【摘 要】全等三角形是初中數(shù)學(xué)幾何圖形中重要的一章，在幾何證明題中也經(jīng)常運(yùn)用到構(gòu)造全等三角形來(lái)證明線段相等或者角度相等。全等三角形的判定也是常考的知識(shí)點(diǎn)，它在生活中的運(yùn)用也很廣泛。因此，本文將從全等三角形的構(gòu)造、判定以及在生活中的實(shí)際應(yīng)用進(jìn)行分析。

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；全等三角形；構(gòu)造；判定；實(shí)際應(yīng)用

全等三角形是人教版八年級(jí)上冊(cè)的知識(shí)點(diǎn)，它為學(xué)習(xí)后面的相似三角形和四邊形做好鋪墊。掌握全等三角形是做一系列復(fù)雜的幾何證明題的前提，因?yàn)樵趲缀巫C明中經(jīng)常用到全等三角形證明線段相等和角度相等。如果沒(méi)有掌握好全等三角形，很多幾何證明題會(huì)變得棘手。在現(xiàn)實(shí)生活中，很多問(wèn)題可以用全等三角形來(lái)解決，例如用全等來(lái)測(cè)河面的距離等。

一、全等三角形的構(gòu)造

在初中的幾何證明題中，有時(shí)題目給出的圖形是沒(méi)有現(xiàn)成的全等三角形，需要學(xué)生自己想辦法去構(gòu)造。那么問(wèn)題來(lái)了，如何構(gòu)造全等三角形呢？構(gòu)造全等三角形，從大方向來(lái)說(shuō)主要有2種方法：旋轉(zhuǎn)法和作輔助線法。作輔助線一般都是指中線、角平分線、三角形的高、平行線等等。

1.旋轉(zhuǎn)法構(gòu)造全等三角形

旋轉(zhuǎn)法構(gòu)造全等三角形通常是通過(guò)旋轉(zhuǎn)對(duì)應(yīng)線段或者旋轉(zhuǎn)等腰三角形的頂角來(lái)得到。

旋轉(zhuǎn)等腰三角形的頂角一定角度，得到全等的三角形也是跟旋轉(zhuǎn)三角形對(duì)應(yīng)線段所用的思想是一樣的。

2.作輔助線構(gòu)造全等三角形

三角形的輔助線我們一般用得較多的是中線、角平分線和三角形的高。但是通過(guò)作平行線來(lái)構(gòu)造全等三角形這種方法就比較少用，下面筆者主要分析作平行線來(lái)構(gòu)造全等三角形。因?yàn)橹灰岬骄€段的中點(diǎn)，我們很容易想到把中點(diǎn)和頂角連接起來(lái)；提到角度，也容易想起角平分線；提到直角三角形或者等腰三角形，會(huì)想起三角形的高。唯獨(dú)平行線我們是最容易遺忘的一種輔助線。

如上圖，△ABC中，∠B=∠C，D是AB上的一點(diǎn)，CE=BD，求證：FD=FE。仔細(xì)觀察左圖，并沒(méi)有全等三角形，而證明兩條線段相等的最常用方法為，證明這兩線段所在的三角形全等。過(guò)點(diǎn)D作平行線DG交于BC于點(diǎn)G，這樣在圖形上就出現(xiàn)了一組全等三角形△DGF和△EFC，再利用題目給出的已知條件即可證明這組三角形全等，F(xiàn)D=FE也得以求證。為什么在這里要利用作輔助線平行線而不是其他的線呢？因?yàn)轭}目里面沒(méi)有提到角度也沒(méi)有提到重點(diǎn)，所以只能?chē)L試平行線，而且平行線可以得出角度相等。

總之，發(fā)現(xiàn)題目給出的圖形沒(méi)有全等三角形，但是求證的是角度相等或者線段相等，最簡(jiǎn)單直接的方法就是構(gòu)造出一組全等三角形。

二、全等三角形的判定

課本上提到了5種證明全等三角形的判斷定理：①邊角邊（SAS）②角邊角（ASA）③邊邊邊（SSS）④角角邊（AAS）⑤斜邊和直角邊相等的兩直角三角形（HL）。在這里教師要提醒學(xué)生，在這5組判斷定理中，最后一組必須要在直角三角形中才能使用，另外的4組沒(méi)有限制。其中“邊邊邊”是最容易判斷的，只要證明兩個(gè)三角形的三條邊長(zhǎng)度相等即可得出這兩個(gè)三角形為全等三角形。

三、全等三角形的實(shí)際應(yīng)用

在生活中我們發(fā)現(xiàn)很多東西，由于地理位置或者物體自身形狀所導(dǎo)致部分的長(zhǎng)度尺寸很難用測(cè)量工具去測(cè)出來(lái)。這時(shí)候利用全等三角形的概念，把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問(wèn)題來(lái)解決。

例如：河流寬度的測(cè)試，容器內(nèi)徑的測(cè)試（如下圖）

作圖中，如果按照常規(guī)方法要測(cè)該池塘的長(zhǎng)度，要在水面上測(cè)量，這樣的方法是麻煩和困難的，但通過(guò)全等三角形在平地上建立模型，測(cè)量另外一條和AB相等的邊的長(zhǎng)度是比較容易，我們可以先在平地上找一點(diǎn)，可以直接分別達(dá)到A、B兩點(diǎn)的C，連接AC并延長(zhǎng)到點(diǎn)D，使DC=AC；連接BC并延長(zhǎng)到點(diǎn)E，使BC=CE，再根據(jù)全等三角形的判斷定理邊角邊求證△ACB≌△DCE，則得出DE=AB，直接在平地量出DE的長(zhǎng)度即為AB的長(zhǎng)度。容器的內(nèi)徑檢測(cè)的工具卡鉗，所用的也是全等三角形的定理，圖中相交的實(shí)線即為卡鉗的形狀，是根據(jù)全等三角形的性質(zhì)來(lái)制作的。

由此可見(jiàn)，學(xué)好全等三角形性質(zhì)和定理，不僅是為了應(yīng)付考試，更多的可以運(yùn)用這個(gè)定理來(lái)解決生活中比較棘手的問(wèn)題，化困難為容易。全等三角形這個(gè)概念還會(huì)促進(jìn)一些生產(chǎn)測(cè)量用具的誕生的。數(shù)學(xué)理論和生活聯(lián)系起來(lái)才是最有意義的。

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