周培華

[摘 要] 思維是決定學生能否合理整合知識并將之進行準確應用的內在因素，也是有效推進數(shù)學教學效果深化的核心動力. 作為數(shù)學知識能力建立形成的基礎性時期，數(shù)學思維模式的形成自然應當作為一個重點內容在教學過程當中予以強調. 筆者對當前初中教學中對于數(shù)學思維模式建立的實施現(xiàn)狀進行了廣泛調查，并結合相關教學理論，對于在初中數(shù)學當中建立有效思維模式的途徑提出了若干建議，希望對于新時期的初中數(shù)學教學完善有所裨益.

[關鍵詞] 初中；數(shù)學；思維模式

怎樣才能將數(shù)學知識學懂、學好？歸根結底，關鍵在于思維. 表面看來，想要順利解答數(shù)學問題，需要記憶基本概念，理解公式定理，掌握思想方法，似乎數(shù)學學習的動作是十分零碎的. 其實，究其本質，所有有效學習行為的做出，都是由科學合理的學習思維所指引的. 同其他學科的知識內容相比，數(shù)學知識從抽象性、精煉性等方面都具有較為明顯的特殊性，因此，對之進行學習探究，自然也存在著與眾不同的思維模式. 這也就是我們在強化初中數(shù)學教學的過程當中所要特別重視的“有效思維模式”.

建立數(shù)形思維模式，拓展問題解決途徑

在數(shù)學學習當中，數(shù)形結合是適用性最為普遍的一種思想方法，卻也恰恰是因為這種普遍性，被很多學生所忽略. 在實際教學過程中，筆者經常會看到這樣的情景：學生面對一道比較抽象復雜的問題，毫無頭緒，拿著筆對著題目發(fā)愁，只是一直在草稿紙上盲目地列公式，卻沒有一點圖形的輔助. 這樣的解題方法，只會讓學生的解題思緒越來越混亂，對于數(shù)學學習來講是極為不利的. 這并不是學生的知識基礎多么薄弱，而是還沒有形成數(shù)形結合的思維模式.

例如，在對一次函數(shù)內容進行教學時，筆者為學生準備了這樣一道練習題：已知一次函數(shù)y=（2-m）x+m的圖像經過第一、二、四象限，則m的取值范圍是什么？面對這個問題，學生紛紛開始為如何在函數(shù)與象限之間建立聯(lián)系發(fā)愁. 筆者提示大家：“既然已知函數(shù)的圖像經過這三個象限，為什么不把圖像畫出來看看呢？”果然，隨著畫出圖像，解答問題的思維方向瞬間清晰了. 學生也深切感到，圖形才是詮釋數(shù)學問題的最佳捷徑.

筆者在教學過程中經常會對學生說：“大家一定要養(yǎng)成這樣的習慣：看到題，先畫圖！”這雖然不是初中數(shù)學解題的絕對有效的途徑，卻是在對學生數(shù)形思維模式的建立提供引導. 既然是要將“數(shù)”和“形”的思維結合起來，就要讓學生做到，看到數(shù)字，同時想到圖形，使二者互為彼此的條件反射. 這樣一來，圖形繪制的過程便可以在必要的時候給學生以思維上的啟發(fā)，讓學生得到更多“意外”收獲.

建立換元思維模式，有效化簡復雜問題

數(shù)學學習進入到初中階段之后，從數(shù)學題目到解題過程都呈現(xiàn)出了復雜化的趨勢. 這個特點在代數(shù)內容上體現(xiàn)得尤為明顯. 很多學生表示，對于考試當中出現(xiàn)的很多問題，“光是看看已知條件就暈了”. 冗長復雜的代數(shù)式，讓不少學生望而生畏，在這樣的“下馬威”之下，學生的頭腦已經亂了，更不要說找到清晰的思路去處理和求解了. 面對這種問題，最為有效的思維模式就是“換元”，它也是幫助學生有效化簡復雜問題之必需.

例如，筆者曾經請學生嘗試解這樣一個方程：3x2-6x-2+4=0. 大多數(shù)學生的第一反應都是移項之后將方程兩邊同時做平方處理，而如此一來，原方程反而成為了一個四次方程，解答起來就更困難了. 大家的思路一度陷入了僵局. 這時，筆者請學生試著思考：若是將3x2-6x轉化為3（x2-2x）的形式，能夠找到什么規(guī)律？有學生馬上找到了根號內外部分的相似之處，由此，設=y，則原方程變?yōu)?y2-2y-8=0，先解出y，再解x. 換元思維讓解題過程順利了很多.

換元思維對于很多學生來講并不陌生，可使用起來往往不甚流暢. 筆者通過對學生的實際表現(xiàn)以及解題過程中的錯誤類型進行總結、分析后發(fā)現(xiàn)，不少學生對于“換元”的內涵并沒有真正透徹地予以理解，往往只是停留在表面，應用起來也過于死板. 因此，學生只有看到完全相同的式子內容才會想到換元，題目條件只要稍稍有所變化，思維就卡住了. 對此，教師要著重在課堂教學中引入一些靈活性強的題目進行講解，讓學生的視野開闊起來，換元的思維模式也才能算是真正建立起來了.

建立化歸思維模式，實現(xiàn)思路巧妙轉化

通過與學生的溝通交流，筆者發(fā)現(xiàn)，大多數(shù)學生對于化歸思維的概念了解并不清晰，更不要說靈活應用了. 我們在此所強調的化歸思想，指的是將一些困難、復雜的問題，根據(jù)其中所包含的條件與關系，將之轉化為比較容易接受和處理的問題來予以解答的思維模式. 化歸思維開展的關鍵在于對思路的巧妙轉化，也就是說，要想辦法以簡單的方式來體現(xiàn)一個復雜的問題，由此降低疑難問題解答過程的難度.

例如，在學習過四邊形知識后，測驗當中出現(xiàn)了這樣一個問題，把所有學生都難住了：如圖1，“回”字形的道路寬為1米，整個“回”字形的長為8米，寬為7米. 一個人從入口的A處出發(fā)，沿著道路一直走到中央的B點，那么，這個人一共走了多少米呢？學生們邊審題邊用筆跟著標記行走路線，畫著畫著便把自己的思緒都畫亂了，無論如何去思考路線的長度，都以失敗告終. 于是，筆者啟發(fā)學生：“試想，若一個工人拿著一把寬1米的拖布沿著小路向前推，那么，當他從A走到B時，也就是把整個場地拖完了，每拖1平方米，就對應走了1米. ”在這樣的思路下，題目中的長度問題便化歸成了面積問題，場地面積56平方米極易求得，對應行走了56米的結論也自然得出來了.

不難發(fā)現(xiàn)，化歸思維的建立與應用并不是獨立存在的，它需要學生對當前問題所涉及的內容以及與之相關的化歸所指向的目標內容都有著到位的把握. 只有這樣，才能實現(xiàn)整個數(shù)學思維體系的聯(lián)動，學生也才可以最大限度地靈活思路，有效完成問題化歸. 在眾多數(shù)學思維模式當中，化歸思維對于學生知識能力的要求是比較高的. 同樣地，當學生能夠自如運用化歸思維解答問題時，對于初中數(shù)學的學習也就是比較到位的了.

建立分類思維模式，按部就班邏輯清晰

對于學生在課堂學習與課后解題當中所出現(xiàn)的問題，筆者經常會進行階段性的匯總和分析. 關于問題出現(xiàn)的原因，筆者發(fā)現(xiàn)，很多時候并不是由于學生對于知識內容本身的理解有什么偏差或漏洞，而是由于大家在面對復雜問題時，思維發(fā)生了混亂. 如果沒有一個清晰的邏輯來處理問題，再簡單的問題也會出現(xiàn)遺漏，導致不必要的錯誤. 想要在最短的時間內理清思路，按部就班地全面審視問題，就需要建立起分類的思維模式.

例如，在三角形章節(jié)的練習中，出現(xiàn)過這樣一道習題：在△ABC中，AB邊長為15 cm，AC邊長為13 cm，BC邊上的高AD長為12 cm，求該三角形的面積. 學生的第一感覺是做出圖形（如圖2），由勾股定理求得三角形的面積為84 cm2. 可完成之后，心中又有點不踏實，好像總是漏了些什么. 原來，高AD既可能在三角形之內，也有可能在三角形之外. 對于這種問題，就應當分類進行思考，以三角形形狀為分類依據(jù)，分銳角三角形與鈍角三角形（如圖3）兩種情況進行思考，就絕不會遺漏任何可能性了.

分類討論的思維模式在初中數(shù)學解題當中的覆蓋面是非常廣的，它既是很多問題得到準確解答之必需，也是為學生降低思維難度的一條捷徑. 無論問題本身多么復雜，其中具有多少思維岔口，只要學生能夠將分類的標準把握準確，并有耐心地把這些可能性列舉完全，就不會出現(xiàn)思維混亂的情況. 對于接觸復雜數(shù)學問題時間不長的初中學生來講，分類討論的思維就更加適合了. 不少學生甚至將其稱為正確解答數(shù)學問題的“護身符”，想來并不夸張.

思維在數(shù)學學習過程當中似乎已經是一個習以為常的詞匯了. 很多師生認為，只要在思考，就是在動用思維，就是在訓練思維，這樣的想法并不準確. 思維是數(shù)學學習的根本動力與核心精髓，教師在進行數(shù)學教學時，不能僅僅在思維的層面上點到為止，而是要深入挖掘學生的思維現(xiàn)狀與水平，追求思維品質. 只有具有品質與厚度的思維，才能真正實現(xiàn)對數(shù)學知識的有效理解與深入體驗，進而完成高效、理想的課堂學習. 初中是學生數(shù)學學習習慣培養(yǎng)的重要時期，教師更應當抓住這個關鍵時間節(jié)點，將對思維的關注滲透到每個學生的意識當中，從根本上推動數(shù)學能力穩(wěn)步增長.