鄭華盛， 胡結(jié)梅（南昌航空大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，南昌330063）

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兩個典型數(shù)列極限的推廣

鄭華盛， 胡結(jié)梅
（南昌航空大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，南昌330063）

［摘 要］首先由兩個典型數(shù)列極限分別得到關(guān)于算術(shù)平均及加權(quán)平均形式的數(shù)列極限；其次將得到的極限推廣到一維及二維連續(xù)情形，得到幾個結(jié)論；最后給出幾個實(shí)例說明它們的應(yīng)用．

［關(guān)鍵詞］數(shù)列極限；推廣；離散型；連續(xù)型

高等數(shù)學(xué)是理工科院校各學(xué)科專業(yè)的一門重要必修基礎(chǔ)課，對后續(xù)課程及今后的學(xué)習(xí)有著舉足輕重的作用．在高等數(shù)學(xué)課程教學(xué)中，如何培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維及創(chuàng)新意識，是一個值得探究的問題．

眾所周知，推廣是對原問題的一般化，是更深層次的學(xué)習(xí)，也是創(chuàng)新性學(xué)習(xí)和科學(xué)研究的基礎(chǔ)．文獻(xiàn)［1］就高等數(shù)學(xué)中問題推廣的幾種方法做了很好的歸納和總結(jié)．問題推廣的表現(xiàn)形式有多種，而由離散型推廣到連續(xù)型，由低維推廣到高維是兩種常用的推廣形式．基于兩個常用的典型數(shù)列極限問題，本文重點(diǎn)探討如何運(yùn)用上述兩種常用的推廣形式，將它們推廣到離散型，連續(xù)型及多維情形，引導(dǎo)學(xué)生積極探究一些典型問題的推廣，以獲取更一般的結(jié)果，這也是研究性學(xué)習(xí)的一個鍛煉環(huán)節(jié)．

1　數(shù)列極限I及其推廣

由此極限及四則運(yùn)算法則，可以得到關(guān)于算術(shù)平均及加權(quán)平均形式的數(shù)列極限．

命題1 設(shè)ai＞0，pi＞0（i＝1，2，…，m），則有

下面將命題1中的算術(shù)（加權(quán)）平均推廣到積分平均，即將離散型對應(yīng)地推廣到連續(xù)型情況，有

定理1 設(shè)函數(shù)f（x）在［a，b］上連續(xù)，f（x）＞0，函數(shù)g（x）在［a，b］上可積且不變號，則有

證 由題設(shè)知f（x）在［a，b］上有界，即存在m，M，使?x∈［a，b］，有0＜m≤f（x）≤M．不妨設(shè)g（x）≥0，?x∈［a，b］，于是得

推論1 設(shè)函數(shù)f（x）在［a，b］上連續(xù)，且f（x）＞0，則有

類似地，推廣到二維連續(xù)情形，有

定理2 設(shè)函數(shù)f（x，y）在有界閉區(qū)域D上連續(xù)，f（x，y）＞0，函數(shù)g（x，y）在D上可積且不變號，則有

推論2 設(shè)函數(shù)f（x，y）在有界閉區(qū)域D上連續(xù)，f（x，y）＞0，σD為區(qū)域D的面積，則有此

外，還可類似地推廣到三維及更高維情形．

2　數(shù)列極限II及其推廣

文獻(xiàn)［3］給出了一個典型數(shù)列極限，則有

證 下面僅證（ii）：（（i）是（ii）的特殊情況）

類似地，可證得

下面將命題2推廣到一維連續(xù)情形，有

定理3 設(shè)函數(shù)f（x）在［a，b］上連續(xù)，f（x）＞0，函數(shù)g（x）在［a，b］上可積且恒大于或恒小于零，則有

證 由定理1知結(jié)論左側(cè)極限為1∞型，

又由題設(shè)知f（x）在［a，b］上有界，即存在m，M，?x∈［a，b］，有

所以

于是

即對于?ε＞0，存在N，當(dāng)n＞N時(shí)，有

從而得

即得

故得證

特別地，取g（x）＝1，由定理3得

推論3 設(shè)函數(shù)f（x）在［a，b］上連續(xù)，且f（x）＞0，則有

類似地，將上述結(jié)論推廣到二維連續(xù)情形，有

定理4 設(shè)函數(shù)f（x，y）在有界閉區(qū)域D上連續(xù)，f（x，y）＞0，函數(shù)g（x，y）在D上可積且恒大于或恒小于零，則有

特別地，取g（x，y）＝1，則由定理4得

推論4 設(shè)函數(shù)f（x，y）有界閉區(qū)域D上連續(xù)，f（x，y）＞0，σD為區(qū)域D的面積，則有

此外，以上結(jié)論還可類似地推廣到三維及更高維情形．

3　應(yīng)用實(shí)例

從而得

于是

故由ε＞0的任意性，知

綜上所述，即得，其中n是給定的正整數(shù)．（2009年首屆中國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽賽區(qū)非數(shù)學(xué)類試題）

例2 求極限

解 取a1＝e，a2＝e2，…，an＝en，則由命題3，得

例3［3］設(shè)函數(shù)f（x）為［0，1］上的連續(xù)正值函數(shù)，證明

證 由推論3，得

故對上式兩邊取極限，令n→∞，即得

［參 考 文 獻(xiàn)］

［1］ 蘇化明，潘杰．高等數(shù)學(xué)問題推廣的幾種方式［J］．大學(xué)數(shù)學(xué)，2004，20（5）：64－69．

［2］ 張筑生．?dāng)?shù)學(xué)分析新講（第一冊）［M］．北京：北京大學(xué)出版社，1990．

［3］ 裴禮文．?dāng)?shù)學(xué)分析中的典型問題與方法［M］．2版．北京：高等教育出版社，2006．

The Extension of Two Typical Limits of the Number Sequence

ZHENG Hua－sheng， HU Jie－mei
（School of Mathematics and Information Science，Nanchang Hangkong University，Nanchang 330063，China）

Abstract：Firstly，several limits of the number sequence for arithmetic average and weighted average form are separately obtained by applying two typical limits of the number sequence．Secondly，the derived limits are generalized to one dimensional and two dimensional continuous type．Some results are presented．Finally，several examples is given to show their applications．

Key words：limit of the number sequence；extension；discrete type；continuous type

［基金項(xiàng)目］江西省教育廳教學(xué)改革研究項(xiàng)目（JXJG－13－8－18，JY1329）；江西省教育廳科技項(xiàng)目（GJJ12431）

［收稿日期］2015－09－06

［中圖分類號］O172．1；O13

［文獻(xiàn)標(biāo)識碼］C

［文章編號］1672－1454（2016）01－0091－05