陳麗芳

構(gòu)造法是一種富有創(chuàng)造性的解題方法，他很好地體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中發(fā)現(xiàn)、類比、化歸的思想，也滲透著猜想、試驗(yàn)、探索、歸納、概括、特殊化等重要的數(shù)學(xué)方法，對(duì)培養(yǎng)多元化思維和創(chuàng)新精神，豐富我們的想象力，提高我們分析問題和解決問題的能力大有裨益。

那么，如何去構(gòu)造呢？構(gòu)造法的內(nèi)涵相當(dāng)豐富，他以廣泛抽象的普遍性與現(xiàn)實(shí)問題的特殊性為基礎(chǔ)，針對(duì)具體問題的特點(diǎn)而采用相應(yīng)的解決辦法。因此，在解題的過程中就要就學(xué)生思路開闊、觀察細(xì)微、思維靈活、勇于創(chuàng)新，變抽象為具體、陌生為熟悉，使問題得到巧妙解決。

一般來說用構(gòu)造法解題有如下幾個(gè)步驟：①觀察、分析題目的條件和結(jié)論，有時(shí)要對(duì)條件和結(jié)論作適當(dāng)變形。②聯(lián)想熟悉的與已知條件或結(jié)論有關(guān)聯(lián)的數(shù)學(xué)模式。③構(gòu)造心得數(shù)學(xué)模式。④用構(gòu)造出的數(shù)學(xué)模式溝通解題思路，解決原問題。

常用于構(gòu)造法的數(shù)學(xué)模式有函數(shù)、方程、恒等式、圖形、配對(duì)式、不等式、中介媒體等，還有一些特殊的如反例、特例、等價(jià)命題等模式。其中尤以前四種應(yīng)用最為廣泛。下面我們就這幾個(gè)方面選幾例來說明。

一、構(gòu)造函數(shù)

通過構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型，運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)來化解問題，可以解決許多不等式和代數(shù)式的求值問題。

例1：（第七屆美國(guó)奧賽試題）已知a、b、c、d、e是滿足a+b+c+d+e=8， a2+b2+c2+d2+e2=16的實(shí)數(shù)，試確定e的最大值.

分析：觀察條件a+b+c+d+e=8， a2+b2+c2+d2+e2可以聯(lián)想到：

（x-a）2+（x-b）2=2x2-2（a+b）+a2+b2，因此可以構(gòu)造函數(shù)y=（x-a）2+（x-b）2+（x-c）2+（x-d）2.

二、構(gòu)造方程

構(gòu)造方程，考慮應(yīng)用韋達(dá)定理或其他方法構(gòu)造出系數(shù)含有該變量的一元二次方程，然后用判別式證明：

例2：（2007《數(shù)學(xué)周報(bào)》杯全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題）實(shí)數(shù)a、b、c滿足a≤b≤c，且ab+bc +ca=0，abc=1，求最大的實(shí)數(shù)k，使得不等式|a+b|≥k|c|恒成立。

分析：由已知條件可得聯(lián)想到一元二次方程。

解：構(gòu)造一元二次方程，有已知可知c>0，，解得，∴（當(dāng) 時(shí)取等號(hào)）所以最大實(shí)數(shù)k=4.

三、構(gòu)造恒等式

需要我們?cè)谄綍r(shí)的積累，在看到題目時(shí)能聯(lián)想到熟悉的恒等式。

例3：（1990年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）若方程（x-a）（x-8）-1=0有兩個(gè)整數(shù)根，求a的值。

分析：有已知可構(gòu)造恒等式（x-x1）（x-x2）。

四、構(gòu)造圖形

即數(shù)形結(jié)合的方法，當(dāng)求證的結(jié)論或條件有較明顯的幾何意義時(shí)，應(yīng)用構(gòu)造圖形法，往往能夠快捷地解決問題，同時(shí)也需要有對(duì)式子的敏感。

例4：已知a、b、c>0，滿足關(guān)系式，a2+b2=c2，求證：an+bn

分析：條件a2+b2=c2的幾何意義為一個(gè)直角三角形的三邊，構(gòu)造一個(gè)直角三角形.

五、構(gòu)造配對(duì)式

例5：（西安交通大學(xué)少年班入學(xué)試題）求比大的最小整數(shù)。

分析：如直接計(jì)算，是非常困難的，一般對(duì)這類題目條件，都是運(yùn)用配對(duì)法，即構(gòu)造。

六、構(gòu)造不等式

例6：（2006年《新知杯》上海市初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題）已知n（n>1）個(gè)整數(shù)（可以相同a1，a2，…，an滿足a1+a2+…+an=a1a2…an=2007。求n的最小值。

分析：條件中的a1，a2，…，an是無差別的，因此我們可以構(gòu)造不等式a1+a2+a3≤a1+a1+a1，使a1，a2，a3 有差別。

由以上例題可知，若從構(gòu)造的方法來分析，有分析題設(shè)或結(jié)論的本身特征、找與題設(shè)或結(jié)論有必然聯(lián)系的模式、聯(lián)想與題設(shè)或結(jié)論有相似的結(jié)構(gòu)模式、挖掘題設(shè)或結(jié)論的幾何意義、將題設(shè)或結(jié)論與相關(guān)的命題進(jìn)行類比構(gòu)造等方法。這些方法從以上的例題中都能體現(xiàn)出來：①分析題設(shè)或結(jié)論的本身特征。有些題的題設(shè)或結(jié)論中隱含著問題的本質(zhì)特征，需要結(jié)合其特征去構(gòu)造。②找與題設(shè)或結(jié)論有必然聯(lián)系的模式。對(duì)于有些關(guān)于自然數(shù)的不等式問題，與數(shù)列有著密切的聯(lián)系，這時(shí)可構(gòu)造有關(guān)數(shù)列模式，利用其單調(diào)性解決。③聯(lián)想與題設(shè)或結(jié)論有相似的結(jié)構(gòu)模式。這里用到比較多的有與韋達(dá)定理相似的結(jié)構(gòu)、與判別式相似的結(jié)構(gòu)。④將題設(shè)或結(jié)論與相關(guān)的命題進(jìn)行類比構(gòu)造。有些題目的條件中，我們會(huì)看到一些熟悉的味道，但卻不一樣的條件，這時(shí)要抓住這種熟悉來思考。

從上述可以看出，優(yōu)美、自然的構(gòu)造法常常是建立在我們已有的知識(shí)基礎(chǔ)之上的，它生成于認(rèn)知結(jié)構(gòu)的最頂端，不僅能使學(xué)生強(qiáng)烈地感受到數(shù)學(xué)的美妙以及構(gòu)造法的神奇，而且能夠使得學(xué)生激發(fā)起探索的意識(shí)和創(chuàng)新的欲望，如果能夠恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用構(gòu)造法解題，可以突破思維的常規(guī)，使思路變得簡(jiǎn)潔、明快、精巧、靈活，可謂好處多多，因此在平時(shí)的教學(xué)或競(jìng)賽培訓(xùn)中，加強(qiáng)構(gòu)造性思維的訓(xùn)練，對(duì)豐富學(xué)生的想象，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維能力，無疑是有十分重要的作用。

參考文獻(xiàn)：

[1]張貴余.構(gòu)造法解競(jìng)賽題[J].中學(xué)生數(shù)理化，2008.

[2]談躍年.靈活運(yùn)用構(gòu)造法解競(jìng)賽題[J].數(shù)理化學(xué)習(xí)，2008.