鄭思思

【摘要】 特殊值解決含參數(shù)函數(shù)是奇（偶）函數(shù)問題是學生在學習了函數(shù)的奇偶性后必然會碰到的一類題目，而此類題目也是高考中經(jīng)常出現(xiàn)的題型.學生在解題中卻經(jīng)常會出現(xiàn)利用不等價的轉(zhuǎn)換來進行解題這樣的錯誤.

【關鍵詞】 奇（偶）函數(shù)；教學；嚴密性

例如用f（0）=0來代替函數(shù)是一個奇函數(shù)等.對于這樣的錯誤，作為教師的我們除了發(fā)出“講了n遍了，還是錯錯錯”這樣的抱怨外，是不是也該反省自己的教學，與學生統(tǒng)一戰(zhàn)線，一起找尋問題的解決方案？答案是肯定的.本文就是我與學生在碰到問題后，產(chǎn)生爭議，通過列舉反例達成共識，最后尋找解決方法中展開的，從中也給了我自己很好的教學啟示.

解法一便捷而不嚴密的特點在這兩個例題中暴露了出來.給學生強調(diào)了解題嚴密性，讓學生選擇解法二.對問題中的運算關鍵進行了點撥之后，我在第二天作業(yè)中放入了同類問題.經(jīng)過這樣兩個反例的分析，兩個班共94人中做錯的僅3人（得到正確答案并過程嚴謹）.當我以為這個問題就這么被解決了的時候，卻在接下來的作業(yè)中發(fā)現(xiàn)，選擇解法一的人數(shù)多起來了，同學還是逐漸選擇了便利而欠缺嚴密性的解法.而且與此同時，在與其他老師關于這個問題的討論過程中也講到，其實很多題目甚至是大部分此類問題用f（0）=0來計算都是對的，那還有沒有必要完全摒棄解法一呢？

針對這一問題，我首先找了兩個班中選擇解法一的同學進行了個別訪談，摘錄如下：

師：有關這類題目，我們之前舉過兩個反例，你還有印象嗎？（將題目展示）

生1：哦，記得.

師：那你的作業(yè)中為何還是選擇了解法一呢？

生1：因為解法2太煩了，而且大部分題目好像用解法一算出來的都是對的.

師：那你認為“f（0）=0”和函數(shù)為奇函數(shù)是等價的嗎？

生1：好像不等價.

師：那既然不等價，為什么還用解法一呢？

生1：因為解法一計算簡單啊，而且?guī)缀?5 % 的此類問題（不知道她怎么歸納出這個85 % 的）都可以這樣解決.

師：有關這類題目，我們之前舉過兩個反例，你還有印象嗎？（將題目展示）

生2：哦，記得，老師你講好之后我還重新去整理了.

師：那你的作業(yè)中為何還是選擇了解法一呢？

生2：您上次舉的兩個反例，我研究過了，其實反例1和反例2之所以用f（0）=0來算時沒有計算出正確答案是因為本身這個奇函數(shù)在x=0處沒有定義，但是作業(yè)中的那題我可以判斷出在x=0的地方一定是有定義的.

師：那你認為“f（0）=0”和函數(shù)為奇函數(shù)是等價的嗎？

生2：好像不等價.

師：那既然不等價，為什么還用解法一呢？

生2：作業(yè)中的那題我可以判斷出在x=0的地方一定是有定義的，所以f（0）一定等于0.

其他學生在訪談過程中的回答與上述兩名同學類似，不一一列舉.

結(jié)合學生所講以及與備課組老師的討論，我又重新開始思考.先回到之前所舉的兩個反例中，細審解法一出錯的原因，反例1中只算出了a=1主要原因是當a=-1時函數(shù)在x=0處無定義，所以無法計算出這個答案；反例2中沒有算出正確答案a=-1，究其原因也是當a=-1時，函數(shù)在x=0處沒有定義造成的（剛才那名同學的說法還有有點道理的）.但是如果再來反觀反例2的解法一，其實我們會發(fā)現(xiàn)用f（0）=0算出的值，此時函數(shù)在x=0處也有定義，但是還是不能滿足函數(shù)為奇函數(shù)的條件，而這個也正好應證了“f（0）=0”與“f（x）是奇函數(shù)”的不等價性，并且這個不等價性的說明已排除了“函數(shù)在x=0處沒有定義”這種特殊情況.

在做好了這一些準備后，我又重新拿著這些題目給學生們講了以上這些我的思考.最后提出了一個問題：那么在以后大家碰到這類問題時，會以什么樣的方式去進行解題呢？在師生共同的努力下，達成了一個約定，解決這類問題的一個約定.約定具體內(nèi)容如下：

（1）拿到這類問題先判斷函數(shù)在x=0處是否有定義；若有，參看第2條，若無或不確定參看第3條；

（2）利用f（0）=0來算，但所得結(jié)果需要檢驗；

（3）利用f（-x）=-f（x）來進行計算，一般無須檢驗.

學生們都很開心，解數(shù)學題還可以按照約定來，挺新鮮.可是卻馬上又發(fā)現(xiàn)這個約定是有漏洞的.題目如下：

f（x）=log 1 2 1-ax x-1 是R上的奇函數(shù)，求a，b的值.

學生的解法大致如下：

解法一 考慮到函數(shù)在x=0時有定義，所以f（0）=0，可以先解得a=1，然后再利用f（-x）=-f（x）（比解法2中的運算量少）或f -1 =-f 1 （或者其他特殊值來算，運算量較?。?，然后進行檢驗，可得出最后答案a=1，b=e.

解法二 直接利用f（-x）=-f（x）即f（-x）+f（x）=0來算.將式子化簡后可得a=±1，而檢驗后可發(fā)現(xiàn)正確答案只有a=-1；因為當a=1時，f（x）=log 1 2 1-x x-1 ，對任意的x∈ R 均是沒有意義的.

題目做完講解后，學生就鬧開了花，吵著爭著“老師，你看我們定的約定不對了！怎么辦？”

怎么辦？改唄！于是師生共同又將約定改為了如下版本：

（1）拿到這類問題先判斷函數(shù)在x=0處是否有定義；若有，參看第2條，若無或不確定參看第3條；

（2）利用f（0）=0來算，但所得結(jié)果需要檢驗；

（3）利用f（-x）=-f（x）來進行計算，也需要檢驗，尤其是出現(xiàn)兩解時.

而在之后的解題中，大家又發(fā)現(xiàn)了一道此類問題，但又與眾不同：已知函數(shù)f（x）= a-ex b+ex+1 是 R 上的奇函數(shù)，求a，b的值.

此題的與眾不同在于題中有兩個參數(shù)a，b，若只用f（0）=0來計算只能算出一個值即a=1，若要繼續(xù)求b的值則需要再取一個特定值如f -1 =-f 1 （結(jié)果是需要檢驗的），或者將a=1代入f（-x）=-f（x）來進行計算.當然也有學生選擇的方法是直接用f（-x）=-f（x）來計算，但是后面的運算量很大，導致很多學生放棄此題；而一小部分堅持對式子化簡并得到結(jié)果a=1，b=e或a=-1，b=-e的同學有鮮少有人檢驗出a=-1，b=-e這組答案是錯誤的，因為此時函數(shù)的定義域不是 R .

針對這樣的情況，我們再次調(diào)整了約定內(nèi)容：

（1）拿到這類問題先判斷函數(shù)在x=0處是否有定義；若有，參看第2條和第3條，若無或不確定參看第5條；

（2）若函數(shù)解析式中只含一個參數(shù)，則參看第3條；若函數(shù)解析式中含有兩個參數(shù)，則參看第4條；

（3）利用f（0）=0來算，但所得結(jié)果需要檢驗；

（4）借助f（0）=0和另一個特定值如f -1 =-f 1 結(jié)合求解，所得結(jié)果需檢驗；或者借助f（0）=0和f（-x）=-f（x）來求解；

（5）利用f（-x）=-f（x）來進行計算，也需要檢驗，尤其是出現(xiàn)兩解時.

后 記

這類問題無論是對高中數(shù)學教師還是對學生來講，都不陌生.學生在做題時一定會碰到此類問題，而教師就更不用說了.但是我在之前的教學中，雖然也了解學生解決此類問題時會出現(xiàn)的問題和錯誤，但都沒有認真地去對待，而是把學生的錯誤當作一種理所當然，并沒有去關注這問題和錯誤的背后所隱藏的原因.所以錯了講，講了再錯，錯了再講，……如此惡性循環(huán)，不光沒有解決問題，還加重了學生的負擔，著實不是種好的教學方法.我想我們的教育應該要更貼近學生，采取學生愿意的也能接受的方式來開展教學，減輕學生負擔的同時也把問題搞明白了，一舉兩得不是更好嗎？與此同時，教師也應在平時教學中關注學生運算化簡能力的培養(yǎng)和提高.

通過大半個學期與此類問題的戰(zhàn)斗，也對如何教學這類問題以及其他問題有了一個自己的認識，與大家分享，不當之處請指正.