【摘 要】解析幾何是高考數(shù)算學的重點內容之一，其計甚為繁雜，但當解析幾何題出現(xiàn)在高考的選擇題和填空題當中時，一般都會有一些巧妙的方法能對其進行解答。本文討論了活用圓的性質、活用平行線的性質以及運用設而不求這三種求解高考數(shù)學解析幾何題的巧妙方法套路，舉出實例對其討論予以了說明。

【關鍵詞】高考數(shù)學 解析幾何題 巧解

不少高中學生會被高考數(shù)學中的解析幾何題所難倒，而且由于平常就被解析幾何題的運算量給嚇住，考試中看到解析幾何都不敢下筆，其實解析幾何題有很多巧妙的方法可以對其進行巧解。筆者根據(jù)實際教學中的經(jīng)驗，舉出了幾種可以巧解高考數(shù)學解析幾何題的手段，希望能給廣大相關教育工作者一些啟發(fā)。

一、活用圓的性質巧解有關圓的高考數(shù)學解析幾何題

圓具有很多特殊的性質，而與圓有關的題目常在高考中以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，在面對這些與圓有關的題目時，不能盲目地展開大量的運算，必須先觀察已知條件的特點，合理運用圓的性質進行解答，否則不僅耽擱時間，而且可能根本算不出答案。

典例1：已知AB是圓 上的一條弦，其中點坐標為Q（3，1），AB與z軸交于P點，求 的值。

解析：這道例題若要通過兩點間的距離公式先行計算出 和 的長度再來完成對 值的計算，運算量非常的大，而且極有可能根本求不出結果，只有利用圓的性質才能完成對本題的快速解答。

和 是圓的一條弦被P點分成的兩半，構造出過P點的另一條弦，就能運用相交弦定理對 的值進行求解。

根據(jù)已知條件，可以確定圓心的位置為C（2，0），弦AB的中點為Q（3，1），運用垂徑定理的逆定理可知CQ與AB相互垂直，CQ的斜率為 ，所以AB的斜率為 ，可以確定直線AB的方程為 ，因此可以確定AB與x軸的交點P的坐標為P（4，0），從圓的方程 可以輕松算出圓與x軸的兩個交點坐標為M（-1，0）和N（5，0），以此可以輕松得出 ， ，由相交弦定理可以得知 ，題目中所求 值就可以確定為5。

這樣的題目，如果盲目計算耽擱的考試時間一定非常之多，即使僥幸算出了答案，也得不償失，合理運算圓的性質求解這類題目才是關鍵。

二、活用平行線的性質巧解有關圓錐曲線的高考數(shù)學解析幾何題

在圓錐曲線的相關題目中，挖掘利用題目中圖形上的平行關系，活用平行線的性質來解決問題，通常情況下都使很多繁雜的代數(shù)運算得到有效避免，使題目的運算量大大減少，從而實現(xiàn)對題目的巧解。

典例2：如圖1所示，過橢圓 左焦點F作與x軸夾角為60o的直線與橢圓的交點為A點和B點，且存在關系 ，求橢圓的離心率。

解析：該例題題目中給出了橢圓的焦點弦，故應該采用圓錐曲線的統(tǒng)一定義進行解題，設橢圓的左準線為l，過A點作 ，過B點作 ，則有AM平行于BN，就可以利用平行線的性質進行解題。

A點作 ，過B點作 ，由橢圓的定義可得出 ，因為有 的關系，所以 ，因為AM與BN平行，所以△PAM相似于△PBN，就存在 ， 。因為 ，所以 。在Rt△PBN中，cos60o= = ，所以橢圓的離心率的值為e= = 。

典例2這樣的題目，如果強行進行代數(shù)運算，其過程必然極為繁瑣，而這樣難度的題目不可能出現(xiàn)在高考的計算題里面，一般都會以選擇題和填空題的形式出現(xiàn)，考試中允許學生計算這樣題目的時間一般只有五分鐘，最大也不能超過十分鐘，如果進行代數(shù)計算來解這樣的題目，即使算出答案，也肯定將影響考試的整體成績。

三、運用設而不求的方法巧解有關直線與曲線交點問題

對于一些諸如以已知一條直線與一條曲線交于兩點為背景的考數(shù)學解析幾何題，設出兩點坐標，但不求出具體的值，進行代數(shù)運算，得出重要結論后去解決題中的問題是非常實用的方法，這種方法稱為“設而不求”。

典例3：已知拋物線 的焦點為F，一條直線經(jīng)過點F且與該拋物線交于A、B兩點，點C是該拋物線準線上上的一點，BC與z軸相互平行，求證命題：原點O在直線AC上。

解析：這樣的解析幾何題，明顯幾何的元素比代數(shù)的元素更多，設而不求完成題中所需證明的絕佳手段。

證明：設點A、B的坐標分別為A（x1，y1），B（x2，y2），則C點的坐標就為C（ ，y2），且y12=2px1，直線OA的斜率kOA= = ，直線OC的斜率kOC= ，由于拋物線的焦點F在直線AB上，因而y1y2=-p2，所以kOA=kOC，即A、C、O三點存在共線的關系，所以直線AC經(jīng)過原點O，命題得證。

證明典例3中這樣的命題，設出各個點的坐標，但不把其求出來，可以使運算得到很大程度的簡化，經(jīng)過代數(shù)變換得到y(tǒng)1y2=-p2從而知道A、C、O三點共線是非常關鍵的。但典例3這樣難度的題目仍然是不會出現(xiàn)在高考的計算題當中，會變向的以選擇題和填空題的形式來進行命題，學生必須將這種方法熟練掌握，才能在考試中不為解析幾何的選擇題或填空題而耗費大多時間。

結束語

凡是高考數(shù)學解析幾何出現(xiàn)在了非計算題當中，一般都有比較巧妙的方法可以進行解答。本文對其進行了粗淺的討論，希望能拋磚引玉，待廣大高中數(shù)學教育工作者深入研究后建立更為完善的理論。

參考文獻

[1]李鐵安，宋乃慶.高中解析幾何教學策略——數(shù)學史的視角[J].數(shù)學教育學報，2007，02：90-94.

[2]朱大紅.高中解析幾何的學習障礙分析及對策研究[D].蘇州大學，2015.

[3]莊振林.幾何畫板在高中解析幾何教學中的應用研究[D].內蒙古師范大學，2013.