☉江蘇省口岸中學(xué)戴鋒

探討類比理念在高中數(shù)學(xué)解題和課堂教學(xué)中的應(yīng)用

☉江蘇省口岸中學(xué)戴鋒

一、簡述類比理念的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)

類比就是研究新對象時(shí)，聯(lián)想與其相似的已知對象的相似屬性，獲得的其他屬性也有類似的推斷，從而發(fā)現(xiàn)新的思維方法，一般模式如下：

對象A有屬性：a，b，c，d；

對象B有屬性：a，b，c；

所以，對象B有屬性d.

由此可知，類比思維推出的結(jié)論存在或然性，或者正確、不正確、不完全正確，類比思維是基于聯(lián)想的狀態(tài)下，以相似性為導(dǎo)向，提出猜想的使命，達(dá)到發(fā)現(xiàn)新規(guī)律的目的.不管類比結(jié)論如何，其對我們科學(xué)認(rèn)識(shí)活動(dòng)提供富有創(chuàng)意的思維模式.因此，有人將類比稱作由已知通往未知的橋梁.類比思維包含類比和聯(lián)想兩個(gè)方面的含義，前者是通過新信息引起學(xué)習(xí)者回顧已有知識(shí)；后者是指在新舊信息間找到相似、相差異的地方.

二、類比思維在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用分析

高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，數(shù)學(xué)老師會(huì)采用邏輯推理、演繹推理等不同教學(xué)和解題方法幫助學(xué)生學(xué)習(xí)、掌握解題技巧，其中，類比推理思維在整個(gè)數(shù)學(xué)教學(xué)過程中占據(jù)重要地位，它是老師加強(qiáng)學(xué)生對新知識(shí)和概念記憶最有效的方法，充分激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)潛能，提升學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和積極性.高中數(shù)學(xué)解題過程中，為探尋問題的一系列線索，一般必須借助類比法.典型的類比法應(yīng)用方法證明這一結(jié)論.在對高中數(shù)學(xué)題目解答時(shí)，常使用類比法尋找解題思路和方法.

微子啟是商紂王之庶兄，這“庶”是何種之庶呢？是異母之庶，還是同族同宗之庶呢？微子和箕子都臣服于周武王，從某種角度來說，他們還支持周武王，以此，我們是否可以推測，微子啟和箕子與商王紂的關(guān)系并不是那么親近的呢？也就是說，這個(gè)庶不只是異母之庶，而是同族同宗之庶，因此，當(dāng)周武王伐紂滅商之時(shí)，其二人并沒有表現(xiàn)出同歸于盡之意。宋之始祖實(shí)際上是微子啟，而微子啟與商紂王不是同一個(gè)母親所生，我們認(rèn)為，這也許是解開宋之得姓之疑惑的一個(gè)關(guān)鍵所在。

三、線面垂直類比定積分解題方法

高中老師進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)，有一種直線與平面之間的關(guān)系，稱作線面垂直.這個(gè)概念聽上去比較抽象，無法像其他幾何關(guān)系一樣快速形成圖像.其實(shí)，可以借助類比理念去假設(shè)，能夠輕松理解直線與平面的關(guān)系.

定義1：已知直線l垂直于面a上任意一條直線，稱作這條直線與該平面垂直.

通過該定義可以準(zhǔn)確指導(dǎo)什么是線面垂直，如果僅依據(jù)定義說明線面垂直，無法達(dá)到應(yīng)有的效果.因線動(dòng)成面，一個(gè)平面包含多條直線，無法一一驗(yàn)證每條直線與l垂直.解決數(shù)學(xué)問題思考：若兩條相交直線確定一個(gè)平面，因此得出線面垂直判斷定理.深入思考：若已知直線垂直于平面，從而得出該直線垂直于平面上任意一條直線.

案例1如圖1所示，已知PA⊥平面ABC，⊙O的直徑為AB，C是該圓上的任意一點(diǎn)，求證：PC⊥BC.

證明：因?yàn)镻A⊥平面ABC，

所以PA⊥BC.

因?yàn)锳B是⊙O的直徑，

所以AC⊥BC.

所以BC⊥平面ACP.

所以PC⊥BC.

圖1

案例2如果將圖2中的兩條相交直線m、n的位置改變一下，依然保障l⊥m，l⊥n，直線l還垂直于平面α嗎？

讓學(xué)生清楚地了解如何判定已知直線與一個(gè)平面是否垂直，取決于在該平面內(nèi)是否能找到兩條相交直線和已知直線垂直，至于這兩條相交直線是否與已知直線存在公共點(diǎn)，這是無關(guān)緊要的.

教師正確引導(dǎo)學(xué)生依據(jù)試驗(yàn)結(jié)果得到直線與平面垂直的判斷方法.指導(dǎo)學(xué)生從文字語言、符號(hào)語言等多個(gè)方面表述直線和平面垂直的判定定理.

文字語言：如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則表示這條直線與此平面垂直.

圖2

歸納總結(jié)：將“空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題”、“線面垂直轉(zhuǎn)化為線線垂直”、“無限轉(zhuǎn)化為有限”等數(shù)學(xué)思想.

定義2：假設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間［a，b］上有界，在［a，b］中任意插入n-1個(gè)分點(diǎn)，a=x0＜x1＜x2＜…＜xn-1＜xn=b，將區(qū)間劃分為n個(gè)小區(qū)間［x0，x1］，［x1，x2］，…，［xn-1，xn］，各個(gè)小區(qū)間長度分別為Δx1=x1-x0，Δx2=x2-x1，…，Δxn=xn-xn-1.在每一個(gè)小區(qū)間［xi-1，xi］上任意取一點(diǎn)εi（xi-1≤εi≤xi），記作λ= max｛Δx1，Δx2，…，Δxn｝，無論對［a，b］怎樣劃分，也不論其小區(qū)間［xi-1，xi］上點(diǎn)εi如何取法，如果當(dāng)λ→0時(shí)，和s總區(qū)域確定的極限I，這個(gè)極限稱為函數(shù)f（x）在區(qū)間［a，b］上的定積分，

案例3如圖3，假設(shè)A在平面BCD內(nèi)的射影是直角三角形BCD斜邊BD的中點(diǎn)O，AC=BC=1（1）AC與平面BCD所成角的大小；（2）二面角A-BC-D的正切值；

（3）異面直線AB和CD所成的

角.

解析：（1）因?yàn)锳O⊥面BCD，所以AO⊥CO，所以∠ACO為AC與面BCD所成角.

圖3

（2）取BC的中點(diǎn)E，連接OE，AE，則OE//CD.

因?yàn)镃D⊥BC，所以O(shè)E⊥BC.

又AO⊥面BCD，所以AE⊥BC，所以∠AEO為二面角A-BC-D的平面角.

（3）取AC的中點(diǎn)E，連接EF，OF，則EF//AB，OE//CD.

所以O(shè)E與EF所成的銳角或直角即為異面直線AB和CD所成的角.

易求得∠OEF=45°.

得出異面直線AB和CD所成的角為45°.

四、結(jié)束語

總之，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用類比法，有利于培養(yǎng)學(xué)生的聯(lián)想能力和遷移能力，有助于培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)及解決問題的能力，從而提升學(xué)生的綜合能力，對促進(jìn)學(xué)生的發(fā)展具有重要意義.F