屈田興,唐玲艷

(國防科技大學(xué) 理學(xué)院,長沙 410073)

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淺談數(shù)學(xué)專業(yè)課之間知識和能力的銜接問題
——實變函數(shù)教學(xué)實踐的幾點體會

屈田興,唐玲艷

(國防科技大學(xué) 理學(xué)院,長沙 410073)

摘 要:專業(yè)課是學(xué)生掌握專業(yè)基礎(chǔ)知識和專業(yè)技能的重要渠道,是學(xué)生成長為某一專業(yè)人才的基礎(chǔ).本文首先從專業(yè)課教學(xué)的特點出發(fā),闡述了在數(shù)學(xué)專業(yè)課教學(xué)中處理好知識與能力銜接問題的重要性.然后以實變函數(shù)的教學(xué)實踐為例,介紹了如何根據(jù)本課程與其它課程內(nèi)容的銜接點和銜接方式,在教學(xué)過程中提出相應(yīng)的教學(xué)策略.最后,對專業(yè)課的建設(shè)和專業(yè)人才培養(yǎng),提出了幾點體會.

關(guān)鍵詞:實變函數(shù); 知識與能力的銜接; 數(shù)學(xué)專業(yè)課

專業(yè)課是學(xué)生掌握專業(yè)基礎(chǔ)知識和專業(yè)技能的重要渠道,是學(xué)生成長為某一專業(yè)人才的基礎(chǔ).但是在專業(yè)課的建設(shè)和教學(xué)中往往存在著這樣的問題: 由于專業(yè)課程包括的科目較多,各課程的教學(xué)內(nèi)容不同,側(cè)重點也不同,因而在課程過渡時專業(yè)知識和能力間緊密的銜接關(guān)系容易被忽視,甚至被割裂.如果不能理順課程之間的關(guān)系,處理好課程內(nèi)容的銜接與貫通,則可能導(dǎo)致出現(xiàn)同一知識點的重復(fù)教學(xué)或者不同課程各自孤立等情況,使得專業(yè)人才的培養(yǎng)質(zhì)量大打折扣,素質(zhì)教育難以落到實處.這個問題的解決既有賴于課程體系的頂層設(shè)計,更需要各專業(yè)課教師在授課過程中靈活而巧妙地處理好知識點之間的彼此銜接,降低課程過渡的學(xué)習臺階,使專業(yè)知識的教學(xué)和專業(yè)技能的訓(xùn)練呈現(xiàn)階段性、整體性與連續(xù)性.

事實上,教師對一門課程的教學(xué)研究大致可分為三個階段: 一、熟悉課程內(nèi)容階段; 二、精通課程內(nèi)容階段; 三、知識與能力的銜接階段.其中第三階段的要求最高,教師不僅要充分挖掘本課程的內(nèi)涵與外延,還應(yīng)該了解該課程與其它相關(guān)課程內(nèi)容的銜接點和銜接方式,并在教學(xué)過程中采用相應(yīng)的教學(xué)策略.筆者多年來在校內(nèi)教授數(shù)學(xué)專業(yè)基礎(chǔ)課“實變函數(shù)”,對于該課程如何更好地為專業(yè)人才培養(yǎng)服務(wù)積累了一些經(jīng)驗.本文將以實變函數(shù)的教學(xué)實踐為例,探討如何在數(shù)學(xué)專業(yè)課教學(xué)中處理好知識與能力的銜接問題.

1　數(shù)學(xué)專業(yè)課之間知識與能力銜接問題的重要性

專業(yè)課教學(xué)是實現(xiàn)專業(yè)人才培養(yǎng)目標的主要方式,學(xué)生通過不同專業(yè)課程螺旋式地逐次學(xué)習所屬學(xué)科領(lǐng)域的基礎(chǔ)理論、基本知識、基本方法和基本技能.以國防科技大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)為例,按照現(xiàn)行的2012本科人才培養(yǎng)方案,數(shù)學(xué)合訓(xùn)類共開設(shè)24門數(shù)學(xué)課程,數(shù)學(xué)技術(shù)類共開設(shè)34門數(shù)學(xué)課程.所有課程按照分析與方程,代數(shù)與幾何,隨機、優(yōu)化與計算,計算機、物理、系統(tǒng)科學(xué)與實驗四個系列進行建設(shè),不同系列課程的思想方法及技巧各不相同,同一系列不同課程的教學(xué)側(cè)重點也不相同.因而,處理好專業(yè)課之間知識與能力的有機銜接具有重要意義:

(1)有利于學(xué)生多視角、多層面地看待本課程的基本理論與方法,加深對課程內(nèi)涵與外延的認識,融會貫通所學(xué)知識,提升數(shù)學(xué)素養(yǎng);

(2)有利于學(xué)生了解專業(yè)知識的發(fā)生、發(fā)展和運用全過程,認識到理論是會不斷產(chǎn)生、發(fā)展和完善的,培養(yǎng)學(xué)生勤于思考的良好習慣,養(yǎng)成科學(xué)務(wù)實的良好品德;

(3)能更好地體現(xiàn)從具體到抽象、再到應(yīng)用的科研過程,提高學(xué)生的學(xué)習積極性、主動性與動手能力,并使學(xué)生樹立正確的科學(xué)研究態(tài)度.

2　關(guān)于實變函數(shù)課程

實變函數(shù)是數(shù)學(xué)專業(yè)的專業(yè)基礎(chǔ)課程,它以點集集合論為基礎(chǔ),研究以實數(shù)為變量的函數(shù),內(nèi)容包括實值函數(shù)的連續(xù)性質(zhì)、微分理論、Lebesgue測度理論與Lebesgue積分理論等.實變函數(shù)課程內(nèi)容抽象,推理嚴謹,方法靈活多樣,且與多門數(shù)學(xué)專業(yè)課程有密切聯(lián)系.一方面,實變函數(shù)是數(shù)學(xué)分析課程的自然延續(xù),兩者均研究實值函數(shù),后者還沿用了前者中的一些結(jié)論和方法,區(qū)別在于實變函數(shù)在點集集合論的基礎(chǔ)上推廣、深化了經(jīng)典分析中的許多基本概念和性質(zhì),使微積分理論得到進一步的發(fā)展.另一方面,實變函數(shù)又是概率論、泛函分析等后續(xù)課程的基礎(chǔ),為學(xué)習概率論的公理化體系、理解一般積分提供了必要的工具和手段,為泛函分析提供了重要而具體的空間.另外,實變函數(shù)對于其他一些涉及積分較多的數(shù)學(xué)專業(yè)課程,如微分方程、隨機過程等的學(xué)習都會有很大幫助.同時,通過對實變函數(shù)課程的學(xué)習,能夠較好地提升學(xué)生的抽象思維能力與數(shù)學(xué)素養(yǎng).

3　實變函數(shù)教學(xué)實踐中一些問題的處理與實施

鑒于實變函數(shù)課程的特殊地位,有必要在教學(xué)實踐中處理好知識與能力的銜接問題,以下是筆者在教學(xué)實踐中對一些具體問題的處理與實施.

3.1 對數(shù)學(xué)表達能力的進一步訓(xùn)練

數(shù)學(xué)專業(yè)課教學(xué)除了培養(yǎng)學(xué)生的計算能力、邏輯思維能力、空間想象能力和分析問題、解決問題的能力之外,還應(yīng)當通過課程的學(xué)習,不斷提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).這其中,數(shù)學(xué)表達能力是最基本的.數(shù)學(xué)表達能力包括口頭表達能力與書面表達能力兩個方面.良好的口頭表達能力便于從多方面多角度去闡述問題,更有利于為解決問題提供想法與思路,而良好的書面表達能力則能夠用簡潔而嚴謹?shù)臄?shù)學(xué)語言來說明問題,它們都是學(xué)生把自己對數(shù)學(xué)概念、思想、方法、解題過程的向他人進行敘述、展示的技能,是學(xué)生今后從事數(shù)學(xué)研究、撰寫學(xué)術(shù)論文、進行科研匯報必不可少的手段.

中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)并不太重視表達能力的培養(yǎng),學(xué)生進入大學(xué)后一下子接觸到嚴謹抽象的分析語言,通常很難理解其中蘊含的邏輯關(guān)系,自行表述起來更是顛三倒四、錯誤百出.為了訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)學(xué)表達能力,數(shù)學(xué)分析課程進行了大量的證明和命題解析.進入實變函數(shù)課程后,由于課程內(nèi)容基本沒有直觀性,很多時候?qū)W生感覺“很明顯”的結(jié)果,卻無法表達清楚,因而數(shù)學(xué)表達能力的訓(xùn)練至關(guān)重要.對于一些基礎(chǔ)命題,教師應(yīng)盡量在黑板上給出分析和證明的完整過程,以便于學(xué)生理解和模仿.批改作業(yè)時,不能僅看解題思路的正確性,還要幫助學(xué)生正確地表述解題過程,包括變量的設(shè)定與前后一致、假設(shè)的合理性、一些常用記號和書寫習慣等.與大多數(shù)艱深的數(shù)學(xué)專業(yè)課一樣,實變函數(shù)課程的習題較少,很多教材上的例題和習題都是一個習題一種類型,解題過程的相似度不足.為此,教師在備課過程中要注意收集和歸納,在課程之初盡量講解和布置相似的習題,便于學(xué)生類比的表達.

3.2 對教材內(nèi)容的處理與實施

在教學(xué)過程中處理好知識與能力的銜接是建立在教師對教學(xué)內(nèi)容熟悉的基礎(chǔ)之上的.前期備課時,教師要了解課程的背景、應(yīng)用和專業(yè)地位,再對教材內(nèi)容進行系統(tǒng)梳理,分清主次.實際教學(xué)過程中,對核心教學(xué)內(nèi)容,要求講活講透; 對介紹性內(nèi)容,則應(yīng)酌情進行簡化處理.同時,還應(yīng)該根據(jù)教學(xué)對象的特點因材施教.

實變函數(shù)論是經(jīng)典微積分的深化與發(fā)展,是現(xiàn)代分析的基礎(chǔ).課程的最主要內(nèi)容是對函數(shù)可積性的研究,它圍繞著改進 Riemann 積分展開,其成果就是 Lebesgue 積分理論.通過系統(tǒng)梳理,課程的體系結(jié)構(gòu)如圖1所示.核心內(nèi)容為Lebesgue測度、Lebesgue可測函數(shù)和Lebesgue積分.考慮到技術(shù)類學(xué)員的知識背景和實際需求,我們選用普通高等教育“十一五”國家級規(guī)劃教材《實變函數(shù)與泛函分析概要(第一冊)》[1]作為課程教材,并根據(jù)課程的地位和作用,在實際教學(xué)中有所側(cè)重.例如,在介紹完Lebesgue測度理論之后,用少量時間介紹抽象測度的基本理論,對σ代數(shù),特別是Borel-σ代數(shù)作了重點講授,而對外測度方法則只介紹思想方法與結(jié)論,重點放在對結(jié)論的應(yīng)用上.Lebesgue可測函數(shù)部分補充給出依測度收斂的充要條件,從而能將幾乎處處收斂的許多結(jié)果推廣到依測度收斂,使得課程后繼內(nèi)容中許多結(jié)論的證明較之教材更簡潔、更深入,便于學(xué)生對比學(xué)習、加深理解.

圖1 實變函數(shù)課程的體系結(jié)構(gòu)

3.3 幾個具體問題的講法

這里通過幾個具體的教學(xué)案例,介紹如何在實變函數(shù)課程教學(xué)中處理好知識與能力的有機銜接.

3.3.1 介紹性內(nèi)容的處理應(yīng)考慮到學(xué)生能力的培養(yǎng)

專業(yè)課程彼此相關(guān),有些內(nèi)容可能同時在好幾門課程中出現(xiàn),如果所有課程都為圖方便而簡單地一筆帶過甚至回避,對學(xué)生的能力培養(yǎng)會產(chǎn)生負面作用.因此,對于一些介紹性內(nèi)容,教師應(yīng)權(quán)衡其重要性,有選擇地進行講授.例如,Zorn引理是Zermolo-Fraenkel(策梅洛-弗蘭克爾)公理體系中眾多彼此等價的命題之一,是處理不可數(shù)過程的必備工具.許多數(shù)學(xué)結(jié)論的證明都要運用它,如Hamel基的存在性、不可測集的存在性、泛函延拓定理、Tychnoff定理,等等.然而這個內(nèi)容不只在實變函數(shù)中出現(xiàn),而且在后續(xù)課程一般拓撲學(xué)中也出現(xiàn),在泛函分析中則有重要應(yīng)用,但它對這三門課程都不是主要內(nèi)容,若不仔細講解,甚至回避,就會導(dǎo)致學(xué)生不能很好掌握Zorn引理的使用.考慮到這種情況與Zorn引理在數(shù)學(xué)專業(yè)中的重要性,我們利用4個學(xué)時對它進行了講授.首先給出直觀上易于接受的選擇公理,再給出Zorn引理的內(nèi)容,并指出它是與選擇公理等價的.教學(xué)的重點則放在對Zorn引理的應(yīng)用上,包括使用的步驟,什么情況下可以使用,這就是: 若對可數(shù)情形能用數(shù)學(xué)歸納法解決的問題,則對一般情形(不必區(qū)分是否可數(shù))就可使用Zorn 引理.最后用Zorn引理給出了線性空間Hamel基的存在性與勢的三岐性的證明.這樣處理后,教學(xué)效果明顯提高.

3.3.2 為加深學(xué)生理解,有必要對教學(xué)內(nèi)容進行適當?shù)臄U展

受學(xué)時所限,每門課程的教學(xué)內(nèi)容是有限的,但人們對自然現(xiàn)象的研究是不斷深入的,知識的發(fā)展并沒有邊際.專業(yè)課的教學(xué)切忌有門戶之見,不能僅局限于一門課程,一種方法,而應(yīng)該博采眾長.教師站得高了,講授才有深度.例如,盡管實變函數(shù)主要涉及Lebesgue測度,但若僅限于此,則對后續(xù)課程的學(xué)習不利.事實上,實變函數(shù)將Riemann積分推廣為Lebesgue積分,必定會給出可測函數(shù)這個抽象又難以理解的概念.為了使學(xué)生從更高的層次理解測度概念的實質(zhì)和近代測度論的基本思想,有必要對照Lebesgue測度,介紹抽象測度的基本知識.因此,在講完Lebesgue測度之后,我們利用少量時間介紹σ代數(shù),并將Borel-σ代數(shù)作為核心內(nèi)容要求學(xué)生熟練掌握.Rn空間中全體開集構(gòu)成的σ代數(shù)稱為Borel-σ代數(shù),其中的集合稱為Borel集.此概念可以將函數(shù)可測的眾多充要條件統(tǒng)一起來,進一步說明可測函數(shù)的本質(zhì),以及概率分布函數(shù)與概率分布的關(guān)系.

3.3.3 通過概念對比和結(jié)果應(yīng)用,體現(xiàn)與后續(xù)課程的銜接

概率論是實變函數(shù)的后續(xù)課程.從測度論的角度看,概率不過是一種特殊的測度,因此它與Lebesgue測度有許多相似之處.我們將兩門課程中的基本概念進行對照,如圖2所示.在實變函數(shù)課程末或概率論課程初,有必要向?qū)W生展示這張表格,使其認識到知識體系是互相聯(lián)系的,通過對比更準確、更深刻地理解有關(guān)概念.

圖2《實變函數(shù)》與《概率論》課程的基本概念對照表

4　思考與體會

專業(yè)人才的培養(yǎng)是一個有機的整體,不僅實變函數(shù)課程需要處理好知識與能力的銜接,其它專業(yè)課教學(xué)也負有同樣的責任.對于這個問題,從專業(yè)課建設(shè)和人才培養(yǎng)的角度,我們有以下幾點思考與體會.

4.1 課程設(shè)置

在專業(yè)課教學(xué)中處理好知識與能力的有機銜接,首先依賴于課程建設(shè)的頂層設(shè)計,即在制定培養(yǎng)方案時就應(yīng)該考慮到這方面的問題,仔細梳理各課程之間的關(guān)系,保證知識與能力的螺旋式、平穩(wěn)增長.專業(yè)課程的設(shè)置工作不能僅僅停留在課程層面,還需要精細到教學(xué)大綱的撰寫,即從知識與能力的整體性方面考慮.對一些常用的數(shù)學(xué)工具,明確在哪門課程中精講,以免出現(xiàn)知識缺失的現(xiàn)象; 對不同課程間重復(fù)的教學(xué)內(nèi)容,指明哪門課程主要介紹,哪門課程簡單帶過,以提高學(xué)習時效.另外,考慮到新形勢下各專業(yè)課的授課學(xué)時均有不同程度的壓縮,應(yīng)從知識的整體性和關(guān)聯(lián)性出發(fā),設(shè)置各課程的教學(xué)側(cè)重點,便于學(xué)生理解和靈活運用.

4.2 教師隊伍建設(shè)

在專業(yè)課的教學(xué)中,單門課程的教學(xué)活動不能是孤立的,而是依托知識點向外延伸,與其它課程有機銜接.專業(yè)課教師不僅要對本課程有深刻理解,對相關(guān)課程的課程內(nèi)容與教學(xué)情況也要有所了解.教師自身的知識體系完整了,才能在教學(xué)過程中靈活地處理好相關(guān)問題.因此,形成相對穩(wěn)固的教師梯隊非常重要.然而,專業(yè)課門類繁多,單門課程的教學(xué)規(guī)模一般比較小,每門課程的授課教員也不宜過多.從節(jié)約人力資源的角度看,按系列課程建設(shè)教師梯隊是個不錯的主意.同一系列的課程彼此關(guān)聯(lián)度大,從師資隊伍的建設(shè)來看也更加靈活.

4.3 抽象數(shù)學(xué)專業(yè)課的講授

大多數(shù)數(shù)學(xué)專業(yè)課程都是非常抽象的,理論精深、邏輯嚴密,如實變函數(shù)、泛函分析、抽象代數(shù)等.如果簡單地就事論事,一個定理一個定理平鋪直敘地講解,學(xué)生難免感覺單調(diào)乏味,學(xué)習的效果也不好.因此,對于這類課程,一定要從知識的整體構(gòu)架方面講授,使學(xué)生了解課程的地位和知識理論的產(chǎn)生與用途,這樣才能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習興趣,達到預(yù)期的人才培養(yǎng)效果.

4.4 多媒體課件的使用

多媒體課件的使用一直是數(shù)學(xué)專業(yè)課教學(xué)中爭議比較大的問題.從知識與能力的銜接方面考慮,我們認為多媒體課件應(yīng)該與板書配合使用.由于教學(xué)改革的推進,各專業(yè)課的學(xué)時都遭到不同程度的壓縮,合理有效的使用多媒體課件可提高教學(xué)的時效性,增加課程的信息量,使教師在較短的時間內(nèi)完成預(yù)期的教學(xué)任務(wù).當然,課件的使用不能盲目.我們的做法是,對簡單的內(nèi)容在黑板上講解思路,用PPT給出證明; 對重難點內(nèi)容則在PPT上給出思路分析,然后板書證明; 對于重要的方法和難以理解的內(nèi)容,通過評注、小結(jié)進行歸納.

參考文獻

[1] 鄭維行,王聲望.實變函數(shù)與泛函分析概要(第一冊)[M].第4版.北京: 高等教育出版社,2010.

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[3] 范洪福.論實變函數(shù)解題方法[J].大學(xué)數(shù)學(xué),2013: 29(1): 95～98

[4] 薛 菲.關(guān)于“實變函數(shù)論”的學(xué)習體會[J].高等數(shù)學(xué)研究,2013: 16(4): 113～114

On the Linking Problem of Knowledge and Ability Between Mathematics Courses——Some Experiences About the Teaching Practice of Real Variable Function

QU Tian-xing,TANG Ling-yan
(College of Science,National University of Defense Technology,Changsha 410073,China)

Abstract:The professional course is an important channel for students to master the professional knowledge and skills.It is also a foundation for the students to grow up as a professional.Based on the features of professional course teaching,we firstly analyze the importance of joining knowledge and ability in mathematics teaching in this paper.Then,the teaching practice of “real variable function" is used as an example to introduce to deal with different situations in the teaching process according to the connection point and the cohesion of the curriculum and other curriculum content.Finally,some thoughts and experiences about the specialty construction and talents training are puts forward.

Key words:real value function,the linking of knowledge and ability,mathematics professional courses

作者簡介:屈田興(1974?),男,陜西蒲城人,國防科技大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)系副教授.主要研究方向: 應(yīng)用數(shù)學(xué)

基金項目:國防科技大學(xué)2013年本科教育教學(xué)一般立項課題(U2013008); 國防科技大學(xué)研究生一流課程體系建設(shè)項目

收稿日期:2015-10-18

中圖分類號:G642

文獻標識碼:A

文章編號:1672-5298(2016)01-0070-05