趙軍產(chǎn),魏耀斌,謝小良,羅智明

(1.湖南商學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,長(zhǎng)沙 410205; 2.武漢紡織大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院,武漢 430072)

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基于Chua電路的一個(gè)超混沌系統(tǒng)的控制同步

趙軍產(chǎn)1,魏耀斌2,謝小良1,羅智明1

(1.湖南商學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,長(zhǎng)沙 410205; 2.武漢紡織大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院,武漢 430072)

摘 要:Chua電路具有廣泛的應(yīng)用價(jià)值,受到越來(lái)越多的研究者的關(guān)注.借助于最新提出的憶阻器電路元件,在Chua系統(tǒng)的基礎(chǔ)上構(gòu)造了一個(gè)新的超混沌系統(tǒng).通過(guò)PC控制和線性反饋方法,分析了兩個(gè)線性耦合的超混沌系統(tǒng)的同步,數(shù)值仿真也驗(yàn)證了理論分析的有效性.

關(guān)鍵詞:Chua電路; 超混沌系統(tǒng); 同步

引言

1971年,著名的電路專家蔡少棠教授提出了一種新型兩端口無(wú)源器件—憶阻器(memristor),并于2008年由美國(guó)惠普(HP)公司研制成功.該器件具有的記憶和非線性功能,使得憶阻器在人工智能、超高密度信息存儲(chǔ)、可編程電路等新興電子信息技術(shù)領(lǐng)域中有著潛在的重要應(yīng)用.因此被認(rèn)為是除電阻、電容、電感之外的第四種基本電路元件.

Chua電路系統(tǒng)[1,2]可用三個(gè)常微分方程來(lái)描述,該系統(tǒng)可由傳統(tǒng)的電路元件實(shí)現(xiàn),在此基礎(chǔ)上可生成多渦卷混沌系統(tǒng),目前已廣泛應(yīng)用于電路、液體攪拌等領(lǐng)域.傳統(tǒng)的Chua電路系統(tǒng)僅有一個(gè)Lyapunov指數(shù)大于零,是一個(gè)典型的混沌系統(tǒng).借助于憶阻器新型的電路元件,楊芳艷[3]等人提出了一個(gè)新型的超混沌系統(tǒng),該系統(tǒng)可以通過(guò)憶阻器代替?zhèn)鹘y(tǒng)的二極管來(lái)實(shí)現(xiàn).并把這個(gè)電路系統(tǒng)通過(guò)四個(gè)微分方程來(lái)描述,分析了系統(tǒng)的平衡點(diǎn)以及Lyapunov指數(shù)的特性.

1990年,Pecora 和Carrol在國(guó)際著名期刊Phys Rev Lett發(fā)表論文,通過(guò)反饋控制,實(shí)現(xiàn)了混沌同步.近年來(lái)混沌控制與同步得到廣泛的研究,提出了許多混沌同步的方法[4～6],例如: OGY方法、微分幾何方法、時(shí)間延遲方法、采樣控制方法等,現(xiàn)在已經(jīng)應(yīng)用到保密通訊、信息處理、液體攪拌等領(lǐng)域[7,8].本文考慮了兩個(gè)耦合的超Chua系統(tǒng)的同步,結(jié)合PC方法[4]和線性反饋控制,成功地將兩個(gè)耦合的系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)同步,數(shù)值仿真結(jié)果也驗(yàn)證了該方法的有效性.

1　基于Chua電路的超混沌系統(tǒng)

在經(jīng)典的Chua系統(tǒng)的基礎(chǔ)上,楊芳艷等人采用分段線性憶阻替換Chua 電路的電阻,提出一種簡(jiǎn)單的四維憶阻電路,通過(guò)理論推導(dǎo)、數(shù)值分析和電路仿真,證實(shí)其中存在著超混沌現(xiàn)象.系統(tǒng)可用如下方程組描述:

圖1 系統(tǒng)的相圖

2　基于線性反饋的同步研究

結(jié)合Pecora 和Carrol提出的方法[4],同時(shí)應(yīng)用線性反饋控制方法,研究?jī)蓚€(gè)耦合的超Chua系統(tǒng)的同步,首先定義驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)為:

同時(shí)定義相應(yīng)系統(tǒng)為:

現(xiàn)在考慮如何選擇適當(dāng)?shù)姆答佋鰤簭?qiáng)度,使系統(tǒng)(4)達(dá)到穩(wěn)定零點(diǎn)狀態(tài),由此得到系統(tǒng)(2)和(3)是同步的.

定理 若混沌系統(tǒng)(2)是有界的,則一定存在適當(dāng)?shù)姆答亸?qiáng)度ki≥0,i = 1,2,3,4,使得系統(tǒng)(2)和(3)是同步的.

其中

選擇適當(dāng)?shù)膋i≥0(i = 1,2,3,4),使得矩陣A的對(duì)角線元素為負(fù)值且嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu).根據(jù)Gerschgorin圓盤定理[9],可得矩陣A是負(fù)定的.

3　數(shù)值仿真

為了驗(yàn)證上述結(jié)果的有效性,選取參數(shù)如下:

驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和耦合系統(tǒng)的初值在[- 2,2]內(nèi)隨機(jī)選取,我們發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)在適當(dāng)?shù)姆答佋鲆嫦履芎芸斓竭_(dá)同步狀態(tài).仿真結(jié)果如圖2所示.

圖2 驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和耦合系統(tǒng)的誤差圖

4　結(jié)論

利用線性反饋控制和PC方法,本文研究了一個(gè)新的超混沌系統(tǒng)的同步.借助于Lyapunov函數(shù)穩(wěn)定性分析方法,給出了達(dá)到同步的充分條件,數(shù)值仿真也驗(yàn)證了該結(jié)果的有效性.為超混沌系統(tǒng)在保密通訊、電路分析等中的應(yīng)用提供了相應(yīng)的理論基礎(chǔ).

參考文獻(xiàn)

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[3] 楊芳艷,冷家麗,李清都.基于Chua電路的四維超混沌憶阻電路[J].物理學(xué)報(bào),2014; 63: 080502

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[9] 劉丁酉.矩陣分析[M].武漢: 武漢大學(xué)出版社,2003

Synchronization of a Hyperchaotic System Based on Chua Circuit

ZHAO Jun-chan1,WEI Yao-bin2,XIE Xiao-liang1,LUO Zhi-ming1
(1.College of Mathematics and Statistics,Hunan University of Commerce,Changsha 410205,China 2.College of Mathematics and Computer Science,Wuhan Textile University,Wuhan 430072,China)

Abstract:Chua circuit has a wide range of applications,and has received more and more attention of researchers.With the help of the memristor,the researchers constructed a new hyperchaotic system based on Chua circuit.Through the PC control and linear feedback method,the synchronization of two chaotic systems with linear coupling is analyzed.Finally,the validity of the theoretical analysis is verified by numerical simulations.

Key words:Chua circuit,hyperchaotic system,synchronization

作者簡(jiǎn)介:趙軍產(chǎn)(1982?),男,河南漯河人,博士,湖南商學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院副教授.主要研究方向: 混沌系統(tǒng)的控制與同步

基金項(xiàng)目:國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61203159)

收稿日期:2015-10-30

中圖分類號(hào):O415.5

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A

文章編號(hào):1672-5298(2016)01-0017-04