☉江蘇省張家港市沙洲中學曾艷輝

例談高考對函數(shù)與方程的考查

☉江蘇省張家港市沙洲中學曾艷輝

高中數(shù)學中《函數(shù)與方程》是重要內(nèi)容，常常會考查函數(shù)的零點、方程的根和兩函數(shù)圖像交點之間的等價轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想.有時與函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性結(jié)合研究方程根的分布區(qū)間或者零點的存在性、零點的個數(shù)問題考查；有時通過對方程根的分布情況的研究，綜合考查不等式的求解、函數(shù)的圖像與性質(zhì)等問題.下面筆者結(jié)合自己的教學實踐談?wù)劯呖紝瘮?shù)與方程的考查，以期拋磚引玉.

一、判斷函數(shù)零點個數(shù)或方程解的個數(shù)問題

判斷函數(shù)零點個數(shù)的常用方法有三種：（1）解方程法；（2）零點存在性定理法：利用該定理不僅要求函數(shù)在區(qū)間［a，b］上是連續(xù)不斷的曲線，且f（a）·f（b）＜0，還必須結(jié)合函數(shù)的圖像與性質(zhì)才能確定函數(shù)有多少個零點；（3）數(shù)形結(jié)合法：畫出兩個函數(shù)的圖像，看其交點的個數(shù).

例1設(shè)方程|x2-1|=k+1，試討論k取不同范圍的值時其不同解的個數(shù)的情況.

分析：我們可把這個問題轉(zhuǎn)化為確定函數(shù)y1=|x2-1|與y2=k+1圖像交點個數(shù)的情況，因函數(shù)y2= k+1表示平行于y軸的所有直線，如圖1，從圖像可以直觀看出.

圖1

解：①當k＜-1時，y1與y2沒有交點，這時原方程無解；

②當k=-1時，y1與y2有兩個交點，原方程有兩個不同的解；

③當-1＜k＜0時，y1與y2有四個不同交點，原方程不同解的個數(shù)有四個；

④當k=0時，y1與y2有三個交點，原方程不同解的個數(shù)有三個；

⑤當k＞0時，y1與y2有兩個交點，原方程不同解的個數(shù)有兩個.

點評：數(shù)形結(jié)合是數(shù)學解題中常用的思想方法，使用數(shù)形結(jié)合的方法，很多問題能迎刃而解，且解法簡捷.本題中將方程的解的問題轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖像的交點個數(shù)問題，使得問題簡單明了.

二、參數(shù)的值或取值范圍問題

根據(jù)函數(shù)零點的存在情況，求參數(shù)的值，已知函數(shù)有零點（方程有根）求參數(shù)取值常用的方法和思路：（1）直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中，畫出函數(shù)的圖像，然后數(shù)形結(jié)合求解.

圖2

點評：加強數(shù)形結(jié)合意識，做到腦中有圖，借助方程的曲線，將圖形性質(zhì)與數(shù)量關(guān)系相結(jié)合可使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，達到化難為易，起到事半功倍的效果.

三、確定函數(shù)零點的區(qū)間，注重定理的運用

f（1）＞0，f（2）＞0，f（-1）·f（0）＜0，因此在區(qū)間（-1，0）上一定有零點.

點評：本題比較基礎(chǔ)，直接根據(jù)零點存在定理求得.

確定函數(shù)零點所在的區(qū)間，常用的方法有三種：一是用定理，二是解方程，三是用圖像.

例3函數(shù)f（x）=2x+3x的零點所在的一個區(qū)間是（）.

A.（-2，-1）B.（-1，0）

C.（0，1）D.（1，2）

四、考查與方程組相關(guān)的問題，滲透數(shù)形結(jié)合的思想

點評：此題解法關(guān)鍵是求出x+y+z，若用純代數(shù)解法是極困難的，但構(gòu)造三角形運用余弦定理便迎刃而解，充分體現(xiàn)了以平面圖形助數(shù)的實效性.把數(shù)量關(guān)系的精確刻畫與平面幾何圖形的形象直觀有機地結(jié)合起來，便于充分揭露問題的條件與結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系（包括原有的隱含條件），在此基礎(chǔ)上恰當?shù)刈兏鼏栴}或變換解題角度，采用數(shù)形結(jié)合的手段來簡化運算過程，提高解題速度.

五、借助零點，考查導數(shù)探究函數(shù)的性質(zhì)

在此類問題中，分析與討論導函數(shù)f′（x）的零點存在與零點分布情況往往是破題的關(guān)鍵.

例5已知函數(shù)f（x）=x2+ax+b，g（x）=ex（cx+d），若曲線y=f（x）和曲線y=g（x）都過點P（0，2），且在點P處有相同的切線y=4x+2.

（Ⅰ）略.

（Ⅱ）若x≥-2時，f（x）≤kg（x），求k的取值范圍.

分析：構(gòu)造輔助函數(shù)h（x）=kg（x）-f（x），問題轉(zhuǎn)化為：探求函數(shù)h（x）在［-2，+∞）上的最小值，以及最小值非負時，參數(shù)k滿足的條件.

因為h（0）≥0，所以k≥1.

求導得：h′（x）=（2x+4）（kex-1），令h′（x）=0，此時，我們可以解得：x1=-2，x2=-lnk.

下面，就只需要對x1、x2作大小關(guān)系的分類討論，厘清函數(shù)h（x）的單調(diào)性，確定最小值即可.

（1）若x2＞x1，即1≤k＜e2時，

函數(shù)h（x）在［-2，-lnk）上單調(diào)遞減，在（-lnk，+∞）上單調(diào)遞增.

那么，h（x）min=h（-lnk）=-ln2k+2lnk≥0，

解得：1≤k＜e2.

（2）若x2≤x1，即k≥e2時，

函數(shù)h（x）在［-2，+∞）上單調(diào)單調(diào)遞增.

那么，h（x）min=h（-2）≥0

解得：k=e2.綜上所述，1≤k≤e2.

點評：本題的破題關(guān)鍵在于“解出導函數(shù)h′（x）的零點”，結(jié)合分類討論，從而為確定函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值奠定的基礎(chǔ).“函數(shù)恒成立”，具有一定的解題方向：“轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值”.分析導函數(shù)f′（x）的零點存在與分布情況成為破題的關(guān)鍵點.G