☉浙江省象山縣教育局教科研中心　鄔云德

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基于“課標(biāo)要求”的“一元二次方程”課例及分析

☉浙江省象山縣教育局教科研中心鄔云德

一、背景介紹

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中課程內(nèi)容的教學(xué)要求（以下簡(jiǎn)稱“課標(biāo)要求”）是課堂教學(xué)活動(dòng)的指南，是教學(xué)評(píng)價(jià)的尺度和標(biāo)準(zhǔn).但在以浙教版義務(wù)教育教科書數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)第二章第1節(jié)“一元二次方程”為載體的“多人同課異構(gòu)”式的教研活動(dòng)中發(fā)現(xiàn)，課堂教學(xué)普遍與“課標(biāo)要求”存在較大偏差.網(wǎng)上查閱同類課例發(fā)現(xiàn)也有類似的現(xiàn)象.鑒于此，筆者在重復(fù)式觀課與反思基礎(chǔ)上，將形成的教學(xué)方案進(jìn)行實(shí)踐，課后得到了同仁的認(rèn)可.現(xiàn)將其整理出來(lái)，以饗讀者.

二、教學(xué)實(shí)錄

環(huán)節(jié)1：經(jīng)歷再認(rèn)列方程的過程——明確研究的問題

師：我們知道，現(xiàn)實(shí)生活中有許多數(shù)量相等關(guān)系問題可以轉(zhuǎn)化為一元一次方程、二元一次方程（組）問題.這些方程（組）夠用了嗎？請(qǐng)大家根據(jù)下列問題中的條件列出方程.

（1）象山新橋特產(chǎn)“白枇杷”進(jìn)入了豐收期.據(jù)調(diào)查2012年收購(gòu)價(jià)是4元/斤，2014年收購(gòu)價(jià)是5元/斤.若設(shè)單價(jià)平均每年上升的百分率為x，則x應(yīng)滿足怎樣的方程？

（2）長(zhǎng)5m的梯子斜靠在墻上，梯子的底端與墻的距離是3m.若梯子底端向右滑動(dòng)的距離與梯子頂端向下滑動(dòng)的距離都等于S，則S應(yīng)滿足怎樣的方程？

（3）某種包裝盒的表面展開圖如圖1（單位：cm）所示.若包裝盒的容積為750cm3，則圖中x應(yīng)滿足怎樣的方程？

圖1

（約4分鐘后）

師：誰(shuí)來(lái)回答（1）？

生1：4（1+x）2=5，即4x2+8x-1=0.

師：不錯(cuò).誰(shuí)來(lái)回答（2）？

生2：（3+S）2+（4-S）2=25，即S2-S=0.

師：不錯(cuò).誰(shuí)來(lái)回答（3）？

生3：15×（15-x）x=750，即x2-15x+50=0.

師：不錯(cuò).列上述方程的思維過程是什么？

生4：審題→分析→列方程.

師：好的.列方程的關(guān)鍵是什么？

生5：列方程的關(guān)鍵是分析出問題中數(shù)量的相等關(guān)系.

師：好的.上述所列的方程是不是一元一次方程？是不是二元一次方程（組）？

生6：它們既不是一元一次方程，也不是二元一次方程（組）.

師：好的.這說(shuō)明從生活問題中還可以抽象出新形式的方程.

師：正因?yàn)樵S多實(shí)際問題可以轉(zhuǎn)化為這類方程，所以就有研究這類方程的必要.這類方程有何特征？怎樣求解？有何用處？本章就來(lái)探討這些問題.（揭示課題）

環(huán)節(jié)2：參與定義一元二次方程的活動(dòng)——形成一元二次方程的概念

師：方程“4x2+8x-1=0”與一元一次方程“4x+8x-1= 0”有何差異？

生7：一元一次方程未知數(shù)的最高次數(shù)是1，而這個(gè)方程未知數(shù)的最高次數(shù)是2.

師：不錯(cuò).方程“4x2+8x-1=0”與二元一次方程“4x+ 8y-1=0”有何差異？

生8：二元一次方程有兩個(gè)未知數(shù)，而這個(gè)方程只有一個(gè)未知數(shù).

師：不錯(cuò).上述所列方程有何共同特征？

生9：它們都含有一個(gè)未知數(shù).

師：對(duì)！你是從未知數(shù)的個(gè)數(shù)角度來(lái)歸納的.

生10：它們未知數(shù)的最高次數(shù)都是2.

師：對(duì)！你是從未知數(shù)的次數(shù)角度來(lái)歸納的.

生11：它們左右兩邊都是整式.

師：不錯(cuò)！你是從代數(shù)式的類型角度來(lái)歸納的.

生12：它們整理后可以寫成ax2+bx+c=0（a、b、c是已知數(shù)，且a≠0）的形式.

師：你也運(yùn)用了歸納思想，并有較強(qiáng)的符號(hào)表示意識(shí).

師：大家從不同角度發(fā)現(xiàn)了這類方程的許多特征，但其本質(zhì)特征是“一元”（一個(gè)未知數(shù)）、“二次”（未知數(shù)的最高次數(shù)是2）、“整式”.

師：一般地，等式兩邊都是整式，只含有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的方程叫做一元二次方程.能使一元二次方程兩邊相等的未知數(shù)的值叫一元二次方程的解（或根）.由于任何一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程都可以化為ax2+bx+c=0的形式，所以我們把a(bǔ)x2+bx+c=0（a、b、c是已知數(shù)，a≠0）稱為一元二次方程的一般形式，其中ax2、bx、c分別稱為二次項(xiàng)、一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)，a、b分別稱為二次項(xiàng)系數(shù)和一次項(xiàng)系數(shù).

師：在ax2+bx+c=0（a、b、c是已知數(shù)，a≠0）中，為什么要規(guī)定a≠0？為什么不規(guī)定b和c也必須不為0？

生13：若a=0，則它不是一元二次方程.當(dāng)a≠0時(shí)，若b=0或c=0，它仍是一元二次方程.

師：好的.獲得一元二次方程的概念經(jīng)歷了哪幾個(gè)步驟？

生14：根據(jù)條件列出方程→觀察所列方程的特征→歸納所列方程的共同特征→抽象一元二次方程的本質(zhì)特征→用文字定義一元二次方程→用符號(hào)表示一元二次方程.

師：好的.這個(gè)獲得概念的思維活動(dòng)過程以后會(huì)經(jīng)常用到.

環(huán)節(jié)3：參與鞏固概念的活動(dòng)——合作解答有代表性的問題

師：現(xiàn)在請(qǐng)大家合作解答下列問題.

（1）下列方程哪些是一元二次方程？

①10x2=9；②2（x-1）=3x；③2x2-3x-1=0；④-2=0；⑤2xy-7=0；⑥9x2=5-4x；⑦4x2=5x；⑧3y2+4=5y.

（2）表1中的空格處應(yīng)填什么？

表1

（3）若關(guān)于x的一元二次方程2x2+bx+c=0的兩個(gè)根為x1=和x2=-3，則b和c的值分別是什么？

（約5分鐘后）

師：誰(shuí)來(lái)回答（1）？

生15：①、③、⑥、⑦、⑧是一元二次方程.

師（追問）：判斷的依據(jù)是什么？

生15：一元二次方程的定義.

師：好的.誰(shuí)來(lái)回答（2）？

生16：

表2

師（追問）：求二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)需要經(jīng)歷哪幾個(gè)步驟？

生16：先把一元二次方程化成一般形式，再求二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng).

師：好的.由（2x-3）2=（x+1）2，得3x2-14x+8=0的依據(jù)是什么？

生17：依據(jù)是多項(xiàng)式乘法法則和等式的性質(zhì).

師：好的.誰(shuí)來(lái)回答（3）？

師（追問）：解題的依據(jù)是什么？

生18：解題的依據(jù)是一元二次方程根的定義.

師：好的.解題之后思考解題的依據(jù)是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的良好習(xí)慣.

（接下來(lái)，教師要求學(xué)生完成課本中的練習(xí)題.待學(xué)生完成任務(wù)后組織學(xué)生進(jìn)行交互反饋與評(píng)價(jià)）

環(huán)節(jié)4：參與回顧與思考的活動(dòng)——合作進(jìn)行反思與總結(jié)

首先，教師出示下列“問題清單”，并要求學(xué)生圍繞“問題清單”進(jìn)行回顧與思考.

（1）本節(jié)課研究了哪些內(nèi)容？我們是怎樣研究的？

（2）獲得一元二次方程的概念經(jīng)歷了哪幾個(gè)步驟？

（3）求二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)有何經(jīng)驗(yàn)？

（4）你對(duì)一元二次方程有何感觸？你認(rèn)為還應(yīng)該研究什么？

其次，教師組織學(xué)生合作交流，同時(shí)教師邊傾聽、邊評(píng)價(jià).

第三，在此基礎(chǔ)上教師讓學(xué)生欣賞一元二次方程的自述.

Hi！我是一元二次方程.我可以看成是從實(shí)際問題中抽象而來(lái)的，也可以看成是從方程概念中演繹出來(lái)的.我的本質(zhì)特征是“一元”“二次”“整式”，我的一般形式是ax2+bx+c=0（a、b、c是已知數(shù)，a≠0），以后你會(huì)知道化我為這種形式有許多好處，所以你要掌握求我的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)的方法.由于我與一元一次方程有許多相似之處，所以研究我的內(nèi)容和研究我的方法可以與一元一次方程的研究?jī)?nèi)容與研究方法類比.之所以人們喜歡我，是因?yàn)槲沂强坍嫭F(xiàn)實(shí)世界數(shù)量相等關(guān)系的重要數(shù)學(xué)模型.告訴你：求我的解有許多方法，你在認(rèn)識(shí)我和用我解決實(shí)際問題的過程中，能感受到許多蘊(yùn)含其中的數(shù)學(xué)思想和積淀許多蘊(yùn)含其中的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，還能發(fā)展你的智力、能力和個(gè)性.

三、教學(xué)分析

“一元二次方程”的“課標(biāo)要求”是“能根據(jù)具體問題中的數(shù)量關(guān)系列出方程，體會(huì)方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的有效模型，了解一元二次方程的一般形式，會(huì)求二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)”.浙教版教材對(duì)一元二次方程的概念處于歸納層次.但目前許多教師對(duì)這節(jié)課的理解與實(shí)踐方式與“課標(biāo)要求”和教材意圖存在偏差：在“列一元二次方程”的教學(xué)中，有些教師采用“舉一反三”（從單一的情景中通過變式抽象出多個(gè)一元二次方程）的方式；有些教師提供的情境性問題不具有代表性；有些教師采用直接給出一元二次方程的方式.這些教學(xué)行為都與“能根據(jù)具體問題中的數(shù)量關(guān)系列出方程，體會(huì)方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的有效模型”的要求存在偏差.在“定義一元二次方程”的教學(xué)中，大多數(shù)教師沒有引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷“觀察→歸納→抽象→定義→表示”的完整認(rèn)知過程，導(dǎo)致有悖于處于歸納層次的概念教學(xué)的基本規(guī)范.在“鞏固概念”的教學(xué)中，有些教師引進(jìn)了需要分類討論的含有字母系數(shù)的方程，明顯偏離了“課標(biāo)要求”.

一元二次方程可以看成是從實(shí)際問題中抽象出來(lái)的，也可以看成是數(shù)學(xué)自身邏輯的產(chǎn)物.但采用從實(shí)際問題中抽象出一元二次方程的方式，有利于感悟方程的本質(zhì)，并且根據(jù)條件列一元二次方程的過程有能力發(fā)展點(diǎn)，其蘊(yùn)含的抽象思想及列方程的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)發(fā)展學(xué)生的智力有積極的影響，也有化解列方程難點(diǎn)之意.因此，用于產(chǎn)生一元二次方程的情景性問題要有代表性，以感悟一元二次方程的應(yīng)用價(jià)值.用一元二次方程的有關(guān)概念解決問題，旨在鞏固概念和發(fā)展智慧技能，也有為用公式法求一元二次方程的根作鋪墊之意，但選用的載體要緊扣“課標(biāo)要求”.本課例根據(jù)“課標(biāo)要求”和教材意圖，將其教學(xué)立意于“再認(rèn)、體驗(yàn)、鋪墊”，并以有代表性的問題為載體，從學(xué)生已有的知識(shí)與經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，運(yùn)用從具體到抽象的思維策略和教師價(jià)值引導(dǎo)與學(xué)生自主建構(gòu)相結(jié)合的適度開放的方式，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷了完整的認(rèn)知過程.在“列一元二次方程”的教學(xué)中，既有根據(jù)條件列方程的過程，以產(chǎn)生定義對(duì)象所需要的學(xué)習(xí)“題材”，又有列方程之后的反思，以再認(rèn)列方程的思維過程，感悟一元二次方程也是刻畫現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的有效模型.在“定義一元二次方程”的教學(xué)中，既有“觀察→歸納→抽象→定義與表示”的過程，以形成一元二次方程的有關(guān)概念，發(fā)展多角度看問題的意識(shí)，又有獲得概念之后的反思，以明確為何要求二次項(xiàng)系數(shù)不能等于0及積淀獲得數(shù)學(xué)概念的思維活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).在“鞏固概念”的教學(xué)中，既有概念辨別，求二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)，以及已知方程的根求字母系數(shù)的過程，以鞏固有關(guān)概念和發(fā)展智慧技能，又有辨別和求解之后的追問，以明確判斷和求解的依據(jù)及感悟其蘊(yùn)含的演繹思想和積淀求二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)的經(jīng)驗(yàn)等.這體現(xiàn)了過程教育和以學(xué)為中心思想，也遵循了處于歸納層次的概念教學(xué)的基本規(guī)范，能實(shí)現(xiàn)“能根據(jù)問題的條件列出方程，能初步感悟一元二次方程也是刻畫現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的重要模型；能說(shuō)出一元二次方程的本質(zhì)特征，能知道二次項(xiàng)系數(shù)為何不能等于0，能知道一元二次方程的一般形式，能說(shuō)出獲得一元二次方程概念的基本步驟；會(huì)求一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)，會(huì)根據(jù)已知方程的根求方程中的字母系數(shù)”的教學(xué)目標(biāo).因此，全面發(fā)揮數(shù)學(xué)概念的育人功能，需要教師研讀“課標(biāo)要求”和領(lǐng)會(huì)教材的意圖.

參考文獻(xiàn)：

1.中華人民共和國(guó)教育部制定.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

2.范良火.義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)（八年級(jí)下冊(cè)）［M］.杭州：浙江教育出版社，2013.