●吳丹紅　　(四明中學(xué)　浙江寧波　315040)

●唐恒鈞　　(浙江師范大學(xué)教師教育學(xué)院　浙江金華　321004)

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基于問題鏈的“函數(shù)單調(diào)性”教學(xué)探索*

●吳丹紅(四明中學(xué)浙江寧波315040)

●唐恒鈞(浙江師范大學(xué)教師教育學(xué)院浙江金華321004)

摘要：“問題”被喻為數(shù)學(xué)的心臟，是思維的源泉和動(dòng)力.設(shè)計(jì)符合學(xué)生心理的問題鏈更是一門藝術(shù)，它能引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行有效地思考和探究.文章以函數(shù)圖像的定性描述為起點(diǎn)問題，構(gòu)建3個(gè)符合學(xué)生認(rèn)知的主干問題和若干子問題，層層推進(jìn)，并不斷精細(xì)化，最后水到渠成得到函數(shù)單調(diào)性概念的定量刻畫及拓展應(yīng)用的一個(gè)案例，以此來說明基于數(shù)學(xué)問題鏈的一些教學(xué)探索.

關(guān)鍵詞：問題鏈；單調(diào)函數(shù)；單調(diào)區(qū)間

為了在數(shù)學(xué)教學(xué)中為學(xué)生提供高水平的數(shù)學(xué)內(nèi)容，同時(shí)也為學(xué)生的獨(dú)立思考提供載體，四明中學(xué)在與浙江師范大學(xué)的合作中開展了“基于數(shù)學(xué)問題鏈的教學(xué)改革”的系列探索.本文正是其中的一個(gè)實(shí)踐案例.

1數(shù)學(xué)問題鏈及其構(gòu)建方法

“問題鏈”是指在課堂上呈現(xiàn)給學(xué)生的有序的主干問題串.它既為學(xué)生提供了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的骨架，使學(xué)生能經(jīng)這一問題鏈獲得高水平的數(shù)學(xué)知識(shí)，同時(shí)問題鏈中的每一個(gè)問題及問題間的跨度又為學(xué)生高水平的思維提供了可能性.基于問題鏈的教學(xué)也在一定程度上使教師的工作重心由課內(nèi)轉(zhuǎn)向了課外.如何構(gòu)建適合學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的問題鏈成為首要工作，這要求教師在課堂上更多地讓學(xué)生去獨(dú)立或合作地探索問題鏈中的相關(guān)問題.

在構(gòu)建問題鏈的過程中，一般要經(jīng)歷3個(gè)階段，即:首先,通過構(gòu)建數(shù)學(xué)主題結(jié)構(gòu)關(guān)系圖，尋找教學(xué)聯(lián)結(jié)點(diǎn)；其次,根據(jù)數(shù)學(xué)主題設(shè)計(jì)主干問題；再次,根據(jù)學(xué)生實(shí)際，構(gòu)建主干問題鏈[1].當(dāng)然，由于在第1階段綜合考慮了數(shù)學(xué)主題之間的關(guān)聯(lián)及其在學(xué)校課程中的順序關(guān)系，因此后2個(gè)階段往往又是交叉重疊的.

2函數(shù)單調(diào)性的教學(xué)聯(lián)結(jié)點(diǎn)與問題鏈

2.1函數(shù)單調(diào)性的教學(xué)聯(lián)結(jié)點(diǎn)

函數(shù)單調(diào)性的學(xué)習(xí)是基于初中已有知識(shí)的基礎(chǔ)之上的，圖1顯示了初中和高中關(guān)于函數(shù)單調(diào)性的學(xué)習(xí)內(nèi)容.在初中階段學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了一次函數(shù)、反比例函數(shù)和二次函數(shù)，以及利用圖像說明變化趨勢，用y隨x的增大而增大(或減小)定性地描述函數(shù)單調(diào)性.而到高中階段，則要求學(xué)生更細(xì)致地利用自變量及其函數(shù)值的變化關(guān)系定量地刻畫單調(diào)性，并根據(jù)這一關(guān)鍵屬性形成單調(diào)函數(shù)及其單調(diào)區(qū)間的定義.而應(yīng)用單調(diào)函數(shù)的定義則可以證明某個(gè)函數(shù)的單調(diào)性，以及判斷、求解函數(shù)的最值問題.

圖1　初中與高中函數(shù)單調(diào)性學(xué)習(xí)的結(jié)構(gòu)圖

基于上述分析，在高中函數(shù)單調(diào)性教學(xué)時(shí)應(yīng)以圖像刻畫、定性描述為基礎(chǔ)，特別要以“用y隨x的增大而增大(或減小)”的定性描述方式為教學(xué)關(guān)聯(lián)點(diǎn)，并由此深化為用“對于定義域中某個(gè)區(qū)間D上任意x1和x2，均有f(x1)f(x2))”的定量刻畫.

2.2“函數(shù)單調(diào)性”教學(xué)的問題鏈

該問題是教學(xué)的起點(diǎn)性問題，旨在激活學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)，并為高中函數(shù)的解析刻畫方式的關(guān)聯(lián)奠定基礎(chǔ).

問題2如何通過高中所學(xué)的自變量x及其函數(shù)值f(x)的關(guān)系來更細(xì)致地、定量化地刻畫上述變化趨勢？

問題2-1以y=x2為例，你能比較、歸納f(x)隨x的變化特點(diǎn)嗎？

1)可以借助表1加以分析.

表1　函數(shù)值對應(yīng)表

2)除了表中取到的自變量，取其他自變量時(shí)函數(shù)值又有什么樣的特點(diǎn)？

問題2-2對于其他函數(shù)，你能得到什么樣的結(jié)論？

問題2-3你能用上述方法去刻畫其他更一般的函數(shù)嗎？

這里通過3個(gè)子問題將學(xué)生對單調(diào)性的刻畫方法由定性轉(zhuǎn)向定量，并由具體問題推廣至一般問題，形成單調(diào)函數(shù)、單調(diào)區(qū)間的定義，并通過一些問題引導(dǎo)學(xué)生加深對單調(diào)函數(shù)、單調(diào)區(qū)間定義的理解.

問題3函數(shù)的單調(diào)性中涉及到自變量、對應(yīng)法則(及由此確定的函數(shù)值)及單調(diào)性等要素.如果只給出其中一些要素作為條件，你能獲得其他要素的結(jié)論嗎？

問題3-1已知某個(gè)函數(shù)在定義域上是單調(diào)遞增的，自變量的2個(gè)取值x1

問題3-2已知某個(gè)函數(shù)，自變量的2個(gè)取值x1f(x2)，這個(gè)函數(shù)是減函數(shù)嗎？為什么？要如何添加條件才能使上述結(jié)論成立？

問題3-3已知函數(shù)y=x3，如何判斷該函數(shù)的單調(diào)性及其單調(diào)區(qū)間？

問題3-4你能概括出判斷函數(shù)單調(diào)性的一般方法嗎？請自己找一個(gè)函數(shù)驗(yàn)證你提出的判斷方法的有效性.

問題3旨在幫助學(xué)生建立起數(shù)學(xué)相關(guān)概念及其所涉及的要素間的關(guān)系，以形成概念網(wǎng)絡(luò).同時(shí)問題3也希望為學(xué)生理解如何命題提供機(jī)會(huì)，這對于提高學(xué)生的解題能力是有價(jià)值的.問題3-1是單調(diào)函數(shù)及單調(diào)區(qū)間的簡單應(yīng)用，同時(shí)為后續(xù)問題的解決提供思路.問題3-2則是對單調(diào)函數(shù)概念理解的精致化處理，即解決學(xué)生在單調(diào)函數(shù)的學(xué)習(xí)中容易忽視的2個(gè)問題：一是定義中2個(gè)自變量取值的任意性;二是單調(diào)函數(shù)是描述函數(shù)局部特征的.問題3-3利用單調(diào)函數(shù)的定義和函數(shù)的解析式判斷單調(diào)性，并為函數(shù)單調(diào)性判斷與證明的一般方法的發(fā)現(xiàn)(問題3-4)提供線索.

該課在問題3之后又安排了一些練習(xí)來進(jìn)一步鞏固學(xué)生對于單調(diào)性的理解，以及函數(shù)單調(diào)性的判斷與表示.

3若干反思

函數(shù)的單調(diào)性是學(xué)生在了解函數(shù)概念后學(xué)習(xí)的函數(shù)的第1個(gè)性質(zhì)，是函數(shù)學(xué)習(xí)中第1個(gè)用數(shù)學(xué)符號(hào)語言刻畫的概念，因此對于單調(diào)性學(xué)生的認(rèn)知困難主要在以下2個(gè)方面：

1)要求用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)符號(hào)語言去刻畫圖像的上升與下降，這種由形到數(shù)的翻譯、從直觀到抽象的轉(zhuǎn)變對于高一學(xué)生來說是比較困難的.

2)單調(diào)性的證明是學(xué)生在函數(shù)內(nèi)容中首次接觸到的代數(shù)論證內(nèi)容，而學(xué)生在代數(shù)方面的推理論證能力是比較薄弱的[2].由此，本節(jié)課從學(xué)生已經(jīng)熟悉的函數(shù)圖像入手，從靜態(tài)的函數(shù)圖像中引導(dǎo)學(xué)生觀察動(dòng)態(tài)的函數(shù)變化趨勢.從圖形語言—自然語言—數(shù)學(xué)符號(hào)語言得出單調(diào)性的定義，其中用數(shù)學(xué)符號(hào)語言來刻畫圖形語言和自然語言是一個(gè)難點(diǎn)，它的本質(zhì)在于自變量不可能被窮舉，因此精心設(shè)計(jì)了問題2-1中的第2)小題引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步思考，初步體會(huì)需要討論任意的2個(gè)自變量之間的關(guān)系，從而實(shí)現(xiàn)從有限到無限的轉(zhuǎn)變，完成單調(diào)性從“形”到“數(shù)”的轉(zhuǎn)化.

這是一堂數(shù)學(xué)概念教學(xué)課，它的目的是幫助學(xué)生獲得數(shù)學(xué)概念，理解數(shù)學(xué)概念，運(yùn)用數(shù)學(xué)概念，并在這個(gè)過程中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)方法，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想，感受數(shù)學(xué)文化[3].本堂課以問題鏈為載體，體現(xiàn)了學(xué)生的主體性，課堂上也調(diào)動(dòng)了學(xué)生思維的積極性，促進(jìn)了學(xué)生思維活動(dòng)的參與，較好地實(shí)現(xiàn)了概念教學(xué)的目的.

中圖分類號(hào)：O122

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1003-6407(2016)05-07-03

作者簡介：吳丹紅(1978-)，女，浙江寧波人，中學(xué)一級教師，研究方向：數(shù)學(xué)教育.

基金項(xiàng)目：教育部人文社會(huì)科學(xué)基金項(xiàng)目“文化視野下中澳數(shù)學(xué)課程的比較研究”(14YJC880066).

修訂日期：*收文日期：2016-02-23；2016-03-28.