●孫小龍　　(如皋市第一中學(xué)　江蘇如皋　226500)

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類比探究給思維插上飛翔的翅膀*

●孫小龍(如皋市第一中學(xué)江蘇如皋226500)

摘要：圓切線的性質(zhì)有很多，橢圓切線的性質(zhì)一定也有很多.文章從一道試題出發(fā),由圓中的切線性質(zhì)推廣到橢圓中的相關(guān)性質(zhì),通過(guò)類比發(fā)現(xiàn)、證明得到2個(gè)新的結(jié)論,給思維插上飛翔的翅膀.

關(guān)鍵詞：圓;橢圓;類比;證明

筆者任教班級(jí)為江蘇省四星級(jí)高中高三理科普通班，學(xué)生基礎(chǔ)扎實(shí)、思維活躍，對(duì)問(wèn)題有自己的見(jiàn)解，但缺乏必要的思維深度.南通市高三的一次聯(lián)考結(jié)束后，筆者先將答題紙及各題細(xì)分對(duì)照表在課前發(fā)給學(xué)生，布置了課前訂正任務(wù)：找出錯(cuò)誤點(diǎn)，明確錯(cuò)誤理由，歸納此類試題的通解，從訓(xùn)練試題中找出類似的試題進(jìn)行再思考、再?gòu)?qiáng)化.

課初安排小組討論，學(xué)生充分交流、相互補(bǔ)充，部分問(wèn)題、困惑隨之內(nèi)化，筆者則借助此段時(shí)間充分了解學(xué)生思考的現(xiàn)狀，對(duì)既定的教學(xué)方案作現(xiàn)場(chǎng)調(diào)整與生成，以便更切合學(xué)生的實(shí)際.講在學(xué)生需要之地，講在學(xué)生期待之中，講在學(xué)生思維突破之處.筆者發(fā)現(xiàn)各小組對(duì)聯(lián)考試卷填空題第14題討論比較熱烈，筆者決定將試卷講評(píng)即時(shí)調(diào)整為對(duì)這道試題的專題研討，以下是課堂展示與講評(píng)實(shí)錄.

1常規(guī)解法,小組展示

筆者參與各小組的討論，即時(shí)點(diǎn)撥、適時(shí)引導(dǎo)，討論向縱深方向發(fā)展，筆者選擇部分小組將解法展示如下：

展示1(特殊方法)如圖1,選取特殊點(diǎn)A(0,1),此時(shí)直線方程為y=1，從而

于是

展示2(一般性計(jì)算)如圖2,直線l的方程為

即

于是直線l的方程為x1x+2y1y-2=0.原點(diǎn)到直線l的距離為

由焦半徑公式可得

從而

2解題反思,提出問(wèn)題

師：反思這道試題你還有什么收獲與思考？分享你們小組討論的成果.

生1：由上述可得，直線l的方程為

x1x+2y1y-2=0,

即

生2：由切線方程可得

生3：圓的切線垂直于切點(diǎn)與圓心的連線，類比到橢圓的切線也應(yīng)有類似的性質(zhì)，但不知道是什么性質(zhì).

一石激起千層浪，瞬間各小組若有所思，隨即又展開(kāi)了討論.

生4：圓類比到橢圓，相當(dāng)于將圓心拆分成了2個(gè)焦點(diǎn)，只有∠F1PF2的平分線相對(duì)于切點(diǎn)及2個(gè)焦點(diǎn)來(lái)說(shuō)是處于最中間的位置，應(yīng)該是∠F1PF2的平分線垂直于橢圓的切線.

生5：一個(gè)角的內(nèi)角平分線垂直于外角平分線，也就是說(shuō)橢圓的切線應(yīng)該是∠F1PF2外角的平分線.

3猜想結(jié)論,嚴(yán)格證明

結(jié)論1橢圓上任一點(diǎn)處的切線即為該點(diǎn)對(duì)2個(gè)焦點(diǎn)張角的外角平分線[1].

證法1(直接證法)延長(zhǎng)直線AC和BC，傾斜角及直線的夾角如圖3所示，根據(jù)對(duì)稱性不妨設(shè)點(diǎn)C位于第一象限，由題意可知

結(jié)合圖形可得

α=θ+(π-γ),β=γ-φ,

因?yàn)辄c(diǎn)C(m,n)在橢圓上，可得

即

b2m2+a2n2=a2b2,

所以

即

b2m2+a2n2=a2b2，

所以

圖3 圖4

證法2(間接證法)由于一個(gè)角的內(nèi)角平分線與外角平分線互相垂直，因此要證明直線l為∠ACB的外角平分線，只需證明直線l與∠ACB的內(nèi)角平分線垂直即可.

從而

即

kl·kCE=-1,

即

l⊥CE,

可得直線l為∠ACB的外角平分線.

4點(diǎn)評(píng)拓寬,實(shí)踐應(yīng)用

通過(guò)上述2種證法可知橢圓上任一點(diǎn)處的切線即為該點(diǎn)對(duì)2個(gè)焦點(diǎn)張角的外角平分線，由外角平分線及切線的唯一性可得：橢圓上任一點(diǎn)對(duì)兩焦點(diǎn)張角的外角平分線也是橢圓上該點(diǎn)處的切線.

此前訓(xùn)練試題中有一道試題與外角平分線有關(guān)，投影展示如下：

解如圖5，延長(zhǎng)F1H交F2C的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D,因?yàn)镃H為∠ACB外角的平分線且F1D⊥CH,所以△F1CD為等腰三角形，可推出F1C=CD.由

F1C+F2C=2a,

得

F2C+CD=2a,

即

F2D=2a.

又因?yàn)镠,O分別為F1D和F1F2的中點(diǎn)，所以

從而動(dòng)點(diǎn)H的軌跡為以O(shè)為圓心、a為半徑的圓，動(dòng)點(diǎn)H的軌跡方程為x2+y2=a2.

由結(jié)論1可知：將這道試題中的∠ACB的外角平分線改為橢圓上點(diǎn)C處的切線，其結(jié)論不變.

圖5 圖6

例1是否可以運(yùn)用上述結(jié)論解決呢？某一小組展示如下：

設(shè)∠F1PF2的外角為2θ，結(jié)合圖6可知：d=asinθ，在△AF1F2中，由余弦定理可得

(r1+r2)2-2r1r2(1-cos2θ),

即

從而

教室內(nèi)爆發(fā)出雷鳴般的掌聲，為這組學(xué)生的解法叫好，向這組學(xué)生投去了佩服的眼光.

5歸類探尋,再掀波瀾

筆者提醒學(xué)生回憶與橢圓切線有關(guān)的試題.有的學(xué)生開(kāi)始翻閱整理本，有的查找試卷，有的學(xué)習(xí)小組又一次展開(kāi)了討論.教師從中選擇了不同表征形式的2道試題進(jìn)行小組交流、討論、展示.

例4在圓中有結(jié)論:如圖7，“AB為圓O的直徑，直線AC,BD是圓O過(guò)點(diǎn)A,B的切線，P是圓O上任意一點(diǎn)，CD是過(guò)點(diǎn)P的切線，則有PO2=PC·PD”.類比到橢圓：如圖8,“AB是橢圓的長(zhǎng)軸，直線AC,BD是橢圓過(guò)點(diǎn)A，B的切線，P是橢圓上任意一點(diǎn)，CD是過(guò)點(diǎn)P的切線，則有______.”

圖7 圖8

例3解法展示如圖9,過(guò)點(diǎn)F2作F2G⊥l交l于點(diǎn)N,交F1P的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,聯(lián)結(jié)ON交F2P于點(diǎn)Q，由結(jié)論1可得ON∥F1P且ON=a.進(jìn)而可得∠GPN=∠2,根據(jù)上述結(jié)論可得

∠1=∠GPN,

即

∠1=∠2,

從而

QP=QN.

由OM∥l可得

∠4=∠1,∠3=∠2,

從而

∠3=∠4,

于是

OQ=QM,

由此可得

ON=MP,

即

MP=a.

圖9 圖10

對(duì)于例4,先證明如下結(jié)論2:

結(jié)論2橢圓外一點(diǎn)引橢圓的2條切線，該點(diǎn)與一個(gè)焦點(diǎn)的連線平分該焦點(diǎn)與2個(gè)切點(diǎn)連線段所夾的角[2-3].

F2F11=AF2+AF1=AF2+AF11=2a,

同理，作點(diǎn)F2關(guān)于直線PB的對(duì)稱點(diǎn)F22,可得F1F22=2a.由對(duì)稱性可得

PF1=PF11,PF2=PF22,

從而

△PF1F22≌△PF2F11,

得

∠F11F2P=∠F1F22P.

由對(duì)稱性可得∠PF2B=∠F1F22P,

從而

∠AF2P=∠PF2B,

即PF2平分∠AF2B,同理可得PF1平分∠AF2B.

例4解法展示如圖11，聯(lián)結(jié)CF1，PF1,PF2,DF2,由結(jié)論1可設(shè)∠CPF1=∠DPF2=θ，由結(jié)論2可知

∠CF1A=∠CF1P=∠1,

∠DF2B=∠DF2P=∠2，

在△PF1F2中由內(nèi)角和定理可得

π-2θ+π-2∠1+π-2∠2=π,

圖11

即

∠1=π-∠2-θ，

進(jìn)而可得

∠1=∠PDF2,

從而△PCF1≌△PDF2,

于是PF1·PF2=PC·PD.

筆者追問(wèn)：你們小組是如何想到的？

學(xué)生：圓類比到橢圓，相當(dāng)于將圓心拆分成了2個(gè)焦點(diǎn)，我們猜可能是將PO2變成PF1·PF2，從而得到PF1·PF2=PC·PD，該結(jié)論是否正確要進(jìn)行證明.由

PF1·PF2=PC·PD,

得

由結(jié)論1可得∠CPF1=∠DPF2，從而想到證明△PCF1∽△PDF2，缺少角相等的條件，此題中有從一點(diǎn)出發(fā)的2條切線，再次回到圓，從圓外一點(diǎn)出發(fā)的2條切線，該點(diǎn)與圓心的連線平分圓心與2個(gè)切點(diǎn)與圓心所成的角.類比到橢圓中：橢圓外一點(diǎn)引橢圓的2條切線，該點(diǎn)與一個(gè)焦點(diǎn)的連線平分該焦點(diǎn)與2個(gè)切點(diǎn)連線段所夾的角.此結(jié)論首先通過(guò)特殊位置進(jìn)行了驗(yàn)證，進(jìn)而討論出證明的方法.

筆者點(diǎn)評(píng)：該同學(xué)展示了小組的探索過(guò)程，從中我們要學(xué)會(huì)合理類比，學(xué)會(huì)通過(guò)類比發(fā)現(xiàn)新的結(jié)論.圓切線的性質(zhì)有很多，橢圓切線的性質(zhì)也有很多，通過(guò)類比去發(fā)現(xiàn)、證明、應(yīng)用.這樣才能看得更透徹，運(yùn)用更自如，類比探究，給思維插上飛翔的翅膀.

參考文獻(xiàn)

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[3]崔寶法．橢圓切線的幾個(gè)有趣性質(zhì)及其證明[J]．中學(xué)教研(數(shù)學(xué))，2006(9)：37-38．

中圖分類號(hào)：O123.1

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1003-6407(2016)05-26-04

作者簡(jiǎn)介：孫小龍(1976-)，男，江蘇如皋人，中學(xué)高級(jí)教師，研究方向：數(shù)學(xué)解題教學(xué)研究.

修訂日期：*收文日期：2015-12-03；2016-01-04.