☉江蘇省如皋市第二中學(xué)王曉紅

解答空間幾何問題的幾個策略

☉江蘇省如皋市第二中學(xué)王曉紅

立體幾何是高考主干知識之一，在歷年各省市的高考試卷中常以一大一小兩種類型題出現(xiàn)，其中主要涉及由三視圖求幾何體的面積或體積、空間平行或垂直關(guān)系的判斷，以及空間距離、空間角問題的求解.試題在突出對空間想象能力考查的同時(shí)，關(guān)注對平行、垂直的探究，關(guān)注對條件和結(jié)論不完備情形下開放性問題的探究.熟練掌握此類問題的常規(guī)處理策略，?？煽焖僬业絾栴}的突破口.

本文將從解題思路的尋找入手，就此類問題的解答提幾點(diǎn)建議，供同學(xué)們參考.

一、構(gòu)造特殊模型突破三視圖的空間想象

對學(xué)生的空間想象能力有較高的要求，考生通過讀三視圖，想象真實(shí)幾何體，并計(jì)算幾何體的表面積或體積等.三視圖看起來簡單，但還原幾何體有一定的難度.

例1一個棱錐的三視圖如圖1所示，則該棱錐的全面積（單位：cm2）為（）.

圖1

解析：空間三視圖問題的考查，多以特殊幾何體為背景，解答此類問題時(shí)，若能正確構(gòu)造出原幾何體，則可將三視圖中的信息準(zhǔn)確直觀地反映出來.構(gòu)造長方體，則題目中的三棱錐如圖2中的S-ABC，由圖易知15，所以三棱錐S-ABC的全面積為

圖2

點(diǎn)評：準(zhǔn)確地將三視圖還原于常規(guī)幾何體中，是求解此類問題的關(guān)鍵，所謂的常規(guī)幾何體通常指長方體、正方體等.要求空間幾何體的體積，首先要由三視圖還原空間幾何體，同時(shí)還要由視圖中標(biāo)注的數(shù)字反映出空間幾何體的幾何元素的數(shù)量，解題中就是要把這種數(shù)量關(guān)系找出，這就需要空間想象能力.特別提醒：畫三視圖時(shí)，要注意看到的輪廓線畫成實(shí)線，看不到的輪廓線畫成虛線.

二、熟練把握相關(guān)原理以不變應(yīng)萬變

例2如圖3，在四棱錐P-ABCD中，底面四邊形ABCD的兩組對邊均不平行.

①在平面PAB內(nèi)不存在直線與DC平行；

②在平面PAB內(nèi)存在無數(shù)多條直線與平面PDC平行；

③平面PAB與平面PDC的交線與底面ABCD不平行；

圖3

上述命題中正確命題的序號為_________________.

解析：是否存在問題的常用處理策略：先假設(shè)所給結(jié)論成立，再逆向判斷其與所給條件相符或矛盾即可.

①假設(shè)在平面PAB內(nèi)存在直線l與DC平行，由線面平行的判斷可知CD平行于面PAB.又CD?面ABCD，面ABCD∩面PAB=AB，所以CD∥AB，與已知條件矛盾，故在平面PAB內(nèi)不存在直線與DC平行，①正確.

②由條件知面PAB與面PCD相交，設(shè)交線為m，作平行于m的平面與兩平面均相交，易知兩交線平行，而這樣的平面有無數(shù)個，故存在無數(shù)條交線相互平行，故②正確.

③假設(shè)面PAB與面PCD的交線為n，若直線n與底面平行，則n∥AB，n∥CD，所以AB∥CD，與條件矛盾，故平面PAB與平面PDC的交線與底面ABCD不平行，故③正確.

答案：①②③.

點(diǎn)評：空間平行關(guān)系包括線線平行、線面平行、面面平行，三種關(guān)系可以相互推導(dǎo).本題的順利求解，源于對空間平行關(guān)系的靈活應(yīng)用.

三、動中尋定探究動態(tài)幾何問題

例3在邊長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在底面ABCD上移動，且滿足B1P⊥D1E，則線段B1P的長度的最大值為（）.

解析：對于動態(tài)問題的解答要抓住其中不變的因素，如本題中點(diǎn)P為面ABCD內(nèi)的動點(diǎn)，但B1P⊥D1E，因此B1P在一個與D1E垂直的定面上.找到這個定面即可順利解決問題.

圖4

如圖4，取CC1的中點(diǎn)F，連接B1F并延長交BC的延長線于點(diǎn)G，連接AG交CD于點(diǎn)H，連接AB1.

易知D1E⊥AB1，D1E⊥B1F，所以D1F⊥面AB1G，即點(diǎn)P在線段AH上.

又△GCF∽△GBB1，△GHC∽△GAB，最大值為3，故選D.

點(diǎn)評：定線與動線垂直，即動線在與定線垂直的定面內(nèi)，找到這個定面使得問題順利求解.類似地，若動線與已知面平行，則動線在與已知面平行的定面內(nèi)等.只要抓住這些動態(tài)問題中的不變因素，即可找到問題的求解思路.

四、用運(yùn)動變化的觀點(diǎn)解決空間圖形問題

考綱對考生的空間想象能力的考查提出了“能夠想象幾何圖形的運(yùn)動和變化情況”的更高要求.因此，立體幾何題中除固定的線線、線面、面面關(guān)系外，還滲透了一些“動態(tài)”的點(diǎn)、線、面元素，給“靜態(tài)”的立體幾何賦予了新的活力，新的亮點(diǎn).

例4如圖5，已知△ABC，D是AB的中點(diǎn)，沿直線CD將△ABC折成△A′CD，所成二面角A′-CD-B的平面角為α，則（）.

A.∠A′DB≤αB.∠A′DB≥α

C.∠A′CB≤αD.∠A′CB≥α

解析：設(shè)∠ADC=θ，AB=2，則由題意知AD=BD=1，在空間圖形中，設(shè)A′B=t，在△A′CB中，

圖5

圖6

在空間圖形中，如圖6，過點(diǎn)A′作A′N⊥DC，過點(diǎn)B作BM⊥DC，垂足分別為N、M，過點(diǎn)N作NP∥=MB，連接A′P，所以NP⊥DC，則∠A′NP就是二面角A′-CD-B的平面角，所以∠A′NP=α.

在Rt△A′ND中，DN=A′D·cos∠A′DC=cosθ，A′N= A′Dsin∠A′DC=sinθ.

同理，BM=PN=sinθ，DM=cosθ，故BP=MN=2cosθ.

顯然BP⊥面A′NP，故BP⊥A′P.

在Rt△A′BP中，A′P2=A′B2-BP2=t2-（2cosθ）2=t2-4cos2θ.

因?yàn)棣?、∠A′DB∈［0，π］，而y=cosx在［0，π］上為減函數(shù)，所以α≤∠A′DB，故選B.

點(diǎn)評：本題主要考查立體幾何中的動態(tài)問題，屬于較難題，由于△ABC的形狀不確定，∠A′CB與α的大小關(guān)系也是不確定的，再根據(jù)二面角的定義，可知∠A′DB≥α，當(dāng)且僅當(dāng)AC=BC時(shí)等號成立，以立體幾何為背景的創(chuàng)新題是浙江高考數(shù)學(xué)試卷的熱點(diǎn)問題之一，解決此類問題需在平時(shí)注重空間想象能力的培養(yǎng)，加強(qiáng)此類問題的訓(xùn)練.

五、借助空間向量尋求幾何問題代數(shù)化處理

由于空間向量的引入，在立體幾何的教學(xué)中出現(xiàn)了重視計(jì)算，忽視空間想象能力培養(yǎng)，削弱立體幾何推理教學(xué)的現(xiàn)象，這使得考生推理證明能力與空間想象能力有所下降，這就要求我們在教學(xué)中對必修階段立體幾何初步的定位要因?qū)W生情況而異.

例5如圖7所示的幾何體中，2CC1=3AA1=6，CC1⊥平面ABCD，且AA1⊥平面ABCD，正方形ABCD的邊長為2，E為棱A1D的中點(diǎn)，平面ABE分別與棱C1D、C1C交于點(diǎn)F、G.

圖7

（1）求證：A1D⊥平面ABE；

（2）求二面角D-EF-B的大小，并求CG的長.

解析：（1）因?yàn)锳A1⊥平面ABCD，所以AA1⊥AB，AA1⊥AD.因?yàn)锳BCD是正方形，所以AB⊥AD.

以AB、AD、AA1分別x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則由已知可得B（2，0，0），D（0，2，0），A1（0，0，2），E（0，1，1），=（0，-2，2）（0，1，1），（2，0，0）.

（2）因?yàn)锳1D⊥平面ABE，且A1D?平面EFD，所以平面EFD⊥平面ABE.

因?yàn)槠矫鍭BE即為平面BEF，所以二面角D-EF-B的大小為90°.

點(diǎn)評：空間向量的引入使立體幾何問題的求解更加程序化.通過建立空間直角坐標(biāo)系，引入向量來解決空間垂直、空間角、空間距離問題，大大降低了問題的難度.如空間垂直問題可利用向量垂直原理，即數(shù)量積為0求解.二面角問題可借助其與兩面法向量夾角相等或互補(bǔ)的原理求解.

總之，在空間幾何問題的解答中，我們要關(guān)注“為什么要用這種解法，這種解法是如何想到的”，只有弄清楚這一問題，在解題時(shí)才能迅速找到切入點(diǎn).因此，在平時(shí)解題訓(xùn)練中，要注重常用公式、性質(zhì)、定理的變式應(yīng)用，注重對?？碱}型的歸納、常用方法的總結(jié)，方可以不變應(yīng)萬變.F