◆蔣培杰　曹軒

高中數(shù)學(xué)實驗室的發(fā)展

◆蔣培杰曹軒

定義與高中數(shù)學(xué)實驗室相關(guān)的幾個概念，按照發(fā)展規(guī)律將高中數(shù)學(xué)實驗室的發(fā)展分為三個階段。在這個基礎(chǔ)上，闡述圖形計算器在概念課、實驗課和統(tǒng)計概率模塊的應(yīng)用，以及動態(tài)數(shù)學(xué)軟件在教學(xué)中的應(yīng)用，并討論這些應(yīng)用的優(yōu)缺點。

高中數(shù)學(xué)實驗室；圖形計算器；動態(tài)數(shù)學(xué)軟件

10.3969/j.issn.1671-489X.2016.03.152

1　前言

現(xiàn)代教育技術(shù)正改變中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)方式，ICMI 12的72個正式報告中多至8個報告有關(guān)技術(shù)與數(shù)學(xué)教學(xué)，還有第18、19兩個課題研究分別就數(shù)學(xué)教學(xué)如何應(yīng)用技術(shù)進行討論［1］。2014年3月，教育部《中小學(xué)“數(shù)學(xué)實驗室”建設(shè)的研究》開題大會在北京召開，大會對高中數(shù)學(xué)實驗室建設(shè)的國家標(biāo)準(zhǔn)等問題做了討論，對研究做了具體規(guī)劃。會議討論了建立數(shù)學(xué)實驗室國家標(biāo)準(zhǔn)的重要意義，提出了數(shù)學(xué)實驗室建設(shè)的目的、數(shù)學(xué)實驗室的功能、數(shù)學(xué)實驗的作用以及如何建立數(shù)學(xué)實驗室的國家標(biāo)準(zhǔn)等問題。

目前，全國各地已經(jīng)建成一些有特色的高中數(shù)學(xué)實驗室，并投入使用。然而調(diào)研發(fā)現(xiàn)，目前多數(shù)一線數(shù)學(xué)教師并不知道什么是高中數(shù)學(xué)實驗室，不了解實驗室的功能和意義。因此，介紹高中數(shù)學(xué)實驗室對一線數(shù)學(xué)教師而言已經(jīng)十分必要和迫切。

2　高中數(shù)學(xué)實驗室相關(guān)的核心概念

本研究中與高中數(shù)學(xué)實驗室相關(guān)的核心概念有三個：數(shù)學(xué)實驗室、圖形計算器和數(shù)學(xué)實驗室教學(xué)。

數(shù)學(xué)實驗室目前，對于數(shù)學(xué)實驗室并沒有統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)。一般認(rèn)為，數(shù)學(xué)實驗室應(yīng)該包括桌椅、交互式白板、投影、計算機、手持學(xué)習(xí)終端（平板電腦或圖形計算器）、物理傳感器、傳統(tǒng)教具、立體幾何模型、器材存儲柜等硬件設(shè)備，幾何畫板、超級畫板、數(shù)學(xué)插圖、算法框圖輔助教學(xué)系統(tǒng)、統(tǒng)計分析軟件SPSS、Maple等軟件。本文中，數(shù)學(xué)實驗室指至少包含桌椅、交互式電子白板、計算機、圖形計算器硬件設(shè)備和幾何畫板軟件設(shè)備的可容納40人以上的多媒體教室。

圖形計算器圖形計算器是一種具有函數(shù)作圖功能、動態(tài)圖形功能、解方程（組）功能、數(shù)據(jù)處理功能、簡單的編程功能和進行一些數(shù)理模擬實驗等功能的計算器。它可以直觀地繪制各種方程曲線和函數(shù)圖象，還可以進行軌跡跟蹤、動態(tài)演示，具有一定的交互性，是一種現(xiàn)代手持技術(shù)。

數(shù)學(xué)實驗室教學(xué)數(shù)學(xué)實驗室教學(xué)指利用數(shù)學(xué)實驗室的軟、硬件綜合設(shè)備進行教學(xué)，既包括在實體數(shù)學(xué)實驗室內(nèi)進行的教學(xué)活動，也包括利用數(shù)學(xué)實驗室內(nèi)的設(shè)備（尤其是圖形計算器，學(xué)生人手一臺）在其他多媒體教室進行的教學(xué)活動。

3　高中數(shù)學(xué)實驗室發(fā)展的三個階段

高中數(shù)學(xué)實驗室教學(xué)并非一個全新的問題，從最初的機器教學(xué)（程序教學(xué)），到CAI（計算機輔助教學(xué)），再到信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程整合，以至現(xiàn)在的數(shù)學(xué)實驗室教學(xué)，它們之間有一種傳承關(guān)系。因此，可以認(rèn)為高中數(shù)學(xué)實驗教學(xué)的發(fā)展已經(jīng)歷三個階段。其中，第一個階段以幾何畫板為主要的探究技術(shù)支持，第二個階段以圖形計算器為主要的探究技術(shù)支持，第三個階段以初步成型的高中數(shù)學(xué)實驗室綜合軟硬件設(shè)備為探究的技術(shù)支持。

以幾何畫板為主要的探究（實驗）技術(shù)支持較早的以幾何畫板為數(shù)學(xué)探究的技術(shù)支持的研究可以追溯到20世紀(jì)90年代末期。比如：陶維林于2000年在《數(shù)學(xué)通報》上發(fā)表的利用幾何畫板做實驗發(fā)現(xiàn)新的曲線的文章；李勁松在《遼寧師專學(xué)報》上發(fā)表的《以幾何畫板為平臺數(shù)學(xué)實驗室的創(chuàng)設(shè)》則明確提出創(chuàng)設(shè)以幾何畫板為主要技術(shù)支持的數(shù)學(xué)實驗室。這些研究受當(dāng)時教育潮流的影響，大部分是數(shù)學(xué)CAI方面的研究。此后有數(shù)千篇關(guān)于幾何畫板教學(xué)應(yīng)用的文章出現(xiàn)，涉及高中數(shù)學(xué)教學(xué)的方方面面，如今幾何畫板輔助高中數(shù)學(xué)教學(xué)已經(jīng)常態(tài)化。張景中對比了幾何畫板與超級畫板等軟件的功能與設(shè)計思想，總結(jié)了幾何畫板用于數(shù)學(xué)實驗的優(yōu)、缺點［2］。幾何畫板與其他動態(tài)數(shù)學(xué)軟件諸如超級畫板等已經(jīng)在不少數(shù)學(xué)實驗教學(xué)中得到應(yīng)用。

以圖形計算器為主要的探究（實驗）技術(shù)支持在幾何畫板作為數(shù)學(xué)探究技術(shù)支持的同時，圖形計算器逐漸走進課堂教學(xué)。在2001年，《數(shù)學(xué)教育學(xué)報》刊出的《談?wù)剤D形計算器對我國數(shù)學(xué)教育的影響》一文提出，利用圖形計算器與多種理、化、生等自然科學(xué)實驗的探頭相連接，就構(gòu)成小型理科實驗室。學(xué)生通過實驗收集數(shù)據(jù)、進行數(shù)據(jù)統(tǒng)計，用直線或曲線進行擬合，建立數(shù)學(xué)模型對事物的發(fā)展做出預(yù)測，把他們所學(xué)到的數(shù)學(xué)知識用到實際問題的解決之中。這是統(tǒng)計概率方面的數(shù)學(xué)實驗。Alan T.Graham則研究了使用圖形計算器幫助字母運算的學(xué)習(xí)［3］。在圖形計算器環(huán)境下，學(xué)生可以通過給變量賦值體驗到變量變化對運算結(jié)果的影響，從而更好地理解字母運算。目前圖形計算器已經(jīng)成為中學(xué)數(shù)學(xué)實驗室建設(shè)的必備（核心）硬件設(shè)備。

以高中數(shù)學(xué)實驗室軟硬件設(shè)備為探究（實驗）的技術(shù)支持經(jīng)過以上兩個階段的發(fā)展，盡管還沒有高中數(shù)學(xué)實驗室建設(shè)的統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)，不少學(xué)校已經(jīng)建成有自己特色的高中數(shù)學(xué)實驗室。此時的數(shù)學(xué)實驗可以綜合幾何畫板、超級畫板等數(shù)學(xué)軟件以及圖形計算器等硬件設(shè)備作為數(shù)學(xué)探究（實驗）的技術(shù)支持。

4　圖形計算器的在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，圖形計算器的使用是一個比較熱門的話題。一般認(rèn)為，高中數(shù)學(xué)中有一些內(nèi)容適合利用圖形計算器進行教學(xué)，圖形計算器的使用有助于一些概念課、實驗課和探究課的教學(xué)。

圖形計算器應(yīng)用于概念課的教學(xué)利用圖形計算器在函數(shù)作圖、方程曲線、隨機模擬、數(shù)據(jù)處理等方面的強大功能，可以改善數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的呈現(xiàn)方式與學(xué)習(xí)過程，縮短認(rèn)知路徑。圖形計算器的使用可以讓概念教學(xué)更加自然、生動。如在偶函數(shù)概念的教學(xué)中，可以利用圖形計算器做出大量簡單的偶函數(shù)的圖象，讓學(xué)生觀察并找出圖象的共同特征，從而導(dǎo)出偶函數(shù)的概念。這種“觀察現(xiàn)象——總結(jié)規(guī)律——提煉概念”的方式，可以幫助學(xué)生更直觀地建構(gòu)數(shù)學(xué)概念。利用圖形計算器圍繞數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)和理解展開，但不能濫用技術(shù)，圖形計算器只是輔助思考和理解，不能代替思考，更不能替代必要的作業(yè)和訓(xùn)練。

圖形計算器應(yīng)用于數(shù)學(xué)實驗的教學(xué)本文中所提出的數(shù)學(xué)實驗與物理、化學(xué)實驗的含義相近，指利用圖形計算器或者其他設(shè)備尋找學(xué)習(xí)對象數(shù)學(xué)上的規(guī)律，提出猜想或者檢驗?zāi)硞€已有的猜想，為猜想提供一些不完全歸納意義上的證據(jù)的一種綜合活動。圖形計算器應(yīng)用于數(shù)學(xué)實驗的教學(xué)目前有借助圖形計算器的隨機功能，創(chuàng)設(shè)隨機問題模擬數(shù)學(xué)情境。在這樣的情境下，學(xué)生可以動手操作，觀察和獲取模擬實驗的結(jié)果，如拋硬幣的隨機試驗和通過模擬“撒豆子”計算圓周率等。模擬實驗主要依靠圖形計算器的簡單編程功能。此外，很多數(shù)學(xué)探究教學(xué)也同時是數(shù)學(xué)實驗教學(xué)。如利用圖形計算器作函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象像，觀察振幅（或相位等）對該類函數(shù)圖象的影響，從而得出規(guī)律，等等。

圖形計算器應(yīng)用于統(tǒng)計概率模塊的教學(xué)在統(tǒng)計概率的教學(xué)中，圖形計算器的使用已經(jīng)較成熟，相關(guān)的研究也已經(jīng)不少。Alan Graham開發(fā)了很多圖形計算器用于統(tǒng)計教學(xué)的案例，闡述了圖形計算器可以幫助學(xué)生獲得重要的統(tǒng)計學(xué)洞見和深刻的統(tǒng)計學(xué)思想。Jonaki Ghosh的研究記述了高一學(xué)生使用圖形計算器進行概率模塊學(xué)習(xí)的整個過程。授課在常規(guī)教室進行，使用的圖形計算器是Casio CFX 9850。研究發(fā)現(xiàn)，利用圖形計算器能有效實現(xiàn)隨機數(shù)、隨機試驗和樣本空間等概念的教學(xué)，凸顯了頻率和概率的聯(lián)系與區(qū)別。研究記錄了課堂教學(xué)后學(xué)生的主要反饋：“這些課幫助我探索和理解了概率的基本原則和思想?！薄斑@些課讓我清楚明白了頻率和概率的區(qū)別，并讓我深刻認(rèn)識到了兩者之間的聯(lián)系?！毖芯康贸鲆恍┙Y(jié)論：學(xué)生能根據(jù)自己的需要利用圖形計算器做模擬試驗，能體驗到數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的喜悅；圖形計算器輔助教學(xué)較傳統(tǒng)教室能更集中學(xué)生的熱情和興趣；圖形計算器的使用可以增進交流，提出比傳統(tǒng)課堂更多的問題；圖形計算器可以通過大量試驗幫助學(xué)生估計隨機事件的概率，突出頻率和概率的區(qū)別［4］。

5　動態(tài)數(shù)學(xué)軟件在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

幾何畫板在一些概念課的教學(xué)方面，應(yīng)用幾何畫板可以將數(shù)學(xué)概念的形成過程呈現(xiàn)出來，可以直觀看到各種模式中數(shù)量關(guān)系的變化，可以把數(shù)和形的內(nèi)在關(guān)系及其變化動態(tài)生動地展現(xiàn)出來，讓學(xué)生可以從這個過程中觀察、實驗、思考并建構(gòu)數(shù)學(xué)概念。在解題教學(xué)方面，一些有關(guān)函數(shù)含參的問題可以借助于幾何畫板做出圖象，觀察圖象的動態(tài)變化，進而把“數(shù)”的問題轉(zhuǎn)化為“形”的問題，把抽象的問題轉(zhuǎn)化為直觀的問題，對解題有很大的幫助。在平面幾何解題教學(xué)中，幾何畫板作圖漂亮且十分方便，借助幾何畫板可以呈現(xiàn)解題從審題到回顧的全過程。

超級畫板由于幾何畫板更偏重“形”的方面，在代數(shù)、統(tǒng)計、算法等方面不能很好地滿足教學(xué)的需要，超級畫板在某種程度上彌補了這些不足。超級畫板集成了幾何畫板（動態(tài)幾何）、PowerPoint演示文稿、Excel電子表格、Mathematics符號運算、VB算法編程等多種軟件的基本功能，并在此基礎(chǔ)上增加了動態(tài)測算、邏輯、動畫、自動推理等功能［2］。因此，超級畫板與幾何畫板相比，其功能更為強大，并且更方便用于一線教學(xué)。遺憾的是，超級畫板部分功能需要付費使用，這一點影響它的使用范圍。

6　結(jié)語

高中數(shù)學(xué)實驗室已經(jīng)逐漸進入學(xué)校，不少學(xué)校已經(jīng)開始使用高中數(shù)學(xué)實驗室進行教學(xué)。作為一線教師，了解高中數(shù)學(xué)實驗室、了解圖形計算器等實驗室技術(shù)的使用，不僅可以拓展自己的視野，還可以為未來更好地應(yīng)用高中數(shù)學(xué)實驗室技術(shù)進行教學(xué)做好準(zhǔn)備。

［1］曹一鳴.數(shù)學(xué)教育研究與發(fā)展趨勢：第12屆國際數(shù)學(xué)教育大會的啟示［J］.數(shù)學(xué)通報，2012（11）：25-27，37.

［2］張景中，彭翕成.三款數(shù)學(xué)教育軟件的比較與設(shè)計思想分析［J］.中國電化教育，2010（1）：107-113.

［3］Graham A T. Building a versatile understanding of algebraic variables with agraphic calculator［J］.Educational Studies in Mathematics，2000，41：265-282.

［4］Ghosh J. Exploring Concepts in Probability: Using Graphics Calculators［J］.AMT，2004，60（3）：25-31.

G633.6

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1671-489X（2016）03-0152-02

作者：蔣培杰，桂林中學(xué)，桂林市優(yōu)秀數(shù)學(xué)教師，研究方向為數(shù)學(xué)教育（541001）；曹軒，宜昌市夷陵中學(xué)，研究方向為代數(shù)（443005）。