摘 要：分層抽樣是隨機(jī)抽樣的常用抽樣方法之一。在抽樣中常可伴隨獲得輔助變量的樣本信息，這些信息對(duì)提高估計(jì)精度有積極作用。常用的估計(jì)方法有簡(jiǎn)單估計(jì)，比估計(jì)，回歸估計(jì)。本文將在分層抽樣的基礎(chǔ)上，利用比估計(jì)量的構(gòu)造提高分層抽樣的精度。并根據(jù)分層抽樣和估計(jì)構(gòu)造的技術(shù)路線，對(duì)世界五百?gòu)?qiáng)企業(yè)營(yíng)業(yè)收入研究過(guò)程進(jìn)行實(shí)證分析，采用尼曼分配和比例分配分別估計(jì)樣本量，最后采取比估計(jì)的構(gòu)造方法提高樣本精度。

關(guān)鍵詞：分層抽樣 比例分配 尼曼分配 比估計(jì)

一、研究概述

現(xiàn)在社會(huì)上普遍常用的分配方法有比例分配，尼曼分配，最優(yōu)分配三種。比例分配是在總體中的任一個(gè)單位，不管在那一層，都以同樣的概率入樣，估計(jì)量簡(jiǎn)單，也稱為自加權(quán)樣本。尼曼分配是最優(yōu)分配的特例，假設(shè)每層抽樣費(fèi)用相同。最優(yōu)分配是在總費(fèi)用給定的情況下，使估計(jì)量方差達(dá)到最小或者在給定方差下使總費(fèi)用最小。在不考慮費(fèi)用的情況下，采用比例分配和尼曼分配分別確定樣本量，再利用不同的分層方式進(jìn)行簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，抽出樣本y后，先使用簡(jiǎn)單估計(jì)估計(jì)均值及方差，估計(jì)精度較差。一般采用比估計(jì)來(lái)估計(jì)總體均值，提高估計(jì)精度，比估計(jì)是基于基本信息和輔助信息，利用已知的輔助變量信息構(gòu)造比率估計(jì)量可以改進(jìn)估計(jì)精度。比估計(jì)分為聯(lián)合比估計(jì)、分別比估計(jì)，一般情況下總有分別比估計(jì)的精度優(yōu)于聯(lián)合比估計(jì)量。

二、估計(jì)量的性質(zhì)

1、總體均值簡(jiǎn)單估計(jì)量的無(wú)偏性。在以500強(qiáng)營(yíng)業(yè)收入為總體的分層抽樣中，對(duì)總體均值估計(jì)通過(guò)各層的均值，通過(guò)各層層權(quán)加權(quán)平均得到：

Y（_^）st=∑WhY（_^）h=（1/N）∑NhY（_^）h

當(dāng)利用樣本對(duì)總體進(jìn)行估計(jì)時(shí)，總體均值Y的簡(jiǎn)單估計(jì)量為：

y（_^）st=∑why（_^）h=（1/N）∑Nhy（_^）h

證明得到：

E（y（_）st）=E（∑Why（_）h）=∑WhE（y（_）h）=∑WhYh=Y（_）

2、總體均值方差簡(jiǎn)單估計(jì)量的無(wú)偏性

V（y（_）st）= （1/n）∑（Wh2/wh）Sh2-（1/N）∑（Wh2/Wh）Sh2

3、總體均值比率估計(jì)量的近似無(wú)偏性

R（^）=y（_）/x（_）， R（^）=1/n∑yi/xi，

y（_）r=∑Why（_）r=∑Why（_）h/x（_）h*X（_）h=1/N∑y（_）h/x（_）h*Xh

4、總體均值方差比率估計(jì)量的近似無(wú)偏性

V（y（_）R）=（1-f）/n*[∑（Yi-RXi）2]/（N-1）

三、分層抽樣的操作路徑

1、確定分層標(biāo)志

分層是按一定標(biāo)志進(jìn)行，為使各層間的差異盡量大，從理論上講，選擇調(diào)查標(biāo)志本身作分層標(biāo)志時(shí)，分層的效果最好，但這在現(xiàn)實(shí)較難實(shí)現(xiàn)。常常采用調(diào)查標(biāo)志關(guān)系密切的其它標(biāo)志來(lái)分層的方法代替。分層標(biāo)志的確定一般分為單項(xiàng)目分層和多項(xiàng)目分層，二者的復(fù)雜程度不同。本文基于單項(xiàng)目抽樣，一般采用利用調(diào)查標(biāo)志的全面的過(guò)去資料的方法。

2、選取分層方法

選取的分層的方法一般有歷史數(shù)據(jù)法，散點(diǎn)圖法，累積平方根法。在這里采用散點(diǎn)圖與累積平方根法結(jié)合的方式，通過(guò)對(duì)散點(diǎn)圖進(jìn)行觀察，確定大致分層的層數(shù)為N層。之后對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行累計(jì)平方根法的分層。實(shí)驗(yàn)方法是對(duì)不同的數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖的平滑陡峭程度確定數(shù)據(jù)應(yīng)采取等距還是不等距分組，數(shù)據(jù)集中時(shí)采取等距分組，數(shù)據(jù)分散部分采取不等距分組。再通過(guò)累計(jì)平方根法，確定公司數(shù)為頻數(shù)。然后確定累計(jì)頻率及平方根。最后確定每組的分層數(shù)N1，N2，….Ni.將層數(shù)計(jì)算得到Ni/N相應(yīng)的層權(quán)W1，W2，….，Wi.，然后計(jì)算出每層的均值分別是x1，x2，….，xi以及每層的標(biāo)準(zhǔn)差Sh1，Sh2，….，Shi。

3、樣本容量N的確定

在方差給定，歷史資料已知，抽樣費(fèi)用不確定的前提下，我們一般采用比例分配和尼曼分配的方式確定樣本容量。比例分配主要是按照各層單位數(shù)占總體單位數(shù)的比例計(jì)算層權(quán)，尼曼分配主要是假定各層費(fèi)用相等時(shí)，計(jì)算層權(quán)。

（1）比例分配

n=∑WhSh2/（V+∑WhSh2/N）

根據(jù)分層操作后計(jì)算出的層權(quán)，方差，以及要求估計(jì)精度V算出在比例分配下的抽樣樣本量。

wh=Ni/N

根據(jù)計(jì)算出的樣本量n乘以各層的層權(quán)wh算出n1，n2，n3，n4。

（2）尼曼分配

n=（∑WhSh）2/（V+∑WhSh2/N）

根據(jù)已知資料，可以算出在相同的精度下，使用尼曼分配的抽樣得到的樣本量n*

wh*=WhSh/∑WhSh

根據(jù)樣本量n*和層權(quán)wh*算出n*1，n*2，n*3，n*4。

在實(shí)際情況中，如果各層均值差異大，往往采用比例分配。各層標(biāo)準(zhǔn)差相差很大時(shí)，往往采用尼曼分配。

四、估計(jì)量精度的改進(jìn)

確定樣本量和各層應(yīng)抽取的樣本數(shù)后，各層抽樣相互獨(dú)立，利用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方式對(duì)樣本進(jìn)行抽取。在利用樣本對(duì)總體進(jìn)行估計(jì)時(shí)，通常采用的方法是簡(jiǎn)單估計(jì)量法，簡(jiǎn)單估計(jì)量的估計(jì)較為方便簡(jiǎn)單。

E（y（—））=（1/n）*E（∑yi）=（1/n）*（n/N）∑Yi=Y（—）

但簡(jiǎn)單估計(jì)量法通常估計(jì)精度較差。在能夠獲得輔助信息的條件下，通常采用比估計(jì)或者回歸估計(jì)用以改善估計(jì)的精度。比估計(jì)是利用獲得與Y高度相關(guān)的輔助變量X（—）在X的總體均值或者總體總值的已知情況下利用輔助變量構(gòu)造調(diào)查變量的總體均值或總值的比率估計(jì)量。

R（^）=y/x=y（_）/x（_）

Y（_^）=y（_）R=R（^）X（_）=（y/x）*R（^）

Y（^）R=R（^）X=（y/x）*X=Ny（_）R

值得注意的是比估計(jì)量是有偏的，但是偏差不大，當(dāng)樣本無(wú)窮大時(shí)將會(huì)近似無(wú)偏。

在分層抽樣抽樣中分層的比率估計(jì)量分為分別比估計(jì)和聯(lián)合比估計(jì)。分別比估計(jì)的估計(jì)精度優(yōu)于聯(lián)合比估計(jì)。

Y（_^）st=∑WhY（_^）h=∑Why（_）Rh=∑WhR（^）hX（_）h

V（y（_）Rc）=∑Wh2[（1-fh）/nh]*（Syh2-2RSxyh+R2Sxh2）

五、實(shí)證分析

相關(guān)調(diào)查機(jī)構(gòu)為了解2011年在金融危機(jī)3年后，世界500強(qiáng)企業(yè)的一個(gè)營(yíng)運(yùn)情況，對(duì)2011年世界500強(qiáng)企業(yè)進(jìn)行分層隨機(jī)抽樣，組成一個(gè)樣本容量為N的樣本。本例中費(fèi)用尚未給定，因此本例中同時(shí)采用比例分配和假設(shè)每層抽樣費(fèi)用一致的尼曼分配進(jìn)行樣本量的確定，然后進(jìn)行對(duì)比，選取其中精度較優(yōu)的分配確定樣本量。最后采用簡(jiǎn)單估計(jì)和比率估計(jì)兩種方式來(lái)估計(jì)2011年的世界500強(qiáng)企業(yè)的營(yíng)業(yè)收入，選取精度更高的估計(jì)作為最終的估計(jì)結(jié)果。

1、總體分層

利用2010年世界500強(qiáng)營(yíng)業(yè)收入作為一個(gè)歷史數(shù)據(jù)作為先驗(yàn)信息.進(jìn)行觀察確定大致的分層范圍。根據(jù)散點(diǎn)圖的分布形態(tài)確定數(shù)據(jù)特征以及分層點(diǎn)，確認(rèn)分層點(diǎn)后，采取累計(jì)平方根法對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分組分層。由于數(shù)據(jù)存在極端值，將剔除干擾數(shù)據(jù)的三個(gè)極端值后，將世界500強(qiáng)企業(yè)分為四層，包括歷年不存在與500強(qiáng)，今年存在于500強(qiáng)的企業(yè)數(shù)據(jù)。各層的營(yíng)業(yè)收入分別是 19538～29000，29000～47500，47500～91500，91500～308928.（單位：百萬(wàn)美元）

2、樣本量n的計(jì)算

對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分層后，計(jì)算出各層的層權(quán)Wh和方差Sh2。分別利用比例分配和尼曼分配進(jìn)行樣本量的計(jì)算，要求估計(jì)精度在95%的置信區(qū)間下，相對(duì)誤差不超過(guò)10%，按照比例分配計(jì)算得到樣本量n為49，尼曼分配得到的樣本量為20。

3、各層樣本量的nh的計(jì)算

確定樣本量后，本例采取尼曼分配得到的樣本量按照不同的分配形式在進(jìn)行各個(gè)層樣本數(shù)確定。分層后，計(jì)算各層的層權(quán)Wh， 比例分配情況下，將樣本總量N及各層層權(quán)Wh 代入ni=Wh*n，計(jì)算得到每層分配得到的樣本量

n1=7，n2=6，n3=4，n4=3，

尼曼分配情況下ni*=wh* n，計(jì)算得到每層的樣本分配量

n1=2，n2=3，n3=5，n4=10，

4、樣本的抽取

本例中采取簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法抽取各層樣本，對(duì)分層樣本隨機(jī)抽取的樣本進(jìn)行估計(jì)，利用樣本各層均值對(duì)總體各層均值在估計(jì)精度為95%的置信水平，相對(duì)誤差小于10%的采用簡(jiǎn)單估計(jì)結(jié)果.

（1）采用比例分配yst=Whyh=1/N Nhyh=51037.31

（2） 采用尼曼分配yst=Wh*yh=1/N Nhyh=80124.150

由于數(shù)據(jù)中各層的均值差異很大，則此時(shí)采用比例分配的效果較好由于尼曼分配

在簡(jiǎn)單估計(jì)下的方差：

（1）采用比例分配的V（YSt）= 7447220.51

（2）采用尼曼分配的V（YSt）= 167689489.4

根據(jù)2011年世界500強(qiáng)的營(yíng)業(yè)收入的總體數(shù)據(jù)可以計(jì)算得到當(dāng)年世界500強(qiáng)平均營(yíng)業(yè)收入在不踢除三個(gè)異常點(diǎn)情況下為52086，剔除異常值3個(gè)點(diǎn)后得到平均營(yíng)業(yè)收入為50077.16278，在比例分配下估計(jì)值為51037.31與總體值接近。

5、樣本的估計(jì)精度改進(jìn)

得到樣本后，利用2010年世界5001強(qiáng)的營(yíng)業(yè)收入作為輔助變量，利用分層抽樣中的聯(lián)合比估計(jì)R（^）c=yst/xst， y（_）R（^）c=R（^）cX=y（_）st/x（_）st*X（_）

在比例分配下E（YSt）=50938.7

在尼曼分配下E（YSt）=52880

這比簡(jiǎn)單估計(jì)下的平均收入離總體均值更加接近，并且估計(jì)精度方差在

在比例分配下V（YSt）= 7202954.128，

在尼曼分配下V（YSt）=27316800

估計(jì)量的方差比簡(jiǎn)單估計(jì)的方差不管是在比例分配還是在尼曼分配下都有所減少，可以得出結(jié)論在比估計(jì)下精度得到了提高。

六、結(jié)論

分層抽樣中，通常采用比例分配，尼曼分配，最優(yōu)分配三種方法，數(shù)據(jù)的實(shí)際情況和費(fèi)用的要求決定了采用哪種方法，通常不考慮費(fèi)用情況下，在各層均值差異大時(shí)，采用比例分配更優(yōu)，在各層標(biāo)準(zhǔn)差差異很大時(shí)，則尼曼分配更優(yōu)。當(dāng)利用分層抽樣的優(yōu)越性得到樣本后，需要對(duì)總體的參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，比估計(jì)能夠有效地改善簡(jiǎn)單估計(jì)的精度較差問(wèn)題，在大樣本的條件下近似無(wú)偏，但是對(duì)其輔助變量的相關(guān)性有較高要求，通常要求正比例相關(guān)。在實(shí)際情況中，通常能夠獲得歷史資料或者與要研究問(wèn)題高度相關(guān)的輔助量的資料。利用輔助資料進(jìn)行比估計(jì)量對(duì)總體參數(shù)進(jìn)行估計(jì)將極大地提高估計(jì)精度，有效的做出更科學(xué)的估計(jì)。

參考文獻(xiàn)：

[1]李金昌.應(yīng)用抽樣技術(shù)[M].北京科學(xué)出版社.2007

[2]徐慧楓.分層抽樣中樣本容量分配的思考[J].企業(yè)導(dǎo)報(bào). 2011（6）

（作者單位：中國(guó)地質(zhì)大學(xué)（武漢）經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院

湖北武漢市 430074）