●文　鋒　　(臨岐鎮(zhèn)初級中學　浙江淳安　311703)

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學好數(shù)學的重要環(huán)節(jié)：解題反思*

●文鋒(臨岐鎮(zhèn)初級中學浙江淳安311703)

摘要：問題從反思中來，經(jīng)驗從反思中來，能力也從反思中來，故學生對解題的反思正是促進學生數(shù)學能力發(fā)展的有效途徑.文章借助2個案例，結(jié)合自已的教學實際，對解題反思的價值、途徑與方法等內(nèi)容進行了較有意義的探討，以期能對數(shù)學學習者有所幫助.

關鍵詞：解題反思;反思案例;反思習慣

1解題反思及其價值

在數(shù)學學習中，經(jīng)常會看到不少學生做完一道題后不假思索地急于做其他的題目，以為這樣做可以提高數(shù)學成績.其實，一個數(shù)學問題的解決并不等于會解這道題，還缺少一個環(huán)節(jié)，那就是解題反思.那么何為解題反思呢？解題反思就是從本質(zhì)上對整體的解題活動進行深入思考，它包括解題層面的回顧反思和學會解題層面的回顧反思.著名數(shù)學家波利亞曾經(jīng)將數(shù)學解題劃分為4個階段：澄清問題、繪制計劃、實施計劃、最終回顧，其中的最終回顧就是指解題反思，它應當成為數(shù)學解題的一個重要環(huán)節(jié).

長期的學習經(jīng)驗表明，相當一部分學生，因為學習態(tài)度和心理狀態(tài)的不同，也可能由于教師指導的缺失，使得學生沒有解題反思的習慣.長此以往，則會造成學生的數(shù)學學習不能深入，學習效果當然也會大打折扣.因此，倡導和訓練學生進行有效地解題反思應當成為數(shù)學教與學的重要內(nèi)容之一.

解題反思對培養(yǎng)學生思維品質(zhì)具有積極的意義.學生思維的創(chuàng)造性及糾錯能力，都會在解題反思過程中得到增強，運用解題反思過程中形成的知識組塊，可提高學生思維的敏捷性.此外，在解題反思過程中，學生會逐漸養(yǎng)成一種自我評價的意識，對自身水平有一個正確的認知，能有效提高自身的原認知水平[1].可見，加強解題反思，對提升學生的數(shù)學素養(yǎng)具有很大的現(xiàn)實意義.

2解題反思的過程分析

根據(jù)解題反思內(nèi)容及其基本操作步驟，筆者將解題反思劃分為以下2個不同的層面：

2.1解題層面的反思

首先要思考在解題過程中運用了哪些知識點，已知條件、結(jié)論及它們之間的關系，其目的是確保審題的準確性；其次要復查檢驗，看計算是否正確、推理是否合理、思維是否周密、解題過程中思維環(huán)節(jié)是否具有邏輯性、思路是否最簡、結(jié)果與題意在實際生活中是否相符等等，其目的是確保解題結(jié)果的正確性與解題過程的合理性；再就是“將原解分解成若干個單元信息，然后將知識與方法相結(jié)合，最終從邏輯結(jié)構、知識庫、信息流、產(chǎn)生心理過程等方面進行分析，然后概括總結(jié)出新知識和方法的基本步驟，對信息單元進行重組或改造成一個新的信息，最后對新的信息排序，可以更深入地理解深層性質(zhì)的數(shù)學問題，將產(chǎn)生一些新的解決問題的方法，大腦中的數(shù)學知識之間的聯(lián)系就能得到實質(zhì)性的加強，解決問題者可以體驗到如何理解問題的解決，從而奠定提煉解題理論的基礎”[1].

2.2學會解題層面的反思

通過對題目中所含知識與方法的挖掘，站在系統(tǒng)的高度，對各種解法對比分析，透析問題的本質(zhì)，尋求多方聯(lián)系，感悟數(shù)學思想，真正實現(xiàn)數(shù)學名師孫維剛老師所說的“一題多解，多解歸一，多題歸一”的目的[2].養(yǎng)成科學的思維習慣，造就強大的大腦，提升自身數(shù)學素養(yǎng)以及分析問題與解決問題的能力.

3解題反思的案例分析

例1求下列不等式中x的取值范圍:

(1)

(2)

知x+1≥0，

(3)

解得x≥-1．

(4)

誤解2看出上面的解法沒有考慮“在定義域(-∞,-3]∪[2,+∞)上求解”，故聯(lián)立式(2)和式(4)，解得x≥2．

誤解3將式(1)的2邊平方得

(x+1)2(x+3)(x-2)≥0，

但當x=-1時，原式?jīng)]有意義，故

(x+1)2>0，

從而

(x+3)(x-2)≥0,

解得x的取值范圍是(-∞,-3]∪[2,+∞).

評注本例涉及的知識點、方法為：二次根式的概念、一元一次不等式解法、一元二次不等式解法及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想方法.雖然較簡單，但類似的錯誤很普遍，復雜在對邏輯關系的理解與處理上.

從而

x>2．

解法1由“≥?>或=”得

解得

x>2或x=-3,x=2,

取并集，合并得x≥2及x=-3．

(5)

評注本解法用“≥?>或=”來處理，實際上是從邏輯關系上將一個復雜的問題分解成幾個簡單的問題進行處理.這種化復雜為簡單的思維方式對避免一些邏輯性錯誤的發(fā)生是非常有益的，也是解決數(shù)學問題的重要思維方式.

解得

x>2或x=-3,x=2,

取并集，合并得x≥2及x=-3．

解法3討論x+1的符號，原式等價于

解得

x≥2或x=-3,x=2，

取并集，合并得x≥2及x=-3．

評注以上4種解法，實際上是運用了分類討論思想，分類討論思想既是一種重要的數(shù)學思想，又是一種重要的邏輯性劃分方法.當對目前所研究的問題涉及的對象不能統(tǒng)一處理時，就要對研究對象進行分類，然后對每一類分別進行研究，以便明確地給出每一類的結(jié)果，最終綜合各類結(jié)果得到整個問題的解答.

解法5(補集法)先求不等式的存在域(-∞,-3]∪[2,+∞)，然后求解

解得

x<-3．

在存在域(-∞,-3]∪[2,+∞)上求{x|x<-3}的補集，得x≥2及x=-3．

評注本解法運用的是“正難則反”的解題策略.解決數(shù)學問題時，一般總是從條件出發(fā)按照習慣的思維模式，進行正面順向地思考，這對解決大多數(shù)問題是有效的.而對某些問題，若一味地進行正面順向思考，思維往往會受阻.此時，若能沖破思維定勢的束縛，采用“正難則反”的辯證思維策略，則可迅速找到解題的突破口.

對例1解題層面的幾個反思：

1)解法對比分析：以上幾種解法通向“目標”的思維方向可分為以下幾個方面：解法1和解法2是為了分清邏輯關系而將等與不等分開處理，這樣就避開了邏輯關系混亂而造成錯誤的現(xiàn)象，采取了分而治之的數(shù)學思維策略；解法3和解法4是以一個不等式為主、另一個不等式為輔的解題策略；解法5是采用正難則反的數(shù)學思維策略.不同的思維方向會給解決問題的繁雜程度帶來不同的影響，經(jīng)常對比反思各種解法，優(yōu)化解題方法，學生的解法選擇能力就會大大提高.

2)透析本質(zhì).解題以后，除了需要明確相關的知識結(jié)構以外，還要深入地探究其問題的本質(zhì)，實現(xiàn)知識的遷移和擴充.這樣，相關知識更具有體系，對提高學生的思維能力是極為有益的.就本題而言，其實質(zhì)是考查一元一次不等式及一元二次不等式的解法，運用根式包裝，并將等與不等的邏輯關系鑲嵌其中，所考查知識并不難.學生出現(xiàn)困難的原因還在于邏輯關系混亂.

3)學會運用數(shù)學思想方法解題.本題以上幾種解法，采用了分類討論、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想方法，避開了因邏輯關系混亂而造成的錯誤，是解題的關鍵所在.數(shù)學思想方法是解決數(shù)學問題的靈魂，是形成數(shù)學能力、數(shù)學意識的橋梁，是靈活運用數(shù)學知識、技能的關鍵.掌握好數(shù)學思想方法，對數(shù)學的學習將會起到事半功倍的效果.

例2方程x2+mx+2=0的2個根之比為2，求m的值.

從而

m=±3.

(x1+x2)2-4x1x2=m2-8=(x1-x2)2,

從而

又x1+x2=-m，于是求出x1,x2，以下同解法1.

解法3設方程的2個根為x1,x2，由題意得

從而

又x1x2=2，于是

即m=±3，代入方程檢驗正確.

解法4設一個根為α，則另一個根為2α.由題意得

從而

于是

故m=±3，代入方程檢驗正確.

解法5設方程的2個根為x1,x2，由題意得

解得

故m=-(x1+x2)=±3，代入方程檢驗正確.

解法6設方程的2個根為x1,x2，由題意得

解得m=±3，代入方程檢驗正確.

評注本題涉及的是一元二次方程根的問題，對于此類問題，一般都要考慮一元二次方程根的判別式，以確定方程是否有根，在方程有根的前提下，再去求m的值.本題的6種解法都沒有考慮這個前提，是否存在缺陷呢？答案是否定的，因為如果是求m的范圍，一般要先考慮一元二次方程根的判別式，這應是解題的關鍵一步.本題是求m的值，如果解題過程是等價變形，求出的值一定是正確的，否則就求不出來；如果解題過程中有不等價變形，求出m的值之后，只要代入原題檢驗是否正確即可，沒有必要考慮一元二次方程根的判別式.此問題若變式拓展為“方程mx2+x+2=0的2個根之比為2，求m的值”，則解題時首先要考慮使該方程為二次方程的m的范圍，在此范圍內(nèi)再對所求m的值作出取舍.

對例2解題層面的幾個反思：

1)一題多解(達到熟悉).不同角度的解法在思路上拉開的距離較大，應用的知識改換較多，這將加深對題目的本質(zhì)理解，加深對每個解法的本質(zhì)理解，加深對所用概念和公式及相互間聯(lián)系的理解；再把這些解法相互比較，進行抽象，還會在方法上有所創(chuàng)造，提高解題能力，這樣的一題多解就會有價值.本題是在洞察了問題本質(zhì)的基礎上，運用方程思想，使得解法不斷地優(yōu)化.一題多解利于訓練學生的發(fā)散思維，長期訓練對提升學生的數(shù)學素養(yǎng)是有好處的.

2)多解歸一(尋求共性).本題的6種解法，是在方程思想的指導下進行的，思維層次是依次遞進的：解法1思維層次最低，直接將文字語言轉(zhuǎn)化成代數(shù)式，缺少解題的優(yōu)化意識；解法2和解法3雖然想到了根與系數(shù)的關系，得對條件的組合仍缺少必要的思考，顯然沒有考慮計算的復雜與簡潔；解法4和解法5有解題的優(yōu)化意識，并考慮到了條件的重組對計算繁簡的影響，選取了較好的解題路徑；解法6從思維上又上升了一個層次，該解法主要源于對問題本質(zhì)的思考，本題是求一個字母的值，只需構造出含此字母的一個方程即可.于是，想到重新思考各種條件，尋求等量關系，使得問題得以順利解決.通過對以上多種解法的相互比較，進行抽象，挖掘本質(zhì)，達到賞玩于股掌之上的程度，數(shù)學學習就不再是困難的事了.

3)多題歸一(尋求規(guī)律).該題若從方法上拓展，則可變形為方程x2+mx+2=0的2個根的平方和為5，求m的值.若從題目形式上考慮，則可變式拓展為方程x2+mx+2=0的2個根之比在[1，2]內(nèi)，求m的取值范圍；若考慮與其他知識結(jié)合，則可千變?nèi)f化，若與最值結(jié)合，則可變形為求方程x2+mx+2=0的2個根的平方和的最小值等等.題由根生，只有抓住題根，才能看透問題的本質(zhì)，做到以不變應萬變.

通過對以上2個例題的反思，我們能有效避免解題錯誤的發(fā)生，能看到各種解法的優(yōu)劣，更能洞察到問題的本質(zhì).如果能長期堅持解題反思，必然能達到“精解一題、妙解一類、固化于形、內(nèi)化于心”的學習效果，學習者的數(shù)學素養(yǎng)在一定時間內(nèi)必然會有一個質(zhì)的提升.

4培養(yǎng)學生解題反思習慣的幾個途徑

4.1課堂教學的一個重要任務是引導學生學會解題反思

因為課堂教學是提高學生反思能力的主渠道，當一個問題解決后，教師應引導學生善于進行回顧反思，善于進行引伸與推廣，善于制定出解決問題的思考角度，形成活躍的思維，去發(fā)現(xiàn)新的問題，這是訓練學生養(yǎng)成解題反思習慣的重要途徑.當然并不是所有的問題在解題后都需要再反思，“什么時候反思，如何反思”也沒有固定的模式，但如果教師在課堂上給予重視，課堂上多給學生提供解題反思的機會，可培養(yǎng)學生的解題能力，提高學生的數(shù)學素養(yǎng)，最終使學生達到“學會學習”的至高境界.

4.2充分利用數(shù)學錯題本進行解題反思

學生在學習數(shù)學時，都會出現(xiàn)這樣那樣的錯誤，如果平時能引起足夠的重視，把這些錯誤記錄收集起來，建一個屬于自已的數(shù)學錯題本，并經(jīng)常進行查閱、反思，定能彌補知識上的不足和思維上的缺陷，這也是幫助學生提高反思能力的重要方法.有了這個糾錯本，學生就可以及時糾正錯誤并分析錯誤原因，并進行改進等，這也是對腦中已經(jīng)形成的思維過程進行積極主動地修正，以求吸取教訓，杜絕此類錯誤再次發(fā)生.

4.3通過寫反思日記(或數(shù)學隨筆)來進行解題反思

反思智慧是加德納多元智力中的一種，旨在通過學生積極、自主地對自身學習過程進行回顧、思考，從而自我評判前一階段的得失，以促進學生的學習活動的效率.寫反思日記無疑提供了一個讓學生用數(shù)學的語言或自己的語言表達數(shù)學思想方法和情感的機會.數(shù)學反思日記能真實地記錄學生的數(shù)學思維的成長過程，能促進學生自主學習能力的形成，能培養(yǎng)學生的反思能力，能促使學生在鞏固所學知識的基礎上回歸樸實，在平和、寬容的環(huán)境里對學習的得失進行整體的反思，從而在反思中不斷地進步.

總之，解題反思是學好數(shù)學的重要環(huán)節(jié)，它是一個深入總結(jié)的過程，是一個汲取教訓、日漸進步的過程，也是一個付出勞動、收獲成功的過程.對一個數(shù)學問題來說，會解決只是其中的一部分，反思也是必不可少的環(huán)節(jié)[3].唯有如此，學生的數(shù)學解題能力、思維能力、數(shù)學素養(yǎng)才能真正得到提升.

參考文獻

[1]羅增儒.中學數(shù)學課例分析[M].西安：陜西師大出版社，2001.

[2]趙國忠.中國教學的奇跡[M].南京：南京大學出版社，2013.

[3]葉福陽.教學的反思[J].中小學數(shù)學，2008(6)：22-25.

中圖分類號：O12

文獻標識碼：A

文章編號：1003-6407(2016)05-36-04

作者簡介：文鋒(1980-)，女，湖南桃江人，中學一級教師，研究方向：數(shù)學教育.

修訂日期：*收文日期：2016-02-24；2016-03-30.