趙偉舟，景慧麗，張　輝（第二炮兵工程大學(xué)　理學(xué)院，陜西　西安　710025）

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復(fù)函數(shù)的極點判定問題研究

趙偉舟，景慧麗，張輝
（第二炮兵工程大學(xué)理學(xué)院，陜西西安710025）

摘要：本文基于復(fù)變函數(shù)的極點主要討論了常見判定方法的特點及適用性，并給出了零點和極點的重要結(jié)論以及在極點判定中的具體應(yīng)用.

關(guān)鍵詞：復(fù)變函數(shù)；極點；零點

極點是孤立奇點的重要類型之一，通常不僅要回答是否為極點，還應(yīng)指出極點的級.在極點判定中是一個首要工具，其優(yōu)勢在于能快速給出是否為極點的說明，無需在以z0為心的環(huán)域上將其展開為洛朗級數(shù)，但不足之處在于無法給出極點的級的進一步回答，而這又是洛朗級數(shù)研究極點的優(yōu)勢所在.實際研究極點時，通常需要根據(jù)復(fù)函數(shù)的具體形式選擇不同的討論方法.本文主要對極點的級的研究方法進行小結(jié)，以期為學(xué)員提供明晰的解題思路.

1　極點判定的常用方法及適用性分析[1　][2　]

1.1級數(shù)法

所謂級數(shù)法，是指復(fù)函數(shù)f(z)借助r＜|z-z0|＜R上的洛朗級數(shù)討論極點的方法.該方法特別適用于f (z)易于展成洛朗級數(shù)的情形.尤其是當f(z)由常見初等函數(shù)sinz，cosz，ez等復(fù)合而成時，研究z0=0作為極點的類型時，借助洛朗展開式是相當方便的.

因此，z=0是2級極點.

1.2表示法

1.3零點法

零點法用于研究極點時，應(yīng)特別注意極點和零點的討論對象不同，各自對應(yīng)的復(fù)函數(shù)應(yīng)滿足“倒函數(shù)”的關(guān)系.該方法表明，可以通過研究“倒函數(shù)”的零點以獲得f(z)的極點，特別適用于f(z)為分式函數(shù)的情形.

解考察z2(ez-1)的零點，顯然z=0是z2的2級零點，是ez-1的1級零點，從而z=0是z2(ez-1)的 3級零點.根據(jù)零點法，z=0是的3級極點.

2　復(fù)合函數(shù)的零點和極點性質(zhì)

從上面看出，借助零點判定極點是非常方便的.限于篇幅，這里直接給出判定零點級數(shù)的重要結(jié)論，較現(xiàn)有文獻的結(jié)論更全面、實用[3][4]，相應(yīng)地可獲得復(fù)合函數(shù)極點的相關(guān)結(jié)論.

結(jié)論1設(shè)z0分別為f(z)和g(z)的m級零點和n級零點，即f(z)=(z-z0)mφ(z)，g(z)=(z-z0)mψ(z)，其中φ (z)和ψ(z)在z0解析，且φ(z0)≠0，ψ(z0)≠0，則：

①對f(z)±g(z)，

a.當m=n且φ(z0)±ψ(z0)時，z0是f(z)±g(z)的m級零點；

b.當m≠nz0是f(z)±g(z)的min(m,n)級零點.

②對f(z)g(z)，z0是f(z)g(z)的m+n級零點.

④對[f(z)]k，k∈N，z0是[f(z)]k的mk級零點.

結(jié)論2設(shè)z0分別為f(z)和g(z)的m級極點和n級極點，即，其中φ(z)和ψ(z)在z0解析，且，則：

①對f(z)±g(z)，

a.當m=n且φ(z0)+ψ(z0)≠0時，z0是f(z)±g(z)的m級極點；

b.當m≠n時，z0是f(z)±g(z)的max(m,n)級極點.

②對f(z)g(z)，z0是f(z)g(z)的m+n級極點.

④對[f(z)]k，k∈N，z0是[f(z)]k的mk級極點.

3　結(jié)論

復(fù)變函數(shù)的極點判定，通常具有較多方法例如級數(shù)法、表示法和零點法等可供選擇，其方法主要依賴于復(fù)變函數(shù)的具體形式.正確判定極點級數(shù)，一方面需要對各種判定方法的特點和適用性有所了解，另一方面需要通過練習(xí)根據(jù)函數(shù)特點，具有針對性地選擇合適方法.

參考文獻：

〔1〕西安交通大學(xué)數(shù)學(xué)教研室.復(fù)變函數(shù)（第四版）[M].北京：高等教育出版社，1996.

〔2〕蓋云英，包革軍.復(fù)變函數(shù)與積分變換（第二版）[M].北京：科學(xué)出版社，2007.

〔3〕李茂才，李汝烯，拓行.淺析以復(fù)變函數(shù)零點性質(zhì)確定極點階數(shù)的方法[J].貴州教育學(xué)院學(xué)報（自然科學(xué)版），2009(6):7-8.

〔4〕王文琦.確定復(fù)雜復(fù)變函數(shù)極點階數(shù)的一種方法[J].山西大同大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版）,2012(2): 3-4.

收稿日期：2015-11-17

中圖分類號：O174.5

文獻標識碼：A

文章編號：1673-260X（2016）04-0003-02