●王順耿　　(高明區(qū)第一中學(xué)　廣東佛山　528500)

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一道向量習(xí)題引出的思考與拓展*

●王順耿(高明區(qū)第一中學(xué)廣東佛山528500)

摘要：通過教材上一道向量習(xí)題，體會(huì)編著者對(duì)教材習(xí)題選編的匠心.借助平面向量基本定理將斜角坐標(biāo)與直角坐標(biāo)建立聯(lián)系；利用斜角坐標(biāo)的相關(guān)知識(shí)，巧解非正交、且難以用直角坐標(biāo)求解的命題.

關(guān)鍵詞：教科書；向量；斜角坐標(biāo)

數(shù)學(xué)教科書上的例、習(xí)題，都是編著者經(jīng)過精心思考、反復(fù)斟酌形成的，它不僅很好地承擔(dān)了大綱中要求掌握的知識(shí)載體，而且還準(zhǔn)確體現(xiàn)課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，傳達(dá)一種信息、引領(lǐng)未來考試的基本方向.如果我們在日常教學(xué)與學(xué)習(xí)中留心品味，可以發(fā)現(xiàn)有些例、習(xí)題可能還站在整個(gè)數(shù)學(xué)體系的高度，承前啟后，體現(xiàn)出編著者的獨(dú)具匠心.

圖1

1一道向量習(xí)題

2)由平面向量基本定理，本題中向量坐標(biāo)的規(guī)定是否合理？

(普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書《數(shù)學(xué)(必修4)》102頁第4題)

2對(duì)編寫這道習(xí)題的理解

向量是一個(gè)群的模型，它對(duì)加法運(yùn)算構(gòu)成群；同時(shí)它也是一個(gè)線性空間模型，即向量、實(shí)數(shù)對(duì)向量加法、數(shù)與向量乘法構(gòu)成線性空間；給向量賦以長度，向量、實(shí)數(shù)對(duì)向量加法、數(shù)與向量乘法構(gòu)成線性賦范空間.因此，向量是抽象代數(shù)、線性代數(shù)、泛函分析中的基本數(shù)學(xué)模型，是理解它們的基礎(chǔ).平面向量基本定理又是平面向量中一個(gè)極為重要的模型，借助基本定理將向量坐標(biāo)化，把幾何與代數(shù)聯(lián)系起來，同時(shí)又是通向線性代數(shù)中線性關(guān)系的基礎(chǔ)[2].

因?yàn)?a-c)·(b-2c)=0，所以

(a-c)⊥(b-2c)，

即

從而

于是

例1提示我們：向量的代數(shù)化(坐標(biāo)化)，除了利用向量基本定理通過正交分解把一個(gè)向量表示為標(biāo)準(zhǔn)正交基下的線性組合，還可以應(yīng)用向量基本定理將任一向量斜向分解，通過另一種形式的坐標(biāo)來表達(dá)，以便遇到非正交問題時(shí)能找到另一種解決途徑.筆者順著編著者的思路，以例1為引子展開深入思考，先在理論知識(shí)上加以延拓和銜接.

3斜坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)

圖2

遵循知識(shí)類比和知識(shí)遷移的規(guī)律，我們暫且把習(xí)題中的坐標(biāo)系xOy形象地稱為斜坐標(biāo)系，有序數(shù)對(duì)(x,y)就叫斜坐標(biāo).與直角坐標(biāo)系一樣，斜坐標(biāo)系也將平面分成4個(gè)象限，分別取定x,y軸上的單位長度|e1|,|e2|，將平面沿x,y軸2個(gè)方向的直線進(jìn)行分割，這樣每個(gè)交點(diǎn)都會(huì)有唯一的斜坐標(biāo).

如圖2，設(shè)e1,e2分別是斜坐標(biāo)系中x軸、y軸正方向上的單位向量，i,j是直角坐標(biāo)系x′Oy′中x′軸、y′軸正方向上的單位向量，∠xOy=θ，則e1=i.在直角坐標(biāo)系中，由平面向量基本定理與三角函數(shù)定義得e2=cosθ·i+sinθ·j,那么向量

4平面向量的斜坐標(biāo)運(yùn)算

在斜坐標(biāo)系中，設(shè)a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，根據(jù)平面向量的基本定理以及向量線性運(yùn)算的結(jié)合律和分配律可得

a+b=(x1e1+y1e2)+(x2e1+y2e2)=(x1+x2)e1+(y1+y2)e2=(x1+x2,y1+y2),

同理可得

a-b=(x1-x2,y1-y2),λa=λ(x1,y1)=(λx1,λy1),

即平面向量斜坐標(biāo)的加、減、數(shù)乘等線性運(yùn)算與直角坐標(biāo)系下向量坐標(biāo)的線性運(yùn)算的規(guī)律一致.

同理可以推得：在斜坐標(biāo)系中向量a=(x1,y1),b=(x1,y2)共線的充要條件為x1y2-x2y1=0，也與直角坐標(biāo)系下向量共線的充要條件一致.在斜坐標(biāo)下求向量的模及向量間的夾角，可將斜坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)來求解.

向量a=(x1,y1)，b=(x2,y2),α是a與b間的夾角，a,b轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)下的向量為

a=(x1+y1cosθ,y1sinθ),b=(x2+y2cosθ,y2sinθ),

則

從而

進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)：在斜坐標(biāo)系中，直線的方程仍然是一次式，直線方程的截距式、兩點(diǎn)式、斜截式與直角坐標(biāo)系中完全相同，定比分點(diǎn)公式、2條直線平行的條件也完全相同.

5斜坐標(biāo)的有效利用

有了上面斜坐標(biāo)的相關(guān)知識(shí)，當(dāng)我們面臨非正交、且難以用直角坐標(biāo)求解的問題時(shí)，不妨試試斜坐標(biāo)，也許會(huì)為解題帶來意外的收獲.

5.1解教材中的相關(guān)習(xí)題

1)求長度(模)、夾角.

例1見文首.

例2若e1,e2是夾角為60°的2個(gè)單位向量，則a=2e1+e2,b=-3e1+2e2的夾角為

()

A.30°B.60° C.120°D.150°

(普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書《數(shù)學(xué)(必修4)》119頁B組第1題第5)小題)

分析利用斜坐標(biāo)知a=2e1+e2=(2,1),b=-3e1+2e2=(-3,2),從而

從而α=120°.故選C.

2)向量共線的判斷.

例3若|a|=2,|b|=3，且a和b不共線，試確定實(shí)數(shù)k，使得(ka+b)∥(a+kb).

解轉(zhuǎn)化為斜坐標(biāo).設(shè)a=(2,0)，b=(0,3),則

ka+b=(2k,3),a+kb=(2,3k).

由x1y2-x2y1=0得k=±1.

圖3

5.2在物理問題中的應(yīng)用

(普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書《數(shù)學(xué)(必修4)》113頁A組第4題)

解以矢量F1,F2所在直線為斜坐標(biāo)的x,y軸，則

即

設(shè)合力F與F1的夾角為α，則

即α=30°，從而F3與F1的夾角為150°.

例6日常生活中，我們都有這樣的體驗(yàn)：2個(gè)人共提一個(gè)旅行包，夾角越大越費(fèi)力；在單桿做引體向上運(yùn)動(dòng)，2臂的夾角越小越省力，請用相關(guān)知識(shí)解析.

圖4

即

5.3簡證經(jīng)典名題

證明如圖5，分別以BC,BA為x軸、y軸建立斜坐標(biāo)系.設(shè)C(a,0)，A(0,c),P(b,0),R(0,d),則在斜坐標(biāo)系中,直線AC的方程為

圖5 圖6

直線RP的方程為

解方程組

得

命題得證.

證明同樣以BC,BA為x軸、y軸建立如圖6所示的斜坐標(biāo)系.設(shè)C(a,0)，A(0,c),P(b,0),R(0,d),則

從而

圖7 圖8

5.4簡解高考題或其他綜合題

(2006年湖南省數(shù)學(xué)高考理科試題)

a1+a200=1，

故

由此我們知道：與傳統(tǒng)解法相比，有些題目運(yùn)用斜坐標(biāo)的解法顯然更容易、更快捷、思路更新穎；筆者深信，斜坐標(biāo)的有效應(yīng)用肯定還可以更深入地滲透于解析幾何、三角函數(shù)等相關(guān)知識(shí)中，只要平時(shí)留心體會(huì)、投入其中，可以發(fā)現(xiàn)更多問題可以用斜坐標(biāo)有效、簡捷地解決.這也算是編著者引入斜坐標(biāo)習(xí)題的另一收獲吧!

參考文獻(xiàn)

[1]課程教材研究所中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開發(fā)中心.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書《數(shù)學(xué)(必修4)》[M]．北京：人民教育出版社,2007.

[2]嚴(yán)仕健，張奠宙，王尚志．普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)解讀[M]．南京：江蘇教育出版社,2004.

[3]趙臨龍.對(duì)偶原理下的Menelaus定理與Ceva定理的統(tǒng)一[J].中學(xué)教研(數(shù)學(xué)), 2011(7):37-39．

中圖分類號(hào)：O123

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1003-6407(2016)05-15-05

作者簡介：王順耿(1966-)，男，浙江淳安人，中學(xué)高級(jí)教師，研究方向：數(shù)學(xué)教育.

修訂日期：*收文日期：2015-11-28；2015-12-30.