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新課標(biāo)下向量學(xué)習(xí)的問(wèn)題分析及數(shù)學(xué)建議

◇甘肅楊海年

向量是數(shù)學(xué)中最基本、最重要的概念,主要用于解決證明線線、線面垂直及計(jì)算線線角等問(wèn)題,利于學(xué)生理解,也有助于學(xué)生自己想象,為解題帶來(lái)很大的方便．

1向量學(xué)習(xí)中存在的問(wèn)題

向量具有代數(shù)形式與幾何形式2種身份,這也就決定了向量能夠幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)運(yùn)算的意義,提高邏輯思維能力,進(jìn)而建立學(xué)生的數(shù)學(xué)思維．但是在實(shí)際教學(xué)中,很大一部分學(xué)生覺(jué)得向量很抽象,因此在學(xué)習(xí)向量過(guò)程中存在許多的問(wèn)題．

1.1很少向?qū)W生介紹向量的歷史

很多教師雖然對(duì)向量發(fā)展的歷史比較了解,但是在教學(xué)中,由于受到很多原因的影響,教師鮮有提及向量發(fā)展的歷史,使得學(xué)生對(duì)于向量這一知識(shí)點(diǎn)所代表的數(shù)學(xué)文化不了解,因此不能深入地理解向量的含義．

1.2不重視向量基礎(chǔ)概念的講解

很多教師覺(jué)得向量這一章知識(shí)很簡(jiǎn)單,對(duì)于課本中出現(xiàn)的一些基礎(chǔ)概念只是一帶而過(guò)，甚至叫學(xué)生自己讀一遍．這種不注重理解概念深層含義的做法，最終導(dǎo)致了學(xué)生只是機(jī)械地背概念、記公式、練習(xí)題．如果學(xué)生對(duì)概念不理解,就不能靈活地運(yùn)用這些概念,最后解題的質(zhì)量也大打折扣．

1.3對(duì)向量的研究性課題關(guān)注不夠

在新課標(biāo)的課本中有很多的研究性課題,但是大部分教師由于課時(shí)或者自身科研水平限制,很少會(huì)帶領(lǐng)學(xué)生學(xué)習(xí)研究這些課題,學(xué)生不能形成科研意識(shí),也不能親身體驗(yàn)研究的樂(lè)趣,這將是他們學(xué)習(xí)過(guò)程中很大的遺憾．

2對(duì)向量的教學(xué)建議

2.1注重向量的文化價(jià)值教學(xué)

數(shù)學(xué)有漫長(zhǎng)的歷史,當(dāng)然也有豐富的文化底蘊(yùn),教師在平時(shí)的教學(xué)中應(yīng)該向?qū)W生灌輸向量的文化價(jià)值,讓學(xué)生對(duì)向量的產(chǎn)生、發(fā)展、研究與應(yīng)用有很深刻的了解,這樣才能激發(fā)學(xué)生濃厚的學(xué)習(xí)興趣．

2.2注重基礎(chǔ)教學(xué)

新課標(biāo)一直要求重視“雙基”教學(xué),試想一個(gè)人還不會(huì)走，怎么讓他跑呢?學(xué)生還沒(méi)有理解基礎(chǔ)概念,怎么能夠靈活應(yīng)用其解題呢?因此教學(xué)中要立足教材,認(rèn)真閱讀教材中出現(xiàn)的基礎(chǔ)概念,提高學(xué)生將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題的能力．

2.3注重向量運(yùn)用,形成數(shù)學(xué)思維

向量是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ),是數(shù)與形有效轉(zhuǎn)化的工具.因此教學(xué)中教師應(yīng)深入挖掘公式、定理以及習(xí)題中向量運(yùn)用問(wèn)題,讓學(xué)生逐漸形成向量意識(shí),領(lǐng)悟向量作為解題工具所具有的特殊價(jià)值．同時(shí)注意數(shù)形結(jié)合、化歸轉(zhuǎn)化與分類討論等數(shù)學(xué)思維的灌輸．

1) 向量與代數(shù)式之間的轉(zhuǎn)化．

這樣一道代數(shù)題目,如果用傳統(tǒng)的方法來(lái)解很復(fù)雜,若轉(zhuǎn)化為向量的問(wèn)題,建立合適的坐標(biāo)系,問(wèn)題就會(huì)變得簡(jiǎn)單.

這道題中一共有6個(gè)變量,但是卻只給了3個(gè)方程式,肯定是解不出來(lái)的,如果利用向量積來(lái)解題,很容易能出結(jié)果.

所以 cos〈a,b〉=1,即向量a、b共線且同方向.

2) 向量與三角函數(shù)之間的轉(zhuǎn)化．

在學(xué)習(xí)三角函數(shù)時(shí),需要理解并且記憶很多的概念以及公式,但是很多時(shí)候并不能熟練地運(yùn)用這些公式,導(dǎo)致了三角函數(shù)題的失分率很高.用向量同樣能解決此類問(wèn)題．

本題既可以用三角函數(shù)來(lái)解決,也可以設(shè)2個(gè)向量來(lái)巧妙地解決．

解法2可設(shè) a=(7,24),b=(sinα,cosα),則已知可轉(zhuǎn)化為a·b=7sinα+24cosα=25.又因?yàn)?/p>

a·b=|a||b|cos〈a,b〉=25, |a|=25, |b|=1,

觀察上面2種解法：解法1是傳統(tǒng)方法,很容易想到,但計(jì)算復(fù)雜,容易出錯(cuò). 解法2需要對(duì)向量的概念深層次把握,要學(xué)會(huì)將向量作為一種工具來(lái)使用,這對(duì)解題人的數(shù)學(xué)思維有很大的考驗(yàn)．

由此可見(jiàn),向量作為一種工具性解決手段真的很重要,也需要花很多精力來(lái)鍛煉數(shù)學(xué)思維．

3) 向量與幾何的轉(zhuǎn)化．

幾何的題目中有平面幾何、解析幾何以及立體幾何,這3種幾何都可以用向量的方法來(lái)解題．

圖1

必要性： 如圖1,若點(diǎn)O是△ABC的外心,則點(diǎn)O在線段AB的垂直平分線上,則

因?yàn)橄蛄恳簿哂袔缀蔚男再|(zhì),所以在求解解析幾何問(wèn)題時(shí)，很多情況下都能用到向量.比如在平面幾何中用于三角形的“四心”證明.解析幾何把代數(shù)與幾何結(jié)合起來(lái),這樣就需要向量這個(gè)具有橋梁作用的工具用來(lái)解決一些二者結(jié)合的題目,比如某點(diǎn)的軌跡方程.除此以處，立體幾何是向量運(yùn)用最多的題目,因?yàn)橄蛄磕軌蚪鉀Q立體幾何中的點(diǎn)、線、面問(wèn)題,所以向量的重要性可想而知．

在向量的教學(xué)中,教師要轉(zhuǎn)化思維,帶領(lǐng)學(xué)生積極參與,學(xué)生要發(fā)揮學(xué)習(xí)的主觀能動(dòng)性,形成數(shù)學(xué)能力與數(shù)學(xué)思維．總之,兼具應(yīng)用價(jià)值與工具性價(jià)值的向量值得研究．

(作者單位：甘肅省民樂(lè)縣第一中學(xué))