●章禮抗　　(浮山中學(xué)　安徽樅陽　246736)

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函數(shù)零點(diǎn)與參數(shù)的關(guān)系*

●章禮抗(浮山中學(xué)安徽樅陽246736)

摘要：根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)多少來確定表達(dá)式中參數(shù)的取值范圍.一般結(jié)合函數(shù)的圖像和分段函數(shù)的值域，以及函數(shù)的性質(zhì)來確定參數(shù)的大小和取值范圍.

關(guān)鍵詞：零點(diǎn);圖像;值域;參數(shù)

近期高三復(fù)習(xí)時(shí)，整理了一個(gè)“函數(shù)零點(diǎn)與參數(shù)關(guān)系”專題訓(xùn)練.結(jié)果有些題目，有部分學(xué)生根本不會(huì)解，有的學(xué)生雖然能動(dòng)手做，但是錯(cuò)誤很多.為什么高考中會(huì)高頻率地出現(xiàn)這類問題？筆者認(rèn)為它不僅能考查學(xué)生的函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)，關(guān)鍵是它還能考查學(xué)生分析問題和解決問題的潛能，因此這類問題一直是高考中高頻率出現(xiàn)的題型.筆者就近幾年出現(xiàn)的這類問題進(jìn)行剖析，以便能更好地切中命題的要害.

1與直線斜率相結(jié)合的類型

此類問題多是確定直線的斜率，這就必然要與極限點(diǎn)發(fā)生內(nèi)在聯(lián)系，與斜率公式聯(lián)系.

(2015年安徽省數(shù)學(xué)高考模擬試題)

上述構(gòu)造的點(diǎn)都在第一象限，有興趣的讀者可自行構(gòu)造并證明在其他象限的情況.

4延伸拓展

拋物線的軌跡并不是由動(dòng)點(diǎn)到2個(gè)定點(diǎn)的斜率乘積為定值產(chǎn)生，有怎樣類似的構(gòu)造方法呢？受前面構(gòu)造方法啟示，得到以下拓展：

圖5

證明不妨設(shè)Li為第i個(gè)交點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)Li的坐標(biāo)為(x,y)，由平面幾何知

x2=2ay.

教材后面的習(xí)題與解答是專家編者經(jīng)過深思熟慮、反復(fù)斟酌確定的，但新課程要求具備勇于自主探究的精神，因此作為教師和學(xué)生都應(yīng)該具備質(zhì)疑精神，反思教材、教參的意圖，不斷進(jìn)行挖掘和探索，真正做到“用教材教”，而不是照本宣科的“教教材”.

分析令f(x)=0,則

構(gòu)建函數(shù)，并作出圖像，根據(jù)極限點(diǎn)即可求出k的取值范圍.

解由題意知：令f(x)=0,則

取g(x)=kx-2,

圖1

作圖像如圖1所示，g(x)表示過(0，-2)的直線，將A(1，-2)代入得k=0;將B(1,2)代入得k=4，從而k∈(0,1)∪(1,4).

說明此類問題一般比較簡單，準(zhǔn)確作圖是解決問題的核心.

2與函數(shù)的值域關(guān)系類型

此類問題主要根據(jù)函數(shù)的值域來確定零點(diǎn)，從而確定參數(shù)的取值范圍.

例2已知函數(shù)f(x)=sinx+2|sinx|-k,x∈[0,2π]有且僅有2個(gè)零點(diǎn)，則k的取值范圍______.

(2015年安徽省數(shù)學(xué)高考模擬試題)

分析由題意可知

k=sinx+2|sinx|,x∈[0,2π],

可作出y=sinx+2|sinx|,x∈[0,2π]的圖像.再根據(jù)函數(shù)的值確定有2個(gè)零點(diǎn)時(shí)，參數(shù)取值范圍.

解由題意可知

k=sinx+2π,x∈[0,2π],

可作出y=sinx+2π,x∈[0,2]的圖像如圖2所示,由圖像可知1

圖2 圖3

()

(2015年天津市數(shù)學(xué)高考理科試題)

從而y=f(x)+f(2-x)=

即

于是y=f(x)-g(x)=f(x)+f(2-x)-b,

說明此類問題多采用數(shù)形結(jié)合思想方法來解決，不易出錯(cuò).

3與函數(shù)極值有關(guān)的類型

此類問題多是要判斷函數(shù)的極值點(diǎn)，再根據(jù)極值的正負(fù)來判定零點(diǎn)的個(gè)數(shù),從而確定參數(shù)的取值范圍.

例4設(shè)x3+ax+b=0，其中a,b均為實(shí)數(shù)，下列條件中，使得該三次方程僅有1個(gè)實(shí)根的是______(寫出所有正確條件的編號).

①a=-3,b=-3；②a=-3,b=2；③a=-3,b>2；④a=0,b=2;⑤a=1,b=2.

(2015年安徽省數(shù)學(xué)高考理科試題)

分析三次函數(shù)的圖像與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，主要是看極大值與極小值的符號，求出導(dǎo)數(shù)后找到極值點(diǎn)、極值，再結(jié)合圖形判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù).根據(jù)學(xué)生的練習(xí)發(fā)現(xiàn)出錯(cuò)點(diǎn)主要有：

1)不明確f(x)=ax3+bx2+cx+d當(dāng)a>0時(shí)，其圖像大致形狀是如圖4所示;當(dāng)a<0時(shí)，其圖像大致形狀是如圖5所示.

圖4 圖5

2)不會(huì)根據(jù)零點(diǎn)存在定理判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù).

解令f(x)=x3+ax+b,則

f′(x)=3x2+a.

①當(dāng)a=b=-3時(shí),

f(x)=x3-3x-3,

則

f′(x)=3x2-3，

從而

f(x)max=f(-1)=-1<0,

f(x)min=f(1)=-5<0,

函數(shù)的圖像與x軸只有1個(gè)交點(diǎn)，故x3+ax+b=0僅有1個(gè)實(shí)根.

②當(dāng)a=-3,b=2時(shí),

f(x)=x3-3x+2,

則

f′(x)=3x-3,

從而

f(x)max=f(-1)=4>0,

f(x)min=f(1)=0,

函數(shù)的圖像與x軸只有2個(gè)交點(diǎn)，故x3+ax+b=0僅有2個(gè)實(shí)根.

③當(dāng)a=-3,b>2時(shí),

f(x)=x3-3x+b,

則

f′(x)=3x2-3,

從而

f(x)max=f(-1)=2+b>0,

f(x)min=b-2>0,

函數(shù)x的圖像與x軸只有1個(gè)交點(diǎn)，故x3+ax+b=0僅有1個(gè)實(shí)根.

④當(dāng)a=0,b=2時(shí),

f(x)=x3+2,

則

f′(x)=3x2≥0,

即f(x)在R上單調(diào)遞增,函數(shù)的圖像與x軸只有1個(gè)交點(diǎn)，故x3+x+b=0僅有1個(gè)實(shí)根.

⑤當(dāng)a=1,b=2時(shí),

f(x)=x+x+2,

則

f′(x)=3x2+1>0,

即f(x)在R上單調(diào)遞增,函數(shù)的圖像與x軸只有1個(gè)交點(diǎn)，故x3+ax+b=0僅有1個(gè)實(shí)根.

綜上所述,①③④⑤正確.

例5設(shè)函數(shù)

若f(x)恰有2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______．

(2015年北京市數(shù)學(xué)高考理科試題)

分析這是一個(gè)分段函數(shù)，其中一段是指數(shù)型，另一段是二次函數(shù)型，因此要先考慮每一段的值域與零點(diǎn)的關(guān)系，再考慮總零點(diǎn)數(shù).

2)若函數(shù)g(x)=2x-a當(dāng)x<1時(shí)與x軸無交點(diǎn)，則h(x)=4(x-a)(x-2a)與x軸有2個(gè)交點(diǎn).

當(dāng)a≤0時(shí)，g(x)與x軸無交點(diǎn)，h(x)=4(x-a)(x-2a)當(dāng)x≥1時(shí)與x軸無交點(diǎn)，不合題意；

當(dāng)h(1)=2-a≥0時(shí)，a≥2,h(x)與x軸有2個(gè)交點(diǎn)，x=a和x=2a,由于a≥2，2個(gè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)均滿足x≥1.

說明解決此類問題最好畫出函數(shù)圖像，會(huì)顯得相對直觀.

4與函數(shù)圖像的切線有關(guān)的類型

這類問題多是確定直線的斜率，這就必然要與曲線的切線發(fā)生內(nèi)在聯(lián)系,與導(dǎo)數(shù)掛上鉤.

例6已知函數(shù)

若g(x)=f(x)-kx有3個(gè)零點(diǎn)，則k的取值范圍是______.

(2015年安徽省數(shù)學(xué)高考模擬試題)

圖6

分析由題知即求f(x)=kx的解，可畫出f(x)和kx的圖像，利用導(dǎo)數(shù)求x=0,x<0,x>0這3種情況下,f(x)各有1個(gè)零點(diǎn)時(shí),k的取值范圍，再求交集即可.

解由題意畫出圖像如圖6所示.

1)當(dāng)x=0時(shí)，f(0)=ln1=0,k×0=0,知0是g(x)的一個(gè)零點(diǎn).

g(x)=ln(x+1)-kx,

則

當(dāng)k≥1時(shí)，則g′(x)<0，即g(x)在(0，+∞)上單調(diào)遞減,從而g(x)

表1　函數(shù)單調(diào)性

下面給予證明：令

(2015年安徽省數(shù)學(xué)高考模擬試題)

圖7

分析函數(shù)g(x)=f(x)-kx+k零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，即函數(shù)f(x)與h(x)=k(x-1)圖像交點(diǎn)個(gè)數(shù)，畫出函數(shù)圖像，采用數(shù)形結(jié)合可得答案.

解令h(x)=k(x-1)，則可作出f(x)和h(x)函數(shù)圖像(如圖7所示),因?yàn)閔(x)=k(x-1)經(jīng)過(1,0)點(diǎn)，且斜率為k,所以

2)當(dāng)x>1時(shí)，

若函數(shù)g(x)=f(x)-kx+k有2個(gè)零點(diǎn)，則函數(shù)f(x)與h(x)=k(x-1)的圖像有2個(gè)交點(diǎn).

綜上所述,1

說明解決此類問題若畫出函數(shù)圖像，則更易確定參數(shù)的范圍,同時(shí)不會(huì)犯一些原則性錯(cuò)誤.

以上就近幾年高考中和?？贾斜容^熱點(diǎn)的函數(shù)零點(diǎn)與參數(shù)關(guān)系類問題，進(jìn)行了分類解析，不足之處望多斧正.

中圖分類號：O122

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號：1003-6407(2016)05-42-04

作者簡介：章禮抗(1966-)，男，安徽樅陽人，安徽省特級教師，研究方向：數(shù)學(xué)教育.

修訂日期：*收文日期：2015-11-24；2015-12-24.