羅小成

【摘要】橫向思維一改解決問題的一般思路，試圖從別的方面、方向入手，所以它的思維廣度大大增加，有可能從其他學(xué)科領(lǐng)域中得到解決問題的啟示，橫向思維在創(chuàng)造性活動(dòng)中往往起著很大的作用。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)教學(xué) 思維能力

一、讓學(xué)生學(xué)會(huì)發(fā)散思維

發(fā)散思維是指從已知信息中產(chǎn)生大量變化的、獨(dú)特的新信息中，沿著不同方向進(jìn)行思維的方式。如數(shù)學(xué)教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生一題多變或一題多解是教會(huì)學(xué)生發(fā)散思維的有效途徑。

【例1】已知 14（b-c）2=（a-b）（c-a），且a≠0，則b+ca的值等于。

解法1用主元法，將a視為主元，由已知可得：4a2-4a（b+c）+（b+c）2=0，分解因式，得[2a-（b+c）]2=0，即2a=b+c，由于a≠0，故有b+ca=2。

解法2利用配方，由已知得：（b-c）2=4（a-b）（c-a），從而0=[-（a-b）-（c-a）]2-4（a-b）（c-a）=（a-b）2+2（a-b）（c-a）+（c-a）2-4（a-b）（c-a）=（a-b）2-2（a-b） （c-a） +（c-a）2=[（a-b）-（c-a）]2=（2a-b-c）2。

故2a-b-c=0，即2a=b+c，由于a≠0，故有b+ca=2。

解法3構(gòu)造一元二次方程，由已知得：（b-c）2=4（a-b）（c-a），故方程t2+（b-c）t+（a-b）（c-a）=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，分解因式，得：

[t-（a-b）][t-（c-a）]=0，t1=a-b；t2=c-a，故a-b=c-a，2a=b+c，由于a≠0，故b+ca=2。

解法4利用等比性質(zhì)，（1）當(dāng)a=b，或a=c時(shí)，均有a=b=c，從而b+ca=2。

（2）當(dāng)a≠b，a≠c時(shí)，b-c2（c-a）= 2（a-b）b-c= b-c+2（a-b）2（c-a）+b-c=2a-b-c-2a+b+c=-1=2（a-b）b-c。

∴ c-b=2a-2b， c+b=2a，由于a≠0，故b+ca=2。

解法5輔助未知數(shù)法，注意到已知等式關(guān)于b、c對稱，因此，可令b=x+y， c=x-y，則x=b+c2，y= b-c2。由題設(shè)得：y2=（a-x-y）（x-y-a）?；啠茫▁-a）2=0，即x=a。

所以，b+c2=a，故b+ca=2。

學(xué)生學(xué)會(huì)了發(fā)散思維，可以全方位地考慮問題，沿著不同的方向去思考、探索，尋找盡可能多的設(shè)想、思路、可能性和聯(lián)系，從而開發(fā)學(xué)生的智力，培養(yǎng)學(xué)生靈活運(yùn)用知識的能力，使學(xué)生的思維流暢，能隨機(jī)應(yīng)變，達(dá)到高效學(xué)習(xí)的目的。

二、讓學(xué)生學(xué)會(huì)逆向思維

逆向思維就是有意識地從常規(guī)思維的反方向去思考問題的思維方式。這種思維方式具有很大的創(chuàng)造性，往往會(huì)發(fā)現(xiàn)解決問題的新方法、新思路。教學(xué)中，我們可以有意設(shè)置障礙，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)在思維遇到障礙時(shí)，迅速轉(zhuǎn)向，從相反的方向、角度去思考問題，從而找出解決問題的方法。這樣有利于防止思維僵化，拓寬思路，活用知識。

【例2】若下列兩個(gè)方程

x2-2（a-1）x+（a2+3） =0……（1）

x2-2ax+a2-2a+4=0……（2）

至少有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

分析此題，若從正面思考，必須對“兩個(gè)方程均有實(shí)數(shù)根”，“方程（1）有實(shí)數(shù)根而方程（2）無實(shí)數(shù)根”，“方程（2）有實(shí)數(shù)根而方程（1）無實(shí)數(shù)根”三種情況逐一討論，顯然冗繁。為此可以引導(dǎo)學(xué)生從兩個(gè)方程中至少有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)根的反面：兩個(gè)方程都沒有實(shí)數(shù)根去考慮，從全體實(shí)數(shù)中排除“兩個(gè)方程都沒有實(shí)根”時(shí)的a值，就是所求答案。于是得到以下解法：

若兩個(gè)方程都沒有實(shí)根時(shí)，有4（a-1）2-4（ a2 +3）<0，4a2-4（a2-2a+4）<0。解這個(gè)不等式組，得-1< a<2。所以，所求實(shí)數(shù)a的取值范圍為a≤-1或a≥2。

三、讓學(xué)生學(xué)會(huì)直覺思維

數(shù)學(xué)中的直覺思維是指人腦對數(shù)學(xué)對象及其結(jié)構(gòu)關(guān)系敏銳的想象和迅速的判斷，它包括直覺想象和直覺判斷。由于直覺過程具備直接性與快速性，表現(xiàn)為對事物的認(rèn)識往往是瞬間完成的，所以直覺是創(chuàng)造性思維的重要組成部分。

【例3】已知方程12-xx+1=12，求xx+1的值。

分析：本題通過解分式方程可以求得結(jié)果，但若能根據(jù)這個(gè)方程的整體結(jié)構(gòu)，可以立即得出xx+1=0，這就是直覺判斷的結(jié)果。

數(shù)學(xué)的直覺雖然沒有明顯的中間推理過程，但要求必須準(zhǔn)確領(lǐng)會(huì)概念的定義、公理、法則、定理等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識。如分解因式4x2-y2-y-116。如果不能正確理解和體會(huì)平方差公式和完全平方公式，就很難洞察出其中的分組方法，從而進(jìn)行因式分解，所以，要培養(yǎng)學(xué)生的直覺思維能力，首先應(yīng)加強(qiáng)基礎(chǔ)知識的教學(xué)。

數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識是構(gòu)成數(shù)學(xué)直覺的基石，但學(xué)生僅有數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識還是不足以筑成數(shù)學(xué)直覺的能力，還應(yīng)注意引導(dǎo)學(xué)生積累一些典型的、特殊的數(shù)學(xué)思想方法和技巧，如類比，歸納等，以豐富學(xué)生的表象儲備，完善學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)。

興趣對激發(fā)靈感有著重要作用，一個(gè)對數(shù)學(xué)不感興趣的學(xué)生，對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)只能是被動(dòng)的。學(xué)生對數(shù)學(xué)對象的領(lǐng)悟和洞察，并非是一朝一夕的，它需要持之以恒的毅力，維護(hù)學(xué)生毅力的內(nèi)在因素是興趣，培養(yǎng)對數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣，可使學(xué)生的注意力集中，便于領(lǐng)悟和洞察數(shù)學(xué)對象，提高數(shù)學(xué)直覺能力。

數(shù)學(xué)是一門對培養(yǎng)直覺能力非常有用的學(xué)科，如果一個(gè)學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，能夠?qū)λ臈l件和結(jié)論之間隱蔽的錯(cuò)綜復(fù)雜的關(guān)系，做出直接迅速的領(lǐng)悟，或直接、快速地悟出這個(gè)問題的可能結(jié)果，這就是數(shù)學(xué)直覺的表現(xiàn)。

數(shù)學(xué)的直覺雖然沒有明顯的中間推理過程，但必須有相關(guān)的學(xué)科知識作為基礎(chǔ)，所以培養(yǎng)學(xué)生的直覺思維能力，首先應(yīng)加強(qiáng)基本知識的教學(xué)，注意培養(yǎng)學(xué)生的基本能力，豐富學(xué)生的表象儲備，完善學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)；其次，要上好示范練習(xí)課，示范練習(xí)對理解和運(yùn)用知識，歸納揭示解題方法和規(guī)律，明確解題步驟、程序等都具有導(dǎo)向作用。因此，教學(xué)過程中，應(yīng)注意指導(dǎo)學(xué)生審題，學(xué)會(huì)運(yùn)用有關(guān)知識、原理解答問題，并評價(jià)解題結(jié)果，以加強(qiáng)學(xué)生對問題的洞察力和對問題本質(zhì)及內(nèi)在聯(lián)系的理解，這樣也有利于直覺思維的形成和發(fā)展。

四、讓學(xué)生學(xué)會(huì)橫向思維

橫向思維，是指突破問題的結(jié)構(gòu)范圍，從其他領(lǐng)域的事物、事實(shí)中得到啟示而產(chǎn)生新思路的思維方式。橫向思維一改解決問題的一般思路，試圖從別的方面、方向入手，所以它的思維廣度大大增加，有可能從其他學(xué)科領(lǐng)域中得到解決問題的啟示，橫向思維在創(chuàng)造性活動(dòng)中往往起著很大的作用。

【例4】在△ABC中，AD是BC邊上的中線，F(xiàn)為AD上一點(diǎn)，且AF∶FD=1∶5，連結(jié)CF并延長交AB于E，則AE∶EB=。

分析：一般解法是過點(diǎn)D作平行線，現(xiàn)在我們可以打破學(xué)科間的界線，利用物理學(xué)中的杠桿原理來解決此題。

設(shè)C為支點(diǎn)，在B處掛1單位的重物，由杠桿原理可知，D點(diǎn)承受的力為2個(gè)單位；再設(shè)F為支點(diǎn)，由AF∶FD=1∶5，則A承受的力為10個(gè)單位，以E為支點(diǎn)考慮，結(jié)合B點(diǎn)受力1個(gè)單位，從而有AE∶EB =1∶10。

教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生用解析法證明平面幾何命題，用幾何法、三角法解代數(shù)問題，用函數(shù)思想解決方程問題甚至用其他學(xué)科知識解決數(shù)學(xué)問題等，都是教會(huì)學(xué)生進(jìn)行橫向思維的有效途徑。