彭小永

[摘 要] 沒有研究就沒有好的教學，好的解法會令學生終生難忘，但如果我們教師不小心將一些錯誤解法作為完美的數(shù)學模型傳授給學生，卻可能給學生的終身發(fā)展帶來極大障礙. 本文在分析兩種典型的錯誤解法的基礎上，提出了兩個可供大家參考的建議.

[關鍵詞] 創(chuàng)新；核心素養(yǎng)；最短路徑；勾股定理

“十三五”規(guī)劃提出了教育要堅持優(yōu)先發(fā)展、育人為本、改革創(chuàng)新的思想. 作為掌握著祖國未來命運且戰(zhàn)斗在一線的人民教師，應該嚴格奉行陶行知先生“千教萬教教人求真”的理念，在《全日制義務教育數(shù)學課程標準》（2011版）（以下簡稱《新課標》）的指引下，堅持“有效地改進教與學的方式，使學生樂意并有可能投入到現(xiàn)實的、有探索性的數(shù)學活動中去”的方針，以提高全民的核心素養(yǎng)為使命，積極投身教育教學改革，使人人都能獲得良好的數(shù)學教育.

在參加骨干教師脫產(chǎn)國培期間，筆者介紹了學生在數(shù)學作業(yè)中經(jīng)常犯的兩個錯誤，結果引起一陣騷動，因為很多數(shù)學教師在此之前都沒有對這兩個錯誤結論做過深入研究，長期按照錯誤的方法對學生的作業(yè)進行批改，學生對此卻深信不疑，并把它當作最好的數(shù)學模型加以廣泛運用. 因此，筆者認為很有必要與大家進行分享.

關于求解最短距離的問題

1. 距離之和最短的問題

在學習“兩點之間線段最短”這部分內(nèi)容時，經(jīng)常會遇到這樣一類問題：

例1：A，B兩村在公路EF的同側，A村離公路的距離AD為1千米，B村離公路的距離BC為2千米，C，D之間的距離為4千米. 如圖1，現(xiàn)要在公路邊修建一個倉庫P，使它到A，B兩村的距離之和最小.

解答這類題時，我們常常作A點關于EF的對稱點A′，再作A′M∥EF，交BC的延長線于點M，如圖2.

由勾股定理得：A′B==5.

由對稱性可得：PA+PB=PA′+PB=A′B=5.

結論是：將倉庫建在點P處，它到兩個村莊的距離之和最小.

（備注：如果作點B關于EF的對稱點B′，可得到同一個P點）

發(fā)現(xiàn)這種解答方法后，很多教師便將“作對稱點”作為一種經(jīng)典的數(shù)學模型灌輸給學生，學生在求解“最短路徑”這類問題時，生搬硬套，造成失誤而不自知.

2. 最短路徑問題

例2：如圖3，A，B兩個村莊離公路EF的距離AD與BC分別為1千米和3千米，CD=3千米. 現(xiàn)要在河岸EF邊建一個水廠向兩村輸送自來水，鋪設水管所需的費用為每千米20000元. （1）請在EF上選擇水廠的位置，使得鋪設水管所需費用最?。唬?）鋪設水管的最低費用是多少？

在解答這類習題時，很多人按照例1的解答方式：

如圖4，由勾股定理得：A′B==5.

由對稱性可得：PA+PB=PA′+PB=A′B=5.

最后得出此題的結論是：將水廠建在點P處時，所需鋪設水管的費用最少，為100000元.

不僅有很多同學這樣解答，而且很多知名的解題網(wǎng)站提供的解答方法也是如此，很多數(shù)學教師也沒有發(fā)現(xiàn)問題.

其實，這一結論是錯誤的，我們不妨做如下探討：

如圖5，若水管為DA和AB，過點A作AN⊥BC于N，由勾股定理得：AB==.

因此，水管長度為（+1）千米，這個長度比5千米短，更節(jié)省費用.

3. 錯因分析及對策

究其例2解答錯誤的原因，主要是照搬例1的解法，而沒有注意到例1中有“使它到A，B兩村的距離之和最小”的語句，而例2實際上只需求出“最短路徑”就行了，兩者存在重大差距.

也就是說，大家今后遇到這類問題，不能生搬硬套資料上或課堂上教師講解的方法，而應該首先審清題意，再確定合理的解題方法. 對例2這種只需求出最短路徑的題型，上述兩種情況都應考慮，得出具體數(shù)據(jù)后，再進行比較才能得出結論.

關于螞蟻怎樣走最近的問題

1. 教材引例

“北師大版《義務教育課程標準實驗教科書·數(shù)學》八年級上冊”第13頁的引例：

例3：如圖6，有一個圓柱，它的高等于12 cm，底面圓的周長為18 cm，在圓柱下底面的點A處有一只螞蟻，它想吃到上底面與點A相對的B處的食物，沿圓柱側面爬行的最短路程是多少？

這個問題的解答，通常是把圓柱沿著它的一條母線剪開，展開成一個長方形，如圖7，從而把曲面上的路線問題轉(zhuǎn)化為平面上A，B兩點間最短距離問題. 由勾股定理，很容易得出螞蟻沿著圓柱側面爬行的最短距離為15 cm.

有了這個例3的示范，很多學生（包括部分教師）根本不管題目的描述是否有變化，都將上述解法作為唯一模式而廣泛應用.

2. 變化后的習題

很多習題刪掉了“沿圓柱側面爬行”這幾個最關鍵的字，那結果還會一樣嗎？

例4：如圖8，有一個圓柱，它的高等于4 cm，底面半徑為5 cm，在圓柱下底面的點A處有一只螞蟻，它想吃到上底面與點A相對的B處的食物，螞蟻爬行的最短路程是多少？

按例3的思路，我們很容易得出螞蟻從側面爬行的最短距離為：

≈16.2（cm）.

但如果螞蟻按A—C—B的路線爬行，只需要爬行4+2×5=14（cm），這個爬行距離小于從側面爬行的距離.

所以，在習題中如果沒有指明爬行的方法，例4的兩種算法都有必要，在計算出結果后，通過比較才能得出正確答案.

3. 爬行方法的探討

如圖9，若一個圓柱的底面半徑為r，高度為h，一只螞蟻從點A到點B，到底是選擇沿側面爬行，還是沿著A—C—B爬行才是最短距離呢？

我們不妨假設兩條路線的距離相等，找出它的臨界點：

即=2r+h.

兩邊平方得：π2r2+h2=4r2+4rh+h2.

整理得：=≈.

也就是說，圓柱的半徑與高度之比略為2 ∶ 3時為臨界點（具體比例如上）. 若圓柱的半徑與高度之比大于這個臨界值時，從直觀上看，這時的圓柱為矮胖型的，按圖中A—C—B的路線爬行的距離更短；反之，若圓柱的半徑與高度之比小于這個臨界值時，從直觀上看，這時的圓柱為瘦長型的，沿圓柱側面爬行的距離更短.

在具體解題時，有時還要分析空心與實心、內(nèi)外表面等情境；在解答長方體的表面兩點間的最短距離時，還要考慮多種展開方式，再通過計算與對比分析，才能得出正確的結論. 作為學生，要有認真審題的習慣，要有不唯書、不唯上的批判精神.同時，要學會從數(shù)學的角度發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，綜合運用數(shù)學知識解決簡單的實際問題，增強應用意識，提高實踐能力.

兩點建議

1. 給教師的建議

沒有研究就沒有好的教學，創(chuàng)新是引領發(fā)展的第一動力. 在我們的日常教學中，我們只有努力成為一個研究型教師，用嚴謹?shù)膽B(tài)度治學，認真深入地鉆研教材，防止在講解中出現(xiàn)知識性錯誤，而給學生的終生發(fā)展帶來障礙.同時，教師應積極營造研究的氛圍，合理地使用教材，創(chuàng)新地使用班級的優(yōu)秀資源，如讓學生當小老師等，讓他們在課堂內(nèi)外充分闡述自己的觀點和看法，讓更多學生體驗解決問題的方法的多樣性，發(fā)展全體學生的創(chuàng)新意識. “授人以魚，不如授人以漁”，我們教師的主要任務應該是教會他們怎樣學，并盡量讓他們掌握一些分析問題和解決問題的方法，提升其核心素養(yǎng)和競爭力.

2. 給教材編寫者的建議

《新課標》提出：在整個數(shù)學教育的過程中都應該培養(yǎng)學生的應用意識，綜合實踐活動是培養(yǎng)應用意識很好的載體. 由于一些知識性錯誤有可能給孩子的終生發(fā)展帶來巨大的影響，所以建議教材的編寫者應盡量收集這方面的素材，將“螞蟻怎樣走最近”等內(nèi)容納入“綜合與實踐課”的范疇，或通過在教參中設置多個例題，提示教師引導學生去探討與分析. 通過師生互動學習，達到教學相長的目的.