安徽省合肥一六八中學(xué)　　陸　勇　　(郵編：230601)

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解題方法

構(gòu)造“直線隔板” 巧解導(dǎo)數(shù)題中的不等式問題

安徽省合肥一六八中學(xué)陸勇(郵編：230601)

摘要導(dǎo)數(shù)壓軸題中出現(xiàn)不等式問題是常見題型，但是，如果指數(shù)與對(duì)數(shù)形式并存，則會(huì)因函數(shù)差異過大帶來(lái)解題困難，設(shè)想如果構(gòu)造一條直線作為“隔板”，利用不等式的放縮思想，將指數(shù)形式與對(duì)數(shù)形式并存的形式拆分為指數(shù)形式與一次函數(shù)并存及對(duì)數(shù)形式與一次函數(shù)并存的形式，化陌生為熟悉，會(huì)極大降低解題難度.

關(guān)鍵詞構(gòu)造；直線隔板；放縮；不等式

2016年合肥市第一次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)的文科及理科數(shù)學(xué)試卷壓軸的兩道導(dǎo)數(shù)題，設(shè)計(jì)精巧，對(duì)圖象的細(xì)致分析要求很高，但由于難度頗大，學(xué)生感覺求導(dǎo)后深入困難，導(dǎo)致得分率很低，平均得分不到3分.筆者試圖以直線為“隔板”，利用不等式的放縮方法，給出全新解法.

1原題及難點(diǎn)分析

2016合肥一模文21題原題如下：已知函數(shù)f(x)=ex-xlnx,g(x)=ex-tx2+x,t∈R.

(Ⅰ)求函數(shù)f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程；

(Ⅱ)若g(x)≥f(x)對(duì)任意x∈(0,+)恒成立，求t的取值范圍.

忽略第一問，我們分析第二問，題面中，指數(shù)形式與對(duì)數(shù)形式并存，這是學(xué)生感到無(wú)從下手的主要原因，無(wú)論是解題心理還是變形過程、圖象分析都有相當(dāng)?shù)膲毫?

其實(shí)，問題的本質(zhì)是不等式恒成立問題，只不過，在研究過程中，我們是以導(dǎo)數(shù)為研究手段而已.不等式的本質(zhì)是不等關(guān)系，放縮法是研究問題的重要方法.過多地關(guān)注導(dǎo)數(shù)應(yīng)用而忽視了不等式的本質(zhì)，卻是大多數(shù)學(xué)生的思維盲點(diǎn).

2“以直線為隔板”的解題思路

化陌生為熟悉，是轉(zhuǎn)化思想的重要體現(xiàn).如果我們能將指數(shù)形式與對(duì)數(shù)形式并存的形式拆分為指數(shù)形式與一次函數(shù)并存及對(duì)數(shù)形式與一次函數(shù)并存的形式，難度就極大降低，因?yàn)檫@是學(xué)生極為熟悉的題型，而直觀地從圖象上看，指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)圖象在凹凸性上的不同，恰為這種想法提供了可能.

第一問較為簡(jiǎn)單，可求得函數(shù)f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為y=(e-1)x+1.

我們以此切線為“隔板”解決第二問：設(shè)h(x)=(e-1)x+1,將g(x)≥f(x)對(duì)任意x∈(0,+)恒成立轉(zhuǎn)化為g(x)≥h(x)及h(x)≥f(x)對(duì)任意x∈(0,+)均恒成立.詳解如下：

因t≤1,故g(x)=ex-tx2+x≥ex-x2+x,設(shè)h(x)=(e-1)x+1,

構(gòu)造函數(shù)G(x)=ex-x2+x-h(x)=ex-x2+(2-e)x-1,x∈[0,+),易知G(0)=G(1)=0,因G′(x)=ex-2x+2-e,G″(x)=ex-2,由G″(x)=ex-2=0解得x=ln2.

可知x∈(0,ln2)時(shí)G″(x)<0，G′(x)單調(diào)遞減，x∈(ln2,+)時(shí)G″(x)>0，G′(x)單調(diào)遞增，而G′(0)=3-e>0，G′(1)=0,

則存在x0∈(0,ln2),使得G′(x0)=0,且x∈(0,x0)時(shí),G(x)單調(diào)遞增，x∈(x0,1)時(shí)G(x)單調(diào)遞減，x∈(1,+)時(shí)，G(x)單調(diào)遞增，由G(0)=G(1)=0易知G(x)≥0對(duì)x∈(0,+)成立.

即t≤1時(shí)，g(x)≥ex-x2+x≥h(x)對(duì)x∈(0,+)成立

①

再構(gòu)造函數(shù)F(x)=h(x)-f(x)=xlnx-x+1,

則F′(x)=lnx,由F′(x)=lnx=0解得x=1.

且x∈(0,1)時(shí)，F(xiàn)′(x)<0，F(xiàn)(x)單調(diào)遞減；x∈(1,+)時(shí)，F(xiàn)′(x)>0，F(xiàn)(x)單調(diào)遞增，

可知F(x)在x=1處取得最小值，F(xiàn)(x)min=F(1)=0,

②

由①②知，當(dāng)t≤1時(shí)，g(x)≥f(x)對(duì)任意x∈(0,+)恒成立.

上述解法過程中，以直線為隔板，其作用在于拉近函數(shù)形式之間的差距，以減小思維量及解題困難，其理論基礎(chǔ)為不等式的傳遞性，所構(gòu)造的隔板即為中間過渡量.

3解法應(yīng)用

按同樣的思維模式，我們嘗試解決2016年合肥一模理科21題，原題如下：

(Ⅰ)設(shè)g(x)=(x+1)f′(x)(其中f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù))，判斷g(x)在(-1,+)上的單調(diào)性；

(Ⅱ)若F(x)=ln(x+1)-af(x)+4無(wú)零點(diǎn)，試確定正數(shù)a的取值范圍.

突然，幾枝步槍啪啪地響起。不用說(shuō)，是國(guó)軍的一支偵察小分隊(duì)，他們與這撥鬼子遭遇上了。槍聲一響，受了驚的大洋馬便嘶鳴著四散開去，不一會(huì)兒，有馬撞了地雷，轟轟作響。一匹馬朝陳大勇方向撞來(lái)，眼看要踩上了，陳大勇猛地站了起來(lái)，照著馬上的鬼子猛扣扳機(jī)。

考慮到f(0)=1,則f(x)>0對(duì)x∈(-1,+)成立.

由F(x)=ln(x+1)-af(x)+4，易知F(0)=4-a,F(e-4-1)=-af(e-4-1)<0.故當(dāng)0

構(gòu)造函數(shù)G1(x)=ln(x+1)-x,x∈(0,+),則，而G1(0)=0,易知G1(x)=ln(x+1)-x<0對(duì)x∈(0,+)成立，即ln(x+1)

②

通過上述兩例，我們看到，以直線為過渡，對(duì)于題面中指數(shù)與對(duì)數(shù)并存模式有著化繁為簡(jiǎn)的巨大作用，類似問題可借鑒此法進(jìn)行.比如 2013年新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ卷理科21題第二問 ：已知函數(shù)f(x)=ex-ln(x+m).

(1)略； (2)當(dāng)m≤2時(shí)，證明f(x)>0.

考慮到當(dāng)m≤2，x∈(-m,+∞)時(shí)，ln(x+m)≤ln(x+2)，

故只需證明當(dāng)m=2時(shí)，f(x)>0，即只需證明ex>ln(x+2)對(duì)x∈(-2,+)成立.

構(gòu)造“隔板”h(x)=x+1,只需證明ex≥h(x)及h(x)≥ln(x+2)對(duì)x∈(-2,+)均成立且等號(hào)不能同時(shí)取得即可，以下解題過程略去，請(qǐng)讀者自行完成.

(收稿日期：2016-02-18)