王奕可（中央財經(jīng)大學保險學院，北京102206）

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關于貝特朗奇論的新觀點——基于點的均勻分布假設進行建模分析

王奕可
（中央財經(jīng)大學保險學院，北京102206）

［摘 要］針對貝特朗問題進行建模，給出在適當?shù)母郊泳鶆蚍植技僭O下，概率解可以取到區(qū)間［0，1］內(nèi)任一值的結論．為得出在無附加條件下貝特朗問題的解，同樣采用建模方法，通過改變模型參數(shù)使附加條件變?yōu)樨愄乩蕟栴}的內(nèi)含條件，進而導出結果，以此判明既有的諸主流解法的正確性．

［關鍵詞］貝特朗奇論；均勻分布；幾何概型

1　引 言

1899年，法國數(shù)學家約瑟夫·貝特朗（Joseph Bertrand，1822－1900）在其著作《概率計算》中提出了貝特朗問題，即：在圓內(nèi)任作一弦，求其長度超過該圓內(nèi)接正三角形邊長的概率．對于該問題有著諸多看似合理卻大相徑庭的解答，顯然違背了幾何概率的性質(zhì)，于是產(chǎn)生了著名的“貝特朗奇論”．

數(shù)年來，圍繞貝特朗問題，形成了如下幾種主流的解法［1］：

（i）由于對稱性，考慮某指定方向的弦．作一直徑垂直于該方向，只有交直徑于與之間的弦滿足要求，所求概率為

（ii）由于對稱性，固定弦的一端點，令另一端點在圓周上作隨機移動．在固定端點作一切線，則與此切線交角在60°與120°之間的弦滿足要求，所求概率為

（iii）圓內(nèi)弦的位置被其中點唯一確定，在圓內(nèi)作一同心圓，其半徑僅為大圓半徑的一半，則大圓內(nèi)弦的中點落在小圓內(nèi)時才滿足要求，所求概率為

針對上述三種解法，諸多學者各持對唯一解的不同看法，張敏、何小亞［2］已在其論文中作出歸納，此處不再贅述．另外值得注意的是，石啟亮［3］采用隨機模擬的方法得到貝特朗問題的正確答案為，鄭長波、孟憲濤［4］給出了答案能夠取到區(qū)間，即有無窮多解的結論．

本文的目標則是建立模型來說明在適當?shù)母郊泳鶆蚍植技僭O下答案能夠取到區(qū)間［0，1］內(nèi)的任一值，借此說明附加的均勻分布假設對問題解答的影響，從而基于樣本空間選取時的均勻分布假設構造新的模型來導出貝特朗問題的正確解．為此，先將貝特朗問題轉(zhuǎn)化為如下等價命題：

2　弦組選取

由于圓內(nèi)的弦有無窮多條，通常的做法是基于對稱性來選取具有代表性的一組弦，在本文中采用更為嚴謹?shù)恼f法，基于均勻分布（或等可能性）假設來選取弦組．

如圖，作與單位圓同心、半徑為k（≥1）的圓，則單位圓中任意弦的延長線必然與大圓有交．假設點在大圓上均勻分布．以大圓上的點向單位圓作割線，必然能夠得到單位圓內(nèi)所有的弦．現(xiàn)規(guī)定劣弧沿圓周的順時針方向為該劣弧的正方向，如圖，在劣弧XY上X相對Y為正，以Y為端點沿YX方向作射線，交大圓于唯一點P．

上述方式表明了存在單位圓內(nèi)除直徑外的所有弦到大圓上的點的映射．將所有且僅映射到大圓上某一定點的弦納入弦組，則得到弦組到大圓上的點的雙射．由于各弦組同質(zhì)且互不相交，現(xiàn)選取大圓上一點P，顯然以點P對應的弦組具有代表性．特別的，由于每個弦組內(nèi)含有無窮多條弦，故是否考慮至多一條落在單一弦組內(nèi)的直徑不會影響最后結果的正確性．下述各模型都將采用以此種方式選取的弦組進行討論．

中國經(jīng)濟和社會發(fā)展步入新時代，在人口老齡化、高齡化、空巢化等大背景下，在撫育子女和贍養(yǎng)老人的壓力下，在照顧家庭和努力工作的夾縫中，面對人們對更美好家政服務的需求，我們需要更深刻地認識家政服務供給側的提質(zhì)和升級問題，用高質(zhì)量培訓推動家政服務進入新時代。

3　［0，1］區(qū)間模型

回顧第一種解法，將同一方向的一組弦映射為在一條直徑上的點來計算概率，實質(zhì)上是在貝特朗問題題設之外附加了點在直徑上均勻分布的假設．依照同一思路，該模型假設點在直徑所在的直線上均勻分布．

在弦組選擇中，已設點P所在的大圓半徑為k（≥1）．如圖所示，取大圓上一點M且OM與OP夾角不超過，點P對應的弦組中的弦XY（或其延長線）交OM與點A．顯然，在點P固定的條件下，弦XY能夠被點A所唯一確定，因此選擇點A作為樣本點來考慮概率．為確定樣本空間，過點P引單位圓的切線PQ交OM于點N′，顯然點A只能落在線段ON′內(nèi)．在單位圓內(nèi)作半徑為的同心圓，過點P引該同心圓的切線PT交OM于點N，聯(lián)系第三種主流解法可以得出，當且僅當點A落在線段ON內(nèi)時，弦XY將穿過半徑為的同心圓，長度大于

現(xiàn)在由幾何概率的定義，可以得出貝特朗問題的概率表達式

設∠MOP＝θ，由切線PT，PQ可以得出以下四個三角函數(shù)式

于是

即貝特朗問題的概率解在該模型中被描述為關于大圓半徑k和點均勻分布的直徑與OP連線夾角θ的函數(shù)P （k，θ）．由于P （k，θ）在連續(xù)，而

由連續(xù)函數(shù)的介值性，P （k，θ）的函數(shù)值可以在區(qū)間［0，1］內(nèi)任意取值，這也就證明了在適當?shù)母郊泳鶆蚍植技僭O下，貝特朗問題的概率解可以取到區(qū)間［0，1］內(nèi)任一值的結論．

不難發(fā)現(xiàn)，雖然一題多解應與概率的性質(zhì)相違背，但是在不同的均勻分布假設下，各答案都有其正確性，因此出現(xiàn)多解的原因是在題意之外由解題者附加的均勻分布假設．下面就將通過模型將附加的均勻分布假設內(nèi)化為貝特朗問題的內(nèi)含條件，推導唯一的正確解．

4　同心圓模型

既設點P所在大圓半徑為k（≥1）．在將弦映射為大圓上的點時，為避免牽涉其余可能隱含的均勻分布假設，所作的映射要求盡可能簡單．一個符合要求的映射如下：因為弦組中所有的弦所在直線都通過點P，現(xiàn)作弦XY的反向延長線，交大圓于異于P的另一點Z，如圖所示．過點P引關于單位圓以及單位圓內(nèi)半徑為的同心圓的切線PQ，PT分別交大圓于點Q′，T′，延長PO交大圓于O′．顯然點P對應弦組中的弦只能映射到上，且上任一點與且僅與弦組內(nèi)的一條弦對應．當點Z落在內(nèi)時，弦XY長度大于，由幾何概率的定義可知：

需要再次強調(diào)的是，固定k的取值時，均勻分布假設僅為“點在半徑為k的圓周上分布均勻”，這是非常弱的均勻分布假設，因為大圓圓周和單位圓圓周以外的平面區(qū)域的點的密度可以是任意的．為了“去掉”這一假設，取k＝1，即大圓與單位圓重合，均勻分布假設則退化為“點在單位圓上均勻分布”，這與由圓周上隨機兩點確定弦的等可能性相符，也是貝特朗問題的內(nèi)含條件．此時得到

即為貝特朗問題的正確解．

另外，當k＝1時，得到的是第二種傳統(tǒng)解法僅在以OP為界的半圓里討論的情形．由以上討論可知，第二種傳統(tǒng)解法的答案和過程都是正確的．

5　關于映射構造的一些思考

在模型中，將弦映射為一系列均勻分布的點尤為重要．例如第三種傳統(tǒng)解法中，雖然將所有的弦都映射到自身中點，但弦的中點在圓內(nèi)并不是均勻分布的，這一結論已由黃晶晶在其論文《關于貝特朗悖論的新思考》［5］中證明，因此本文選擇先構造均勻分布假設，再將弦映射到假設均勻分布的點上．但是這樣一來，要如何構造合理的映射，便成為問題．

在同心圓模型中，存在另一種合理的映射構造方式：過圓心引弦的垂線并延長與大圓相交，如圖，弦XY的中垂線交大圓于點Z，而過圓心O引兩切線PT，PQ以及OP的垂線得到樣本空間的邊界點O′，Q′和弦長大于的臨界點T′．

由垂直關系同樣能夠得到概率解的表達式

但是，如果采取以點P為圓心作弧將弦（中點）映射到大圓的方法，卻不能夠得到正確的結果．對比三種映射，可以認為同心圓模型中的“延長線映射”和此處的“圓心垂線映射”是保持比例關系的映射，而“圓弧映射”是改變了比例關系的映射．再進一步思考，貝特朗問題的內(nèi)在要求包含“點在單位圓圓周上均勻分布”，與“大圓上的點均勻分布”一同構成類似于極坐標網(wǎng)絡的均勻放射（如圖），因此過圓心引垂線能夠保持比例關系不變，大圓上的點相當于圓心的射影；而“延長線映射”則可以看成是點P向大圓上其余點射影，弦則是射影的路徑在單位圓內(nèi)的部分，參考射影幾何學的有關內(nèi)容，射影不會改變比例關系，因此“延長線映射”不會改變比例關系，所以能夠保持正確的概率解．相較之下，同心圓模型中的“延長線映射”更優(yōu)，因為它避開了貝特朗奇論之爭中的一個特殊點——圓心［6］，使得答案正確性得到了更進一步的保障．

6　結 論

本文在傳統(tǒng)解法的基礎之上，采用構造的模型的方法，證明了在適當?shù)母郊泳鶆蚍植技僭O（或等可能性條件）的情況下，貝特朗問題的概率解可以取到區(qū)間［0，1］內(nèi)任一值，而后同樣采用建模方法分析去掉附加的均勻分布假設（或等可能性條件），回歸貝特朗問題的本身內(nèi)含條件，從而導出貝特朗問題唯一的正確解，證明了引言中第二種傳統(tǒng)解法的正確性．

［參 考 文 獻］

［1］ 茆詩松，程依明，濮曉龍．概率論與數(shù)理統(tǒng)計教程［M］．北京：高等教育出版社，2011：28－29．

［2］ 張敏，何小亞．貝特朗悖論之爭的終結［J］．數(shù)學教育學報，2015，24（3）：51－54．

［3］ 石啟亮．解讀貝特朗（Bertrand）悖論［J］．數(shù)學教學，2005，（10）：32－34．

［4］ 鄭長波、孟憲濤．關于圓上隨機弦奇論的解析［J］．沈陽師范大學學報，2012，30（2）：164－167．

［5］ 黃晶晶，黃世同．關于貝特朗悖論的新思考［J］．昆明師范高等專科學校學報，2004，26（4）：10－12．

［6］ 蘇同安．都是圓心惹的禍——“貝特朗悖論”新說［J］．中學數(shù)學高中版，2010，（1）：64．

The New Viewpoint of Bertrand Paradox——Modeling and Analyzing Based on the Assumption of a Uniform Distribution for Points

WANG Yi－ke
（Central University of Finance and Economics，School of Insurance，Beijing 102206，China）

Abstract：For the Bertrand’s question，this paper will model to show the conclusion that the probability can be equal to any value in the interval［0，1］in condition of an appropriate additional assumption of a uniform distribution for points．In order to the answer of the Bertrand’s question without any additional assumptions，the method of modeling will be also adopted．The additional assumption of the model can be converted into the inherent requirement of the Bertrand’s question by changing the parameter of the model，then the answer will be derived．Therefore，the correctness of many traditional viewpoints is also shown．

Key words：Bertrand Paradox；uniform distribution；geometric probability

［收稿日期］2015－09－25

［中圖分類號］O211．2

［文獻標識碼］B

［文章編號］1672－1454（2016）01－0044－05