劉 尚,周富照,黃創(chuàng)霞,吳志虎

(1.長沙理工大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,長沙 410114; 2.中南大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)院,長沙 410083)

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數(shù)學(xué)軟件輔助高等數(shù)學(xué)教學(xué)的應(yīng)用探索

劉 尚1,周富照1,黃創(chuàng)霞1,吳志虎2

(1.長沙理工大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,長沙 410114; 2.中南大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)院,長沙 410083)

摘 要:根據(jù)目前高等數(shù)學(xué)教學(xué)現(xiàn)狀,在教學(xué)中充分利用現(xiàn)代信息化教育技術(shù),將高等數(shù)學(xué)的主要教學(xué)內(nèi)容分成幾個(gè)模塊,合理適當(dāng)?shù)乩脭?shù)學(xué)軟件輔助高等數(shù)學(xué)教學(xué),借助數(shù)學(xué)軟件強(qiáng)大的圖像功能、計(jì)算功能以及分析功能改善現(xiàn)代課堂的教學(xué)模式.加強(qiáng)學(xué)生在課堂教學(xué)中的參與性,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣,提高學(xué)習(xí)效果.進(jìn)一步提高學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力,培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)踐應(yīng)用能力和創(chuàng)新能力.

關(guān)鍵詞:高等數(shù)學(xué); 數(shù)學(xué)軟件; 教學(xué)效果; 創(chuàng)新能力

1　高等數(shù)學(xué)教學(xué)現(xiàn)狀分析

高等數(shù)學(xué)是高等院校大多數(shù)專業(yè)必修的一門重要基礎(chǔ)課,由于其邏輯性強(qiáng),具有較高的抽象性,內(nèi)容多而授課學(xué)時(shí)相對較少,一直以來都被公認(rèn)為是教師難教,學(xué)生難學(xué)的一門課程.高等數(shù)學(xué)知識(shí)掌握的好壞,直接影響學(xué)生后繼各理工科專業(yè)課程的學(xué)習(xí),這是因?yàn)楦叩葦?shù)學(xué)所授內(nèi)容是理工科各專業(yè)學(xué)習(xí)研究中最基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)知識(shí).然而在高等數(shù)學(xué)的教學(xué)中,與高等數(shù)學(xué)重要性相對的卻是學(xué)生學(xué)習(xí)積極性不高,興趣缺乏,教學(xué)質(zhì)量不高,甚至一部分基礎(chǔ)較差的學(xué)生由于無法接受所學(xué)知識(shí),對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)完全失去了信心,干脆不學(xué),使得考試及格率不高.

通過對學(xué)生的調(diào)研,我們發(fā)現(xiàn)在高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中主要存在以下幾個(gè)方面的問題: 第一,內(nèi)容多,速度快.由于學(xué)時(shí)的限制,要在有限的時(shí)間內(nèi),學(xué)完如此多的知識(shí),沒有預(yù)留學(xué)生思考的時(shí)間,必然導(dǎo)致理解困難,跟不上進(jìn)度,學(xué)習(xí)興趣不高; 第二,教學(xué)內(nèi)容枯燥,抽象性強(qiáng),理解困難; 第三,數(shù)學(xué)知識(shí)的運(yùn)用不清晰.學(xué)生只感覺學(xué)到一些概念公式、定理以及做了大量的習(xí)題,對于為什么學(xué)習(xí)數(shù)學(xué),怎么運(yùn)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題卻不是很清楚; 第四,教學(xué)手段單一.針對上述問題,如何改變這種教學(xué)現(xiàn)狀,提高學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性,提高課堂教學(xué)效果和教學(xué)質(zhì)量,這些都是國內(nèi)外數(shù)學(xué)教育工作者一直在積極探討和解決的問題[1～3].

我們提出將數(shù)學(xué)軟件與高等數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容有機(jī)結(jié)合,充分利用學(xué)校建立的數(shù)學(xué)建模與創(chuàng)新教育基地,對理工科學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)軟件在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用探索.一方面,在高等數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容中把數(shù)學(xué)建模最基本的內(nèi)容和方法融入其中.在教學(xué)手段上以Matlab,Mathematica等數(shù)學(xué)軟件為工具,在課堂上進(jìn)行演示性數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué).對高等數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容如: 函數(shù)導(dǎo)數(shù)、函數(shù)積分、函數(shù)極值等數(shù)值計(jì)算問題,編寫簡單的數(shù)學(xué)程序,繪制重要的平面函數(shù)圖像及曲面圖形.另一方面階段性的讓學(xué)生借助數(shù)學(xué)軟件,自己上機(jī)演算數(shù)學(xué)問題,進(jìn)行實(shí)踐性操作,動(dòng)腦、動(dòng)手解決與專業(yè)結(jié)合的實(shí)際問題[4],讓學(xué)生獲得成就感,調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力,培養(yǎng)創(chuàng)新能力等綜合能力.總之,利用數(shù)學(xué)軟件輔助高等數(shù)學(xué)的教學(xué),將會(huì)在很大程度上降低教與學(xué)的難度,縮小數(shù)學(xué)理論與數(shù)學(xué)應(yīng)用之間的距離,提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,進(jìn)一步提高數(shù)學(xué)教學(xué)的效果和教學(xué)質(zhì)量.

2　數(shù)學(xué)軟件輔助高等數(shù)學(xué)教學(xué)的重要性

利用現(xiàn)代計(jì)算機(jī)技術(shù),將計(jì)算機(jī)軟件與高等數(shù)學(xué)教學(xué)相結(jié)合,已成為教學(xué)改革的熱點(diǎn).現(xiàn)代社會(huì)已進(jìn)入電子信息技術(shù)時(shí)代.隨著現(xiàn)代信息技術(shù)的不斷發(fā)展,計(jì)算機(jī)軟件的不斷升級(jí)換代,為大學(xué)數(shù)學(xué)的教與學(xué)提供了優(yōu)越的條件.將常用的數(shù)學(xué)軟件融于高等數(shù)學(xué)的教學(xué)中,是數(shù)學(xué)教學(xué)發(fā)展的必然趨勢.將數(shù)學(xué)軟件內(nèi)容融于數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中,具有以下優(yōu)點(diǎn).

(1)利用數(shù)學(xué)軟件輔助高等數(shù)學(xué)教學(xué),能更好地促進(jìn)師生之間的互動(dòng),有效地改善傳統(tǒng)教學(xué)的弊端[5].

(2)利用數(shù)學(xué)軟件強(qiáng)大的圖像功能,通過直觀圖形、動(dòng)畫演示進(jìn)行理論驗(yàn)證與分析,使得高等數(shù)學(xué)教學(xué)更生動(dòng)、直觀、形象.

(3)在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中,借助數(shù)學(xué)軟件構(gòu)建數(shù)學(xué)情景引入數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)方法,將抽象復(fù)雜的概念形象化、簡單化,彌補(bǔ)直接講授的抽象與乏味,讓學(xué)生盡量在快樂中學(xué)習(xí),樹立學(xué)生學(xué)好高等數(shù)學(xué)的信心.

(4)利用數(shù)學(xué)軟件輔助高等數(shù)學(xué)教學(xué),可以提高學(xué)生的計(jì)算能力,培養(yǎng)分析和解決問題的能力,進(jìn)一步提高學(xué)生創(chuàng)新能力和實(shí)踐能力[6].

3　將高等數(shù)學(xué)內(nèi)容分成幾個(gè)具體教學(xué)模塊,利用數(shù)學(xué)軟件輔助教學(xué)

我們通過對高等數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)課時(shí)的分析和研究,在高等數(shù)學(xué)教學(xué)過程中,將教學(xué)內(nèi)容分成以下四個(gè)教學(xué)模塊,利用數(shù)學(xué)軟件設(shè)計(jì)相應(yīng)的數(shù)值實(shí)驗(yàn),用以輔助高等數(shù)學(xué)教學(xué).

教學(xué)模塊一: 函數(shù)極限.在教學(xué)過程中利用數(shù)學(xué)軟件編寫實(shí)驗(yàn)程序,選取自變量的不同的變化趨勢,生成函數(shù)圖形,觀察相應(yīng)的函數(shù)值的變化趨勢.通過描繪的函數(shù)圖形,分析和觀察函數(shù)連續(xù)性和間斷點(diǎn).通過本模塊實(shí)驗(yàn)對函數(shù)進(jìn)行計(jì)算和作圖,加深對數(shù)列極限和函數(shù)極限定義本質(zhì)的理解,學(xué)會(huì)求簡單函數(shù)極限的方法,深入理解函數(shù)的連續(xù)與間斷性質(zhì).

輸入>>syms n

limit((1+1/n)^n,n,inf)

輸出為:

ans=

exp(1)

>> ezplot('(1+1/x)^x',[1,200])

輸出圖形如圖1所示.從圖形中可以看出極限值為e.

>> ezplot('x*cos(x)',[0,20*pi])

輸出圖形如圖2所示.結(jié)合函數(shù)圖形,學(xué)生很容易理解此函數(shù)是無界函數(shù),但不是一個(gè)無窮大量.

圖1

圖2

教學(xué)模塊二: 函數(shù)求導(dǎo).編程繪制函數(shù)在對應(yīng)區(qū)間的圖形,求函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù),計(jì)算一階導(dǎo)數(shù),二階導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn),確定極值點(diǎn)、拐點(diǎn)、單調(diào)區(qū)間、凹凸區(qū)間,并在圖形上標(biāo)示.利用這些分析使得學(xué)生掌握求導(dǎo)數(shù)的方法,掌握函數(shù)、導(dǎo)函數(shù)、切線的繪圖功能,通過軟件的數(shù)形結(jié)合功能使學(xué)生更好的掌握函數(shù)極值、最值、單調(diào)性、凹凸性等知識(shí)點(diǎn).

圖3

輸入>> x=-4:0.1:4;

y=(1+x^2)^(?1);

y1=?(2*x)/(x^2 + 1)^2;

y2=(8*x^2)/(x^2 + 1)^3?2/(x^2 + 1)^2;

y3=zeros(1,length(x));

plot(x,y,'b?',x,y1,'g*',x,y2,'r:',x,y3)

輸出圖形如圖3所示.其中虛線是函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)y2,米子線是函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)y1,觀察二階導(dǎo)數(shù)的正負(fù)值與函數(shù)的凹凸之間的關(guān)系.

再次輸入

>> f=inline('(8*x^2)/(x^2 + 1)^3 - 2/(x^2 + 1)^2');

a1=fzero(f,[ ?4,0])

a2=fzero(f,[0,4])

輸出結(jié)果為:

a1 =?0.5774

a2 = 0.5774

得到二階導(dǎo)數(shù)等于0的點(diǎn)是?0.5774和 0.5774,可知在(?∞,?0.5774)和(0.5774,+∞)上二階導(dǎo)數(shù)大于零,曲線弧向上凹.在(?0.5774,0.5774)上二階導(dǎo)數(shù)小于零,曲線弧向上凸.

再次輸入

>> x= -0.5774;

>> f1=eval('1/(1+x^2)')

>> x=0.5774;

f 2=eval('1/(1+x^2)')

輸出結(jié)果為:

f1 = 0.7500

f2 =0.7500

這說明函數(shù)在x = -0.5774和x =0.5774的函數(shù)值都是0.75.因此兩個(gè)拐點(diǎn)分別是(?0.5774,0.75)和(0.5774,0.75).

教學(xué)模塊三: 空間圖形的繪制.利用繪圖命令,編寫實(shí)驗(yàn)程序,實(shí)時(shí)生成曲線或曲面,改變曲面的參數(shù)值,改變色彩從不同角度觀察圖形.在同一坐標(biāo)系下繪制不同的曲面圖形,選擇不同的顏色標(biāo)注,并添加交線.了解繪圖命令,繪制空間曲面和曲線,通過作圖和觀察,深入理解多元函數(shù)的概念,柱面和旋轉(zhuǎn)曲面等二次曲面方程及圖形.提高空間想象能力,建立對空間解析幾何的深刻認(rèn)識(shí).

曲面參數(shù)方程為

輸入:

>> t=?pi/4:0.1:pi/4;

r=0:0.1:2*pi;

[r,t]=meshgrid(r,t);

x=sin(r).*sec(t);

y=cos(r).*sec(t);

z=3*tan(t);

surf(x,y,z)

輸出圖形如圖4所示.

教學(xué)模塊四: 無窮級(jí)數(shù)與泰勒展開.對已知級(jí)數(shù),求其和函數(shù)和收斂半徑; 對已知函數(shù)分別求不同階的泰勒展開式,通過作圖比較函數(shù)和它的近似多項(xiàng)式,并形成動(dòng)畫進(jìn)一步觀察對比.掌握求無窮級(jí)數(shù)和,冪級(jí)數(shù)的收斂域以及函數(shù)的泰勒展開的方法.

圖4

輸入>> for n=1:50;

a=1;

for m=1:n

a=a*10/m;end

plot(n,a,'*')

hold on

end

輸出圖形如圖5所示.

本題的求解調(diào)用MATLAB中的Maple內(nèi)核,再次輸入:

clear;

s1=maple('sum(10^n/factorial(n),n=1..infinity)')

得級(jí)數(shù)和為

s1=exp(10)-1

圖5

4　結(jié)束語

將數(shù)學(xué)軟件融入高等數(shù)學(xué)教學(xué),通過課堂提出問題,現(xiàn)場演示操作,讓學(xué)生參與進(jìn)來,使他們直接面對自己的勞動(dòng)成果.現(xiàn)在大部分學(xué)生都有電腦,課后通過設(shè)計(jì)一系列有實(shí)際應(yīng)用背景的問題,引導(dǎo)學(xué)生參與操作,模擬過程,綜合抽象,延伸拓廣,通過對所得圖形、數(shù)據(jù)的觀察或演算,很大程度上能夠滿足他們的好奇心、求知欲和成就感.學(xué)生在這種探索分析和計(jì)算問題的過程中,能充分發(fā)揮學(xué)生主觀能動(dòng)性,極大地提高學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性,從而提高教學(xué)質(zhì)量和教學(xué)效果.同時(shí)也為培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模興趣和愛好奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ),讓更多的學(xué)生選修數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課和數(shù)學(xué)建模課,為全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽挑選隊(duì)員儲(chǔ)備了人才.在教學(xué)中通過提出問題、發(fā)現(xiàn)問題,讓學(xué)生學(xué)會(huì)合作交流、自主探索,

培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力和質(zhì)疑意識(shí),鼓勵(lì)獨(dú)立判斷和批判性思維的建立[6].因?yàn)橹挥性趯で髥栴}的解答和質(zhì)疑的分析、驗(yàn)證的過程中,在不同意見和觀點(diǎn)相互交流或交鋒的過程中,才能將新的思維認(rèn)知融入到已有思維認(rèn)知當(dāng)中,才能真正培養(yǎng)出具有創(chuàng)新思維的適應(yīng)21世紀(jì)社會(huì)和經(jīng)濟(jì)發(fā)展需要的新型復(fù)合型人才.

參考文獻(xiàn)

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[5] 戴宏亮.運(yùn)用多媒體改革高等數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的實(shí)踐和認(rèn)識(shí)[J].高等數(shù)學(xué)研究,2006(6): 54～56

[6] 劉雄偉,王 曉.高等數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)化教學(xué)模式的理論研究與實(shí)踐[J].高師理科學(xué)刊,2012(32): 75～78

Application of Mathematical Software on Advanced Mathematics Teaching

LIU Shang1,ZHOU Fu-zhao1,HUANG Chuang-xia1,WU Zhi-hu2
(1.Changsha University of Science and Technology,mathematics and computing science institute,Changsha 410114; 2.South Central University,school of information science and Engineering ,410083)

Abstract:Considering on the actual situation in the course of advanced mathematics,we can divide the teaching contents into several modules,so the teachers can take full advantage of modern educational technology,and mix some of the teaching contents with mathematical software.It can help to make up the shortcoming of multi-media instruction by the introducing of mathematical software because of its real-time and versatility.We can improve mathematics teaching mode by use of the strong ability of mathematical software on image processing,calculating and analyzing.Following this way,we can encourage the student to join in the teaching course,stimulate their interesting to study,improve the effect of learning.Furthermore,the mathematical modeling ability of students can be enhanced,and can help to cultivate their ability of practice and innovation.

Key words:advanced mathematics,mathematical software,teaching effect,innovation ability

作者簡介:劉 尚(1980?),女,湖南汨羅人,在讀博士,長沙理工大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院講師.主要研究方向: 偏微分方程數(shù)值解

基金項(xiàng)目:湖南省教育廳項(xiàng)目(09C058); 湖南省教育廳教改項(xiàng)目(湘教通【2012】401號(hào)); 湖南省教育廳普通高校教學(xué)改革研究立項(xiàng)基金項(xiàng)目(湘教通〔2015〕118號(hào)); 長沙理工大學(xué)教學(xué)改革研究項(xiàng)目(JG1443、JG1243); 2012年長沙理工大學(xué)校級(jí)研究生教改課題(10)

收稿日期:2015-10-02

中圖分類號(hào):G642

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A

文章編號(hào):1672-5298(2016)01-0075-04