直觀、數(shù)據(jù)準(zhǔn)確、測量精度高等特點，已逐漸在物理實驗中替代剛體轉(zhuǎn)動實驗儀[3-4]. 但是在實驗數(shù)據(jù)處理時，發(fā)現(xiàn)轉(zhuǎn)盤分別做順時針和逆時針轉(zhuǎn)動時的角加速度相差可達(dá)0.13 rad/s2. 文獻(xiàn)[5]認(rèn)為這是氣墊上的氣孔出氣不均勻?qū)е罗D(zhuǎn)盤受到外力矩而轉(zhuǎn)動的結(jié)果，文獻(xiàn)[6]指出可能是科里奧利力導(dǎo)致轉(zhuǎn)盤無外力矩時自由轉(zhuǎn)動的原因. 然而，這些文獻(xiàn)都是通過實驗數(shù)據(jù)展現(xiàn)出的現(xiàn)象進行定性分析，理論支撐較少，說服力略顯單薄. 本文將從科里奧利力出發(fā)，分析不同形狀的轉(zhuǎn)盤所受到的影響，并定量給出合理的氣墊轉(zhuǎn)盤形狀的尺寸.

1實驗裝置及原理

氣墊轉(zhuǎn)盤的示意圖如圖1所示，氣泵(氣源)從裝置下方提供氣體，由進氣孔輸入后，從氣室的上表面和定盤的內(nèi)側(cè)的氣孔噴出，轉(zhuǎn)盤由氣室上表面噴出的氣體托起懸浮，而定盤內(nèi)側(cè)的氣體使動盤作定軸轉(zhuǎn)動[1].

圖1　氣勢轉(zhuǎn)盤示意圖

定盤凹槽和轉(zhuǎn)盤之間氣體流向如圖2所示，定盤噴氣小孔均勻分布，凹槽大小均勻，噴出的氣體撞上轉(zhuǎn)盤后，分成2股氣流，分別以順時針和逆時針方向沿轉(zhuǎn)盤邊緣流動. 順時針流向的氣流受到科里奧利力的作用而向右偏，氣流向內(nèi)側(cè)摩擦轉(zhuǎn)盤，使得氣流與轉(zhuǎn)盤邊緣之間的摩擦加?。煌?，逆時針流向的氣流受科里奧利力作用也向右偏，氣流向外側(cè)偏轉(zhuǎn)，氣流與左方轉(zhuǎn)盤邊緣間的摩擦減小，兩力合成，使轉(zhuǎn)盤在摩擦合力矩作用下沿順時針方向轉(zhuǎn)動.

圖2　氣室內(nèi)部俯視圖

2科里奧利力對各種轉(zhuǎn)盤的影響

設(shè)轉(zhuǎn)盤為圓盤，半徑為R，定盤邊緣到轉(zhuǎn)盤距離即氣體厚度為A，氣體密度為ρa，摩擦系數(shù)為μ，v為氣流速度，ω為地球自轉(zhuǎn)角速度. 由于科里奧利力的作用，轉(zhuǎn)盤周圍順時針流動氣體使得圓盤順時針轉(zhuǎn)動的力矩增加，而逆時針流動氣體導(dǎo)致圓盤逆時針轉(zhuǎn)動的力矩減少.

以圓盤形轉(zhuǎn)盤為例，具體推導(dǎo)在僅有氣體且無外力矩情況下,科里奧利力造成的角加速度. 參考圖2和圖3，取定盤周長上一微段氣體dl，其質(zhì)量為dm=Adxdlρa，則它所受的科里奧利力為

dFC=2dm(v×ω) ,

(2)

圖3　氣墊轉(zhuǎn)盤示意圖

由于氣體沿轉(zhuǎn)盤的切向流動，而氣體所受的科里奧利力沿徑向形成對轉(zhuǎn)盤的擠壓趨勢，從而對轉(zhuǎn)盤產(chǎn)生的摩擦力為

df=2μdmvω.

(3)

式中μ相當(dāng)于摩擦系數(shù)，但一般遠(yuǎn)大于1. 于是由科里奧利力而導(dǎo)致轉(zhuǎn)盤邊緣受到的摩擦力矩為

(4)

而圓盤形轉(zhuǎn)盤的轉(zhuǎn)動慣量為

(5)

根據(jù)剛體的轉(zhuǎn)動定律，轉(zhuǎn)盤在僅有氣體且無外力矩情況下由科里奧利力造成的角加速度為

(6)

其中ρ為圓盤密度.

可以看出，轉(zhuǎn)盤無外力矩自轉(zhuǎn)的直接原因是由于科里奧利力對氣墊轉(zhuǎn)盤中氣流的作用，使得轉(zhuǎn)盤邊緣受到摩擦力矩，在順時針轉(zhuǎn)動情況下使轉(zhuǎn)盤沿順時針方向轉(zhuǎn)動，最終導(dǎo)致轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)動愈來愈快，這與實驗觀察得到的現(xiàn)象完全相符.

同時可觀察，科里奧利力導(dǎo)致的轉(zhuǎn)動角加速度與氣流速度和密度成正比，與圓盤密度和圓盤半徑負(fù)相關(guān)，這樣不僅可以通過減小裝置的氣泵氣壓來減小角加速度，也可通過使用更大半徑的圓盤來降低科里奧利力的影響.

用上述同樣的方法可以推導(dǎo)出一系列不同形狀轉(zhuǎn)盤的理論結(jié)果. 為了突出轉(zhuǎn)盤形狀對科里奧利力的影響，將角加速度歸一化，并控制各形狀轉(zhuǎn)盤的底面半徑均為R，則有：

3數(shù)值分析與仿真

為了清晰直觀看出4種轉(zhuǎn)盤所受科里奧利力的影響，使用Matlab對解析式進行數(shù)值仿真，得到一系列的三維表示圖(為清晰起見，給出不同視角的圖4和圖5). 在仿真計算中相關(guān)參量分別取為：A=0.05 m，v=30 m/s,ω=7.27×10-5rad/s,μ=100,ρa=2.34 kg/m3,ρ=103kg/m3.

從圖4中可以看出當(dāng)轉(zhuǎn)體的高度固定時，圓盤、球、圓錐均呈現(xiàn)底面半徑越大，在無其他外力下的角加速度越小的趨勢. 同時，不同形狀的轉(zhuǎn)盤的角加速度對底面半徑的敏感度有所不同，若在高度h為4 cm以下且半徑尺寸相同，角加速度從小到大依次是圓錐、球冠、圓盤和圓球.

從圖5中可發(fā)現(xiàn)圓錐與球冠的圖形與圓球、圓盤均有交叉，將三維圖旋轉(zhuǎn)后發(fā)現(xiàn)當(dāng)高度h與半徑均為4 cm以上時，角加速度從小到大依次是圓盤、圓球，球冠以及圓錐.

圖4　半徑與高對不同形狀轉(zhuǎn)盤的角加速度影響1

圖5　半徑與高對不同形狀轉(zhuǎn)盤的角加速度影響2

因此若要減小科里奧利力對氣墊轉(zhuǎn)盤的影響，則可以在高度與底面周長均小于4 cm的情況下，通過改變旋轉(zhuǎn)體形狀(比如將形狀做成圓錐)來實現(xiàn)；而當(dāng)轉(zhuǎn)盤高度在5 cm以上且半徑較大時，圓盤受到的科里奧利力最小.

若考慮實際情況，高度小于4 cm、半徑小于10 cm的轉(zhuǎn)盤比較貼近實際裝置，則圓錐的角加速度最小，其次是球冠與圓盤.

4結(jié)束語

本文從科里奧利力對氣墊轉(zhuǎn)盤的影響為切入點，定量分析了科里奧利力導(dǎo)致氣墊與轉(zhuǎn)盤之間的摩擦力矩，從而使得轉(zhuǎn)盤具有一定角加速度. 結(jié)果表明，在底面半徑R或高度h變化時，科里奧利力對圓盤、球、圓錐等形狀轉(zhuǎn)盤的角加速度的影響是不同的. 另外運用Matlab進行了數(shù)值仿真，形象地表示了不同形狀轉(zhuǎn)盤的底面半徑、高度、角加速度三者的關(guān)系，進而闡述了可以通過改變轉(zhuǎn)盤形狀來減少科里奧利力的影響.

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[責(zé)任編輯：郭偉]

Rotation of air-cushion turnplate without influence of external moment

LI Si-daa, TIAN Wen-zhuanga, ZHAI Hui-xinb， WU Haoc， WU Ming-hec， TENG Bao-huac

(a.Yingcai Experimental School; b.School of Communications; c.School of Physical Electronics, University of Electronic Science and Technology of China, Chengdu 610054, China)

Abstract:Without the influence of external moment, the rotation of air-cushion turnplate with different shapes was quantitatively researched based on the effect of Coriolis force. Furthermore, numerical simulation was utilized to illustrate visually that the change of the shape of the turnplate could reduce different effects.

Key words:Coriolis force; air-cushion turntable; angular acceleration

中圖分類號：O313.3

文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

文章編號：1005-4642(2016)05-0039-03

作者簡介：李思達(dá)(1994-)，男，河北石家莊人，電子科技大學(xué)英才實驗學(xué)院2012級本科生．指導(dǎo)教師：滕保華(1959-)，男，重慶人，電子科技大學(xué)物理電子學(xué)院教授，博士，從事凝聚態(tài)物理教學(xué)及研究工作.

收稿日期：2015-12-29；修改日期：2016-03-19