●呂振杰　　(豐寧滿族自治縣第三中學(xué)　河北承德　068350)

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法之不同品有所異*

●呂振杰(豐寧滿族自治縣第三中學(xué)河北承德068350)

摘要：“提高解題效能、提升解題能力、優(yōu)化思維品質(zhì)”是數(shù)學(xué)教學(xué)的核心任務(wù)，教學(xué)中如何以一題為抓手，兼顧效能、能力、品質(zhì)的培養(yǎng)，應(yīng)該成為教學(xué)的新常態(tài).本文從解題的通法、巧法、奇法3個(gè)維度予以拋磚引玉，以期有所引領(lǐng).

關(guān)鍵詞：解題;方法;策略;品質(zhì)

解題是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中最主要的活動(dòng).波利亞說過：數(shù)學(xué)就是解題.然而對(duì)于同一個(gè)問題，采取不同的策略處理，往往能獲得不同的數(shù)學(xué)訓(xùn)練效能，展示別樣的思維精彩.在教學(xué)和復(fù)習(xí)中，“如何實(shí)現(xiàn)法之不同、品有所異的效果”應(yīng)該成為教師教學(xué)中的追求和境界.下面以4個(gè)例題為例進(jìn)行闡釋.

1通法萬能，培養(yǎng)習(xí)慣

通法是一切方法的基礎(chǔ)，高考一般考查通法、基本方法.沒有通法的熟練，就不會(huì)有巧法和妙法的悟道，更不可能有奇法的妙解.重要的通法，學(xué)生應(yīng)該牢固掌握，使“通法”成為解題的“利器”.

例1若關(guān)于x的不等式acos2x+cosx≥-1恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

分析觀察發(fā)現(xiàn)不等式中含有cos2x和cosx，聯(lián)想到它們之間的關(guān)系是

cos2x=2cos2x-1.

這樣原不等式變?yōu)?/p>

a(2cos2x-1)+cosx+1≥0，

這就出現(xiàn)了“二次函數(shù)”的類型.設(shè)cosx=t，則上式變?yōu)?/p>

2at2+t-a+1≥0，

其中-1≤t≤1.這樣問題就變?yōu)椋寒?dāng)-1≤t≤1時(shí)，不等式2at2+t-a+1≥0恒成立，求a的取值范圍.

令f(t)=2at2+t-a+1，其中-1≤t≤1.

1)當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)f(t)=t+1是一次函數(shù)，因?yàn)?1≤t≤1，所以f(t)=t+1≥0顯然成立.

Δ=1-8a(-a+1)≤0,

即

解得

f(-1)=2a-1-a+1=a.

Δ=1-8a(-a+1)=8a2-8a+1>0，

拋物線f(t)=2at2+t-a+1與t軸有2個(gè)交點(diǎn).此時(shí)，

min{f(-1)=a,f(1)=a+2}=f(-1)=a，

f(-1)=2a-1-a+1=a.

上述解題過程盡管過程冗長，但卻是通法，一般學(xué)生都應(yīng)該掌握.通法的價(jià)值在于思維起步較低、容易上手，而解題過程中用到分類、數(shù)形結(jié)合的思想方法是要求學(xué)生熟練掌握的，也是教學(xué)中必須加以強(qiáng)化和訓(xùn)練的.而在解題過程中出現(xiàn)的較大運(yùn)算量，就是要解決目前學(xué)生“計(jì)算能力偏，解題中一看就會(huì)、一做就錯(cuò)、眼高手低”的問題.這樣的解題訓(xùn)練旨在培養(yǎng)學(xué)生的耐心和解題毅力，這一品質(zhì)習(xí)慣的形成是高考解決解析幾何和函數(shù)問題都必須具備的素養(yǎng)，平時(shí)教學(xué)中要通過系統(tǒng)的訓(xùn)練培養(yǎng)學(xué)生“通法上手，咬定解題不放松”的品質(zhì).絕不能在奇、特、巧上過分追求，梳理出各部分知識(shí)結(jié)構(gòu)中的通法、基本方法和根本方法，才是教學(xué)的滄桑正道！

1)求{an}的通項(xiàng)公式；

(2015年全國數(shù)學(xué)高考新課標(biāo)卷理科試題)

分析本題突出考查通法：2式相減和裂項(xiàng)相消，這是處理數(shù)列問題的重要思維策略.

上述2個(gè)式子相減，得

(an+an-1)(an-an-1)=2(an+an-1).

因?yàn)閍n>0，所以

an-an-1=2，

從而數(shù)列{an}是等差數(shù)列.容易得到a1=3，這樣

an=3+2(n-1)=2n+1.

2巧法簡(jiǎn)潔，培養(yǎng)優(yōu)化

訓(xùn)練學(xué)生解題的簡(jiǎn)潔性、迅速性，縮短解題時(shí)間，優(yōu)化解題路徑，是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要任務(wù).解題中運(yùn)用通法解答后，應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生再思考:還有巧法嗎?也就是我們經(jīng)常說的一題多解，而這里追求的多法，要聚焦到“巧”上.巧法的關(guān)鍵在于對(duì)問題的變通——巧變形、巧構(gòu)圖、巧遷移，關(guān)注思維點(diǎn)的啟發(fā)以及數(shù)學(xué)知識(shí)的遷移和重構(gòu).

以上2個(gè)例題如果訓(xùn)練到此結(jié)束，未免有些遺憾，應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生展開自己的思維翅膀，繼續(xù)探究是否有妙法.

因?yàn)閍cos2x+cosx≥-1可轉(zhuǎn)化為

a(2cos2x-1)≥-1-cosx，而

-2≤-1-cosx≤0，

所以對(duì)于任意x∈R，a(2cos2x-1)≥-1-cosx恒成立.

1)當(dāng)2cos2x-1≥0時(shí)，要使a(2cos2x-1)≥-1-cosx恒成立，必須使a≥0.

因此

例3平面向量a=(1,2)，b=(4,2)，c=ma+b(其中m∈R),且c與a的夾角等于c與b的夾角，則m的值為

()

A.-2B.-1C.1D.2

(2014年四川省數(shù)學(xué)高考理科試題)

圖1

分析本題用純代數(shù)法可以解答，但是計(jì)算較為繁瑣.改用數(shù)形結(jié)合法：因?yàn)閙a與a共線，利用矢量的平行四邊形法則，構(gòu)造如圖1所示的圖形，可得

因?yàn)镺BCD為平行四邊形，并且∠COB=∠COD，可以得到∠DCO=∠COD,所以

于是

|ma|=|b|，

故

3奇法制勝，培養(yǎng)創(chuàng)新

出奇制勝，秒殺難題，于數(shù)學(xué)天地間馳騁，于解題突圍中創(chuàng)新，這就是數(shù)學(xué)更高、更遠(yuǎn)、更強(qiáng)的奧林匹克精神.這樣堅(jiān)持有助于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新能力.而奇法、妙法的生成不是一蹴而就的，需要不斷積累知識(shí)、錘煉批判意識(shí)和挑戰(zhàn)意識(shí)，更需要將知識(shí)融會(huì)貫通.“奇法”的關(guān)鍵在于突破固有思維模式的禁錮，在一般中找特點(diǎn)，在抽象中尋直觀，在看似不相關(guān)中建相關(guān)，突破模式化思維束縛.

對(duì)于例1，因?yàn)椤瓣P(guān)于x的不等式acos2x+cosx≥-1恒成立”，也就是a(2cos2x-1)≥-1-cosx恒成立.

1)因?yàn)閷?duì)任意的x不等式成立，所以令cosx+1=0，得到a≥0.

2)設(shè)1+cosx=t，則t∈[0,2].原不等式變?yōu)?/p>

a[2(t-1)2-1]≥-t?a(2t2-4t+1)≥-t,

當(dāng)t=0時(shí)顯然成立.當(dāng)t∈(0,2]時(shí)，可得

從而

本題的解法有3“奇”：奇在特值的應(yīng)用、奇在變量換元為非負(fù)數(shù)、奇在變換成等價(jià)形式后用基本不等式.

例4已知向量a,b,c滿足|a|=|b|=a·b=2，(a-c)·(b-2c)=0，則|b-c|的最小值為

()

(2014年河北省衡水中學(xué)第5次調(diào)研試題)

圖2

分析本題用代數(shù)法完成幾乎不可能，用構(gòu)造法可以出奇制勝.

因?yàn)閨a|=|b|=a·b=2，由a·b=2得

|a|·|b|cos=2,

從而

中圖分類號(hào)：O122

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1003-6407(2016)05-12-04

作者簡(jiǎn)介：呂振杰(1966-)，男，河北承德人，河北省特級(jí)教師，研究方向：數(shù)學(xué)教育.

修訂日期：*收文日期：2016-02-27；2016-03-30.