摘 要：本文對(duì)選擇公理及其等價(jià)命題做了簡(jiǎn)要的介紹及證明，并且比較詳細(xì)地論述了選擇公理在現(xiàn)實(shí)中的實(shí)際應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：選擇公理 等價(jià)命題

1、引言

選擇公理對(duì)數(shù)學(xué)的推動(dòng)作用是極大的，它是很多數(shù)學(xué)結(jié)論的重要基礎(chǔ)，如果沒(méi)有它，現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展將不是今天的樣子。最早在1904年，策莫羅（E.Zermelo）提出選擇公理。

選擇公理。對(duì)于任何一個(gè)由非空集合所組成的集而言，其必定存在選擇函數(shù)。

選擇公理對(duì)于數(shù)學(xué)領(lǐng)域的貢獻(xiàn)是巨大的，有了選擇公理的推動(dòng)，數(shù)學(xué)才得以發(fā)展得如此之快。

2、選擇公理及部分等價(jià)命題

選擇公理對(duì)于整個(gè)近代數(shù)學(xué)的影響及其深遠(yuǎn)，不計(jì)其數(shù)的數(shù)學(xué)大家都曾致力于研究它，并且對(duì)于他的研究也從來(lái)沒(méi)有間斷過(guò)，接下來(lái)，讓我們?nèi)タ匆幌路浅Ｓ忻倪x擇公理以及它的三個(gè)等價(jià)命題。

（1）AC：對(duì)于任何一個(gè)由非空集合所組成的集F而言，總存在F的選擇函數(shù) 。

（2）枚舉定理：對(duì)于任何集合A，都可找到序數(shù)α，使有 。

（3）良序定理（Zermelo定理）：對(duì)于一個(gè)任何集合而言，它一定可以被編成良序集。

3、選擇公理及部分等價(jià)命題證明

證明：（a）（1） （2） 現(xiàn)在我們?nèi)我饨o定集合A，我們需要找到一個(gè)序數(shù)α與 ： A，使令 A.則需令

P0A =PA-{φ}={х|х Aх≠φ}.

所以，P0A是一個(gè)由非空集合而組成的集，由AC可以知道，P0A存在一個(gè)選擇函數(shù)F，使得 S（S P0A F（S） P0A），而且domF= P0A.現(xiàn)在我們?nèi)稳¨?A，并且令

現(xiàn)在我們?nèi)我饨o定序數(shù)β，使 > ，那么 ：Wβ→A∪{е}是一個(gè)由Wβ到A∪{е}的映射?，F(xiàn)在我們假設(shè)序數(shù)α是那些能夠使得 =φ的序數(shù)中的最小的那一個(gè)，現(xiàn)在把 限制在Wα上，那么ran A.現(xiàn)在只需證明 ： →A是由 到A的一個(gè)雙射。

首先，需有 ： A，否則，如果 不是一個(gè)滿(mǎn)射的話(huà)，那么必有 ，這是與α的本義而相矛盾的.所以 一定是一個(gè)滿(mǎn)射.。

其次，任意選取 ，即 ，不失普遍性而令 .所以有如下結(jié)論：

因而 ，可是由于 這一所假設(shè)的前提而知一定有 ，從而說(shuō)明 ≠ .從而 ： A.所以，我們可以得到 ： A.即 A。

（b）（2） （3） 任意給定一個(gè)集合A，由枚舉定理可以知道一定存在序數(shù)α和映射 ，使得 A，且假設(shè) ，并且使 ，這可以說(shuō)明 是夾在序集（ ，<）與（A，R）之間的一個(gè)保序映射，所以可由 為大小順序關(guān)系<而排成良序集而知A亦為二元關(guān)系R而編為良序集。

（c）（3） （1） 在這里，我們假設(shè)F是一個(gè)由非空集合而組成的集，那么我們可以根據(jù)良序定理知道集合 可以被編為良序集，故可得到 ，現(xiàn)在對(duì)于任何 而言，都可以得到 ，所以 S一定有首元素，設(shè) 是 S 的首元，即 。因?yàn)槿魏?S 作為 的子集而言，其首元是一定是確定的，所以 是一個(gè)函數(shù)，并且顯然可以得到 。故所以 是 F 的選擇函數(shù)。

4、其他等價(jià)命題介紹

上面，我們給出了三個(gè)等價(jià)命題以及它們的等價(jià)證明，除此之外，還有很多等價(jià)命題，其作用以及應(yīng)用性也是相當(dāng)重要的。

（1）極大原理（I）（Zorn引理）：設(shè) 是一個(gè)非空偏序集，假設(shè)P中的每一個(gè)鏈都有上屆，那么P中一定存在極大元。

（2）極大原理（II）（Tukey引理）：設(shè)F為一非空的由集合組成的集合，并且F具有有窮特征，則F必有 關(guān)系的極大元。

（3）Kuratowski引理：設(shè)A是一個(gè)偏序集，那么它的每個(gè)鏈一定包含在某一個(gè)極大鏈中。

（4）Tychonoff定理：設(shè)Xα是緊致的拓?fù)淇臻g，α∈D；那么直積空間 是一個(gè)緊致的拓?fù)淇臻g。

（5）直積定理：令Xα是一個(gè)非空集，α∈D，那么直積 是非空的。

（6）Hessenbreg定理：對(duì)于任何無(wú)限基數(shù)α，都有 。

（7）基數(shù)可比定理：任何兩個(gè)基數(shù)恒可比較其大小。

（8）基數(shù)開(kāi)方定理：對(duì)于任意基數(shù)α，β，如果 ，則 。

（9）對(duì)于每一個(gè)序數(shù)而言，它的冪集恒可實(shí)現(xiàn)良序化。

（10）序集可良序定理：對(duì)于每一個(gè)序集而言，它一定能夠?qū)崿F(xiàn)良序化。

（11）反鏈原理：對(duì)于每一個(gè)偏序集而言，其一定存在極大鏈。

（12）Boole代數(shù)的極大理想定理：對(duì)于Boole代數(shù)B上的每一個(gè)由非0元所組成的集X而言，其一定有一個(gè)與X互不相交的極大理想。

（13）端點(diǎn)定理：對(duì)于一個(gè)實(shí)線(xiàn)性賦范空間而言，它的共軛空間上的單位球一定有一端點(diǎn)。

（14）對(duì)于任意一個(gè)集族而言，它一定包含互不相交的集合，這個(gè)集合構(gòu)成它的極大子族。

5、選擇公理在現(xiàn)實(shí)中的應(yīng)用

選擇公理起初的時(shí)候大多被用于代數(shù)學(xué)領(lǐng)域，并且極大地推動(dòng)了數(shù)學(xué)領(lǐng)域的發(fā)展，后來(lái)，數(shù)學(xué)家寇尼利用選擇公理研究并解決了博弈論以及地圖染色問(wèn)題，波蘭的數(shù)學(xué)天才巴拿赫證明了Hahn-Banach定理。

下面我們來(lái)看一個(gè)比較簡(jiǎn)單的現(xiàn)實(shí)的例子，例如在你的面前擺放了無(wú)限堆的核桃，并且每堆核桃里面也有無(wú)限多個(gè)，那么，我們可以從任意一堆核桃里面選取一個(gè)核桃并且將它擺放在任意其他的一堆中。這個(gè)就是“選擇公理”，這樣看起來(lái)也是很合理的，因?yàn)榧热幻恳欢岩彩怯泻颂业?，?dāng)然可以在每一堆中選擇一個(gè)核桃出來(lái)，不論每堆的核桃數(shù)目的多少，和堆數(shù)的多少，“應(yīng)該”也能做到。

6、結(jié)論與展望

選擇公理在歷史長(zhǎng)河中一直備受數(shù)學(xué)家們的青睞，不同的數(shù)學(xué)家對(duì)選擇公理的看法其實(shí)也存在一定的差異，但是不論如何，其作用與影響是深遠(yuǎn)的，它對(duì)數(shù)學(xué)的推動(dòng)無(wú)疑是非常強(qiáng)大的，相信會(huì)有更多的研究者參與進(jìn)來(lái)，將它推進(jìn)到一個(gè)新的高度。

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（作者單位：首都經(jīng)濟(jì)貿(mào)易大學(xué)信息學(xué)院 北京市 100070）