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數(shù)形結(jié)合未必是一劑良藥
——記一道例題數(shù)學(xué)片斷及反思

◇江蘇陳水青

數(shù)形結(jié)合思想是高中數(shù)學(xué)中一種重要數(shù)學(xué)思想,就是把數(shù)學(xué)中“數(shù)”和“形”結(jié)合起來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種數(shù)學(xué)思想．?dāng)?shù)形結(jié)合具體地說(shuō)就是將抽象數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀圖形結(jié)合起來(lái),使抽象思維與形象思維結(jié)合起來(lái),通過(guò)“數(shù)”與“形”之間的對(duì)應(yīng)和轉(zhuǎn)換來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題．在應(yīng)用其解題中,主要有3種類型:以“數(shù)”化“形”、以“形”變“數(shù)”和“數(shù)”“形”結(jié)合．

1解答

f(x1)-f(x2)>2(x1-x2),

f(x1)-2x1>f(x2)-2x2.

令g(x)=f(x)-2x,則g(x)在R上單調(diào)遞增,所以g′(x)= 3x2+a-2≥0恒成立,所以a≥2.

解法3用到了構(gòu)造函數(shù)的思想,把不等式作了一個(gè)等價(jià)變形,構(gòu)造出g(x)=f(x)-2x,發(fā)現(xiàn)該函數(shù)單調(diào)遞增,所以g′(x)≥0恒成立，利用導(dǎo)數(shù)解得a≥2．

2探究

為什么解法1是錯(cuò)誤的?

圖1

對(duì)于連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)圖象上任意一條割線,必定存在1條與之平行的切線嗎(如圖1)?

答案是肯定的,實(shí)際上就是拉格朗日中值定理(中學(xué)階段不要求掌握)．

圖2

反之,對(duì)于函數(shù)圖象的任意一條切線,必定存在1條與之平行的割線嗎?

答案是否定的．

例如,函數(shù)f(x)=x3+2x(如圖2).其圖象上有1條切線y=2x,但是圖象上任取2點(diǎn)A(x1,y1)、B(x2,y2),過(guò)這2點(diǎn)的直線的斜率

不存在與切線y=2x平行的割線．

因此,割線的斜率k>2與導(dǎo)數(shù)f′(x)>2之間不是等價(jià)關(guān)系．對(duì)于函數(shù)圖象的任意一條切線,不一定存在與之平行的割線,例如切線y=2x;平行的切線、割線不一定一一對(duì)應(yīng),不能用導(dǎo)數(shù)代替割線斜率．通過(guò)對(duì)比以上3種解法,解法3更具有一般性,對(duì)大部分函數(shù)適用．

3反思

2) 教學(xué)過(guò)程中要注重通性通法、一題多解、多題一解、舉一反三、反三歸一訓(xùn)練,努力培養(yǎng)學(xué)生的“6種能力、1個(gè)意識(shí)”,即運(yùn)算求解能力、數(shù)據(jù)處理能力、空間想象能力、抽象概括能力、推理論證能力、實(shí)踐能力和創(chuàng)新意識(shí)．現(xiàn)在高考比較重視的就是這種具有普遍意義的方法和相關(guān)的知識(shí).教師在教學(xué)過(guò)程中千萬(wàn)不要為了展示自己而刻意追求一些解題的特殊技巧,在教學(xué)中不能把它當(dāng)作重點(diǎn),否則會(huì)誤導(dǎo)學(xué)生.數(shù)學(xué)屬于思考型的學(xué)科,在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和解題過(guò)程中理性思維起主導(dǎo)作用,教學(xué)過(guò)程中要更多地注重“一題多變”(類比、拓展、延伸)、“一題多用”(即用同一個(gè)問(wèn)題做不同的事情)和“多題歸一”(所謂“一”就是具有普遍意義和廣泛遷移性的、“含金量”較高的那些策略性知識(shí)),更多地注重思考題目的“核心”是什么,從題目中“提煉”反映數(shù)學(xué)本質(zhì)的東西.掌握好數(shù)學(xué)模式題的通用方法.

4舉一反三

即

a>4x-x2=4-(x-2)2.

因?yàn)?-(x-2)2≤4,當(dāng)且僅當(dāng)x=2時(shí),取“=”,所以a>4,所以a的取值范圍是(4,+∞).

f(x1)-f(x2)>4(x1-x2),

f(x1)-4x1>f(x2)-4x2.

(作者單位：江蘇省姜堰二中)