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賞析2015高考湖北卷理科第14題

湖北省陽(yáng)新縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)(435200)趙前禮湖北省陽(yáng)新縣高級(jí)中學(xué)(435200)鄒生書

圖1

題目如圖1，圓C與x軸相切于點(diǎn)T(1,0)，與y軸正半軸交于兩點(diǎn)A,B(B在A的上方)，且|AB|=2.

(Ⅰ)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；

一、賞析題目

這是2015年高考湖北卷理科第14題，本題設(shè)置新穎，一題兩空，梯度明顯，第一空求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程，較為容易；第二空是多選填空，判斷三個(gè)等式是否成立，本問是命題人在客觀題中設(shè)置的重要關(guān)卡，難度較大.本題知識(shí)立意、思想立意、能力立意，以雙圓為載體，有深厚的數(shù)學(xué)文化背景，是一道值得品味和欣賞的優(yōu)質(zhì)試題,是湖北省2015年高考的一大亮點(diǎn).

二、賞析解法

參考答案給出的解法如下：

點(diǎn)評(píng):對(duì)于第(Ⅱ)問參考答案給出的解法是特殊化方法，當(dāng)直線MN的方程為x=0時(shí)，即M,N在y軸上時(shí)，①②③正確，但這并不能保證對(duì)任意的直線MN，①②③也都正確？難道本題隱藏著一個(gè)普遍的性質(zhì)？

下面筆者給出(Ⅱ)一個(gè)直接而嚴(yán)謹(jǐn)?shù)慕夥?

三、賞析背景

反思原因本考題的圓O為什么會(huì)有如此美妙的性質(zhì)，性質(zhì)背后隱藏什么條件，問題的幕后推手是誰(shuí)，弄清楚了這些問題也就基本上了解了題目是怎么命制的了.

另一方面，從解析幾何的角度考察.我們知道，如果平面內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)M與兩個(gè)定點(diǎn)A,B的距離之比λ是一個(gè)不為1的常數(shù)，那么這個(gè)動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是一個(gè)圓，這個(gè)圓叫做阿波羅尼斯圓.在線段AB上或AB延長(zhǎng)線上滿足條件的點(diǎn)I,J分別是線段AB的內(nèi)分點(diǎn)和外分點(diǎn)，線段IJ就是這個(gè)圓的直徑.

段AB的內(nèi)分點(diǎn)和外分點(diǎn)，線段IJ就是這個(gè)圓的直徑.

據(jù)此，參考答案的特殊化方法也就不足為怪了.

那么題設(shè)中圓C與圓O是什么關(guān)系，它起什么作用呢？

由此可見，考題中點(diǎn)T的坐標(biāo)為(1,0)，圓O的半徑為1，這些數(shù)據(jù)都是命題人精心設(shè)計(jì)的，這里OT=r是本考題最有力的幕后推手.命題者把重要機(jī)關(guān)“OT=r”這樣神不知鬼不覺地設(shè)在圓C上，充分體現(xiàn)了命題人深入淺出隱而不露的命題智慧和命題風(fēng)格.這里圓O就象是木偶戲的臺(tái)前主角，圓C是身藏機(jī)關(guān)在幕后的操縱者和推手，圓C起到了推波助瀾的作用，圓C的出現(xiàn)使問題變得更加隱蔽和撲朔迷離.

問題的一般性結(jié)論：

圖2

就題論題、就題論法和以題論道是解題的三種不同境界，其中以題論道是解題的最高境界.研究一道優(yōu)質(zhì)的高考題，不僅要研究它的解法，還要研究它的數(shù)學(xué)背景和數(shù)學(xué)文化；不僅要研究特殊情形，還要研究一般情形，類比和推廣；不僅要研究一般性質(zhì)，還要研究產(chǎn)生這一性質(zhì)的原因；不僅研究怎樣解題，還要研究命題人是怎樣命制試題的.從研究中學(xué)習(xí)解題，從研究中學(xué)會(huì)欣賞.欣賞題目的設(shè)置形式，欣賞題目的多種解法，欣賞題目的數(shù)學(xué)背景和數(shù)學(xué)文化，欣賞命題人深入淺出的命題智慧和隱而不露的命題風(fēng)格，從而提高解題能力、欣賞能力和欣賞水平.