●邱慎?！　?徐州市第三十七中學(xué)　江蘇徐州　221006)

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《錯(cuò)題同樣值得研究》的再探*

●邱慎海(徐州市第三十七中學(xué)江蘇徐州221006)

摘要：數(shù)列和不等式是高中數(shù)學(xué)中的重點(diǎn)知識(shí)、高考的熱點(diǎn)內(nèi)容之一，也是完善數(shù)學(xué)思維和培養(yǎng)數(shù)學(xué)化能力的較好素材.求解數(shù)列和不等式的綜合問(wèn)題，應(yīng)合理、恰當(dāng)、靈活地選用高中數(shù)學(xué)的有關(guān)知識(shí)和方法，適當(dāng)換元，正確推理.

關(guān)鍵詞：等差數(shù)列;數(shù)形結(jié)合;換元法;線性規(guī)劃

筆者有幸拜讀了本刊2011年第12期王先進(jìn)老師撰寫的《錯(cuò)題同樣值得研究》一文(以下稱文獻(xiàn)[1])，欽佩王老師深厚的數(shù)學(xué)功底和刻苦鉆研的精神.此類問(wèn)題是高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的常態(tài)問(wèn)題，王老師抓住了3種錯(cuò)誤思路的要害：對(duì)于例1，用1個(gè)反例說(shuō)明了3種典型解法的錯(cuò)誤；用2個(gè)特例說(shuō)明了結(jié)果不能用統(tǒng)一形式表示[1].筆者認(rèn)為有幾個(gè)問(wèn)題值得商榷：1)原文指出3種錯(cuò)誤解法,解的是前面條件的充分不必要條件，而不是充分必要條件，但王老師對(duì)例2的解答是否有類似的錯(cuò)誤之嫌？2)原文的解法用了大量的數(shù)論知識(shí)，是否有更為簡(jiǎn)捷又貼近《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》和《高考說(shuō)明》要求的解決思路和方法？3)原文指出結(jié)果不能用統(tǒng)一的形式表示，例1的答案到底和a1的取值有怎樣的關(guān)系呢？4)求解例2的方法是否具有一般性？[2]

對(duì)于例2，文獻(xiàn)[1]提供的解法分4步，簡(jiǎn)要摘錄如下：

參考文獻(xiàn)

[1]劉兼,鄧曉天.數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)解讀[M].北京：北京師范大學(xué)出版社,2002.[2]丁福珍.“勾股分割點(diǎn)”盡壓群芳,獨(dú)放光彩——2015年浙江省臺(tái)州市中考卷壓軸題亮點(diǎn)賞析[J].中學(xué)教研(數(shù)學(xué)),2016(1):47-49.[3]陳咸存,王基一,嚴(yán)賢盟,黃偉建.幾何畫板與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)[M].杭州:浙江文藝音像出版社,2003.

(1)

(2)

[18x]-[3x]=6.

由取整函數(shù)的性質(zhì)，知

18x-1<[18x]≤18x，-3x≤-[3x]<1-3x，

(3)

因此

即

6≤[18x]≤8，[3x]=1，

當(dāng)且僅當(dāng)[18x]=7，[3x]=1時(shí)，方程(1)成立.從而7≤18x<8，1≤3x<2，故

即

筆者給出例2的解答如下：

即

設(shè)x=d，y=nd，則

(4)

圖1

畫出不等式組(4)所表示的平面區(qū)域即四邊形ABCD及其內(nèi)部(如圖1)，其中

類似地，可以得到：

評(píng)注上述解法數(shù)形結(jié)合，直觀形象，簡(jiǎn)捷方便，先確定n的值，再求出d的取值范圍，巧妙利用了換元和線性規(guī)劃等思想方法，也為例1的探究提供了思考和推理的方向.

以下筆者對(duì)例1進(jìn)行探究：

即

設(shè)x=d，y=nd，則

(5)

圖2

畫出不等式組(5)所表示的平面區(qū)域即四邊形ABCD及其內(nèi)部(如圖2)，其中

由a1<0，得

于是

故必存在n，

(注：以上[x]表示不大于x的最大整數(shù).)

更一般地，可以研究以下問(wèn)題：

例3在非常數(shù)等差數(shù)列{an}中，若a1?(p,q)，能否恰有r(其中r>1,r∈N*)項(xiàng)落在區(qū)間(p,q)(其中p

說(shuō)明：1)在常數(shù)等差數(shù)列{an}中，不可能恰有r(其中r∈N*)項(xiàng)落在區(qū)間(p,q)(其中p

以下分a1≤p和a1≥q這2種情況討論：

1)若a1≤p，則d>0.設(shè)數(shù)列{an}中可能落在區(qū)間(p,q)內(nèi)的最小項(xiàng)為an+1，則

即

設(shè)x=d，y=nd，則

(6)

由p1，得

圖3

畫出不等式組(6)所表示的平面區(qū)域即四邊形ABCD及其內(nèi)部(如圖3)，其中

2)若a1≥q，則d<0.設(shè)數(shù)列{an}中可能落在區(qū)間(p,q)內(nèi)的最大項(xiàng)為an+1，則

即

設(shè)x=d，y=nd，則

(7)

由p1，得

畫出不等式組(7)所表示的平面區(qū)域即四邊形ABCD及其內(nèi)部(如圖4)，其中

圖4

在以上每一種情況中，只要在圖4中求出每一條直線y=nx與四邊形ABCD邊界的交點(diǎn)，即可求出每一個(gè)n值對(duì)應(yīng)的d的取值范圍，再求出它們的并集即得結(jié)果.

故在非常數(shù)等差數(shù)列{an}中，若a1?(p,q)，則總有r(其中r>1,r∈N*)項(xiàng)落在區(qū)間(p,q)(其中p

[1]王先進(jìn)．錯(cuò)題同樣值得研究[J]．中學(xué)教研(數(shù)學(xué))，2011(12)：23-25．

[2]李玉琪,李家俊．?dāng)?shù)學(xué)方法與解題方法論[M]．徐州：中國(guó)礦業(yè)大學(xué)出版社，1993：264-270．

[3]閔嗣鶴,嚴(yán)士健．初等數(shù)論[M]．北京：高等教育出版社，1982：18．

中圖分類號(hào)：O12

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1003-6407(2016)05-32-04

作者簡(jiǎn)介：邱慎海(1976-)，男，江蘇沛縣人，中學(xué)高級(jí)教師，研究方向：數(shù)學(xué)教育.

修訂日期：*收文日期：2015-12-31；2016-02-28.