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一道質(zhì)檢試題命題思路的剖析

福建省泉州第七中學(362000)吳寶樹

函數(shù)與導數(shù)試題經(jīng)常作為數(shù)學試卷的壓軸題，學生對此類試題往往有畏懼的心理，得分率很低．這一類試題設(shè)計巧妙，新穎獨特，思維量大，考察學生思維的抽象性、邏輯性，對學生的理解能力和自學能力都提出了很高的要求．實際上這一類試題很多來源于課本，學生如果能夠洞悉試題的來源與構(gòu)造過程，將會對問題的解決起到很大的幫助．本文以一道泉州市質(zhì)檢試題為例，剖析該試題的來源和命制思路，并將該試題拓展開來，分析這一類試題的解題思路，希望能對學生解決此類問題有一定的幫助．

1.試題再現(xiàn)

已知函數(shù)f(x)=lnx-ax在點A(1,f(1))處切線為l．

(Ⅰ)當切線l的斜率為2時，求實數(shù)a的值；

(Ⅱ)證明：無論a取何值，函數(shù)f(x)的圖像恒在直線l的下方(點A除外)；

(Ⅲ)設(shè)點Q(x0,f(x0))，當x0>1時，直線QA的斜率恒小于2，試求實數(shù)a的取值范圍．

2.命題思路追蹤

2.1課本尋源

本題難度適中，但這道試題的實測情況非常不理想．高三的學生在總復習過程中往往容易陷入題海戰(zhàn)術(shù)，盲目大量的訓練，而忽視了對教材的使用和學習．如果我們能夠透過復雜的表面問題，看到命題者的命題意圖，洞悉命題思路的變化，回歸課本，就能化繁為簡．本題中關(guān)鍵的一步是利用lnx≤x-1進行放縮，從而得到參數(shù)a的取值范圍．而這一關(guān)鍵步驟其實來源于教材中的一道習題．

普通高中課程標準試驗教科書數(shù)學選修2-2人教A版第32頁習題1.3B組第一題：利用函數(shù)單調(diào)性，證明下列不等式，并通過函數(shù)圖像直觀驗證：第(3)小題ex>x+1，x≠0．

2.2習題變式

由ex>x+1，x≠0兩邊同取對數(shù)得ln(x+1)

問題1已知函數(shù)f(x)=lnx+x，求f(x)在(1,0)處的切線方程．

問題2求函數(shù)f(x)=lnx-(x+1)的最大值．

2.3引入?yún)?shù)

含參問題涉及知識廣泛，綜合性強，方法靈活．將題目變式為含參問題后，無疑增加了題目的難度，學生對含參問題的掌握情況能夠很好地反映出學生的數(shù)學學習水平．

問題3已知函數(shù)f(x)=lnx+ax在(1,0)處的切線方程為y=2x-1，求參數(shù)a的值．

問題4已知函數(shù)f(x)=blnx+ax在(1,0)處的切線方程為y=2x-1，求參數(shù)a，b的值．

2.4數(shù)形結(jié)合

數(shù)形結(jié)合將“數(shù)”與“形”結(jié)合起來，使數(shù)學問題由易到難，化繁為簡，使數(shù)學問題更加直觀，給學生的解題增加了挑戰(zhàn)．基于此，可以利用函數(shù)圖像與其切線的位置關(guān)系，編擬如下兩個試題．

問題5證明函數(shù)f(x)=lnx+x的圖像恒在其切線y=2x-1的圖像下方．

問題6已知函數(shù)f(x)=lnx+ax在(1,f(1))處切線為l，且函數(shù)f(x)=lnx+ax的圖像恒在其切線l的圖像的下方(切點除外)，求實數(shù)a的取值范圍．

2.5引入動點

將切點位置固定，另一個點在曲線上運動起來，整個題目充滿活力，也增加了解題的難度．

問題7已知函數(shù)f(x)=lnx+x，點P(1,f(1))，Q(x0,f(x0))(x0>1)，證明：割線PQ的斜率恒小于2．

問題8已知函數(shù)f(x)=lnx+ax，點P(1,f(1))，Q(x0,f(x0))(x0>1)，若割線PQ的斜率恒小于2，求參數(shù)a的取值范圍．

3.成題拓展

以上八個小問題從不同的角度對課后例題進行了變式拓展，組合在一起就是本文開始的引例了．每個問題步步推進，一步一步的靠近命題者的思路．學生如能掌握這一命題思路，無疑將對問題的解決起到很大的幫助．

我們可以在此基礎(chǔ)上對本題進行變式拓展．由于指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，其圖像關(guān)于直線y=x對稱，因此我們可以將以上變式步驟應(yīng)用于指數(shù)函數(shù)，得到如下題目：

已知函數(shù)f(x)=ex+ax在點P(0,f(0))處切線為l．

(Ⅰ)當切線l的斜率為2時，求實數(shù)a的值；

(Ⅱ)證明：無論a取何值，函數(shù)f(x)的圖像恒在直線l的上方(點O除外)；

(Ⅲ)設(shè)點Q(x0,f(x0))，當x0>0時，直線PQ的斜率恒大于2，試求實數(shù)a的取值范圍．

4.點擊高考

高考試題中也有大量是以此思路為背景命制的，在此以湖北和遼寧高考題為例，加深學生對該類試題的理解．

例1(湖北高考題)(Ⅰ)已知函數(shù)f(x)=lnx-x+1,x∈(0,+∞)，求函數(shù)f(x)的最大值；

(Ⅰ)求a，b的值；

解析：(Ⅰ)易得a=0，b=-1；