黃梅花

南通開放大學(xué)經(jīng)濟管理學(xué)院（南通　226000）

高職院校初等數(shù)學(xué)三角函數(shù)教學(xué)對策探究

黃梅花

南通開放大學(xué)經(jīng)濟管理學(xué)院（南通226000）

高職院校的數(shù)學(xué)教學(xué)與此前的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有諸多重疊，尋找新的視角并進行教學(xué)思路的重構(gòu)，是教學(xué)對策研究的重要思路。三角函數(shù)是初等函數(shù)中的基礎(chǔ)性知識，高職院校的教學(xué)需要，決定了該知識構(gòu)建需要從函數(shù)視角重新認識三角函數(shù)的定義，需要抓住同角三角函數(shù)這一核心，以完成對三角函數(shù)的整體認知的構(gòu)建。此過程中，還需要關(guān)注數(shù)學(xué)與專業(yè)的需要，以在提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的同時提升專業(yè)素養(yǎng)，以充分發(fā)揮數(shù)學(xué)學(xué)科的基礎(chǔ)性作用。

初等數(shù)學(xué)；三角函數(shù)；教學(xué)對策

學(xué)生進入高職院校之后，初等數(shù)學(xué)是基本學(xué)習(xí)內(nèi)容之一，其中的三角函數(shù)知識作為描述周期性現(xiàn)象的重要模型，一直以來都受到廣泛重視。相比較而言，學(xué)生在三角函數(shù)知識的學(xué)習(xí)中，無論是最終的學(xué)習(xí)結(jié)果還是此前的學(xué)習(xí)過程，都會表現(xiàn)出普遍性的學(xué)習(xí)困難。為了解決這一困難，就必須尋找到有效的教學(xué)對策。筆者以為，在尋求教學(xué)對策的過程中，要緊緊抓住學(xué)生這一關(guān)鍵，要從高職院校學(xué)生的角度去確定、評估教學(xué)對策的實施。下面筆者提出三點教學(xué)對策，并分別舉例說明。

1　培元固本：重視三角函數(shù)定義

在義務(wù)教育階段，由于應(yīng)試的需要，在職高階段由于對包括學(xué)科在內(nèi)的文化學(xué)科的相對忽視，使得數(shù)學(xué)教學(xué)出現(xiàn)了一種不良的傾向，那就是對數(shù)學(xué)概念建構(gòu)的忽視，其具體表現(xiàn)就是不重視數(shù)學(xué)概念是如何通過定義來理解的。三角函數(shù)本身就是抽象的知識，而根據(jù)筆者對進入高職學(xué)生的學(xué)業(yè)調(diào)查，發(fā)現(xiàn)有近八成的學(xué)生對三角函數(shù)的定義幾乎完全說不出來（與之相對應(yīng)的是，學(xué)生能夠舉出三角函數(shù)的一些簡單例子甚至是一些具體的習(xí)題），這說明高職之前的數(shù)學(xué)教育重知識應(yīng)用而忽視概念建構(gòu)，筆者以為這是一種本末倒置的行為。同時，這也意味著高職階段的初等數(shù)學(xué)教育中，要重新重視三角函數(shù)的概念建構(gòu)與定義過程。

通常情況下，初等函數(shù)范疇中的三角函數(shù)有多種定義方式。如在直角三角形中，以角度（實用弧度表示）作為自變量，以角度所對應(yīng)的兩條邊的比值作為因變量的函數(shù)；又如在單位圓中也有類似的定義（事實上三角函數(shù)與平面幾何知識本身就有著千絲萬縷的聯(lián)系）。這種定義的理解有兩種途徑：一是基于純粹數(shù)學(xué)的途徑，即通過數(shù)學(xué)圖形的呈現(xiàn)，然后通過直接的定義來完成對三角函數(shù)的理解，這一途徑對于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較好的學(xué)生來說比較好，相比較而言如果學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)偏弱，那理解起來就有困難?；《戎葡聦θ呛瘮?shù)的定義實際上與直角坐標系以及單位圓中的定義是相通的，因此本文不贅述，下面的闡述更多的以前者為例。

高職院校的學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)一般都不太好，因此第二條途徑更值得嘗試。二是通過具體的生活實例來建構(gòu)函數(shù)概念，例如可以向?qū)W生呈現(xiàn)出具體的房梁結(jié)構(gòu)、塔吊結(jié)構(gòu)，通過已知與未知關(guān)系的構(gòu)建，讓學(xué)生認識到必須在某個直角三角形或單位圓中形成邊與邊的比例與等量關(guān)系，才能完成求解，這個時候?qū)W生對三角函數(shù)的認識就會有一個實踐經(jīng)驗基礎(chǔ)，在這個基礎(chǔ)上再進行數(shù)學(xué)抽象，將實物模型抽象成數(shù)學(xué)模型，然后通過數(shù)學(xué)定義認識三角函數(shù)的概念，就可以讓學(xué)生在記憶與理解的時候相對難度更小。

同樣，在初等函數(shù)的范疇中，六種三角函數(shù)的理解需要基于分析與綜合以形成統(tǒng)一的理解，即在平面直角坐標系當中，確定了角的頂點即坐標系的原點，并以x軸的正半軸作為角的始邊，于是看似沒有直接關(guān)系的六種三角函數(shù)就被統(tǒng)一到了平面直角坐標系上了，區(qū)別只在于終邊所在的區(qū)間而已。更重要的是，在這樣的統(tǒng)一理解當中，某個區(qū)間內(nèi)的一個角的集合表示、不同象限角的表示等，都會成為學(xué)生自然而然地需要面對并解決的問題。從學(xué)習(xí)心理的角度來看，其實就是不同的知識自然形成了一個知識組塊，這是非常有利于學(xué)生的記憶與理解的。

2　由點及面：研究同角三角函數(shù)

初等三角函數(shù)當中，同角三角函數(shù)的關(guān)系是一個重要知識點，在此前的學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生更多的是進行一些基本的記憶與運用，很少基于聯(lián)系的觀點研究同角三角函數(shù)。而事實上從聯(lián)系的觀點來研究三角函數(shù)的關(guān)系，很有利于學(xué)生更好地建構(gòu)對三角函數(shù)的整體認知，同時借助于這個知識點，還可以讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)當中生成由點及面的學(xué)習(xí)策略，從而遷移到其它知識的學(xué)習(xí)當中去。

梳理初等函數(shù)范圍中的同角三角函數(shù)關(guān)系，可以發(fā)現(xiàn)有這樣的三種關(guān)系，即平方關(guān)系、倒數(shù)關(guān)系與比例關(guān)系。其分別是sin2α+cos2α=1、tan2α+1=sеc2 α、cotα2+1=csc2α；tanαcotα=1；tanα=sinα/cos α。那么，基于聯(lián)系觀點如何確定這幾種關(guān)系的點與面呢？筆者以為關(guān)鍵在于教學(xué)中兩個重心的確定：

一是“點”的確定。同角三角函數(shù)關(guān)系的構(gòu)建中，什么是點？筆者以為，這需要從高職學(xué)生的學(xué)習(xí)特點來考慮。高職學(xué)院的數(shù)學(xué)教學(xué)定位，應(yīng)當是讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中生成基本的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，同時為學(xué)生的專業(yè)素養(yǎng)提升提供知識儲備與能力基礎(chǔ)。三角函數(shù)知識在諸多專業(yè)中都有相對廣泛的應(yīng)用，但從不同專業(yè)的不同情境中進行提取，即會發(fā)現(xiàn)終點仍然落到數(shù)學(xué)意義的數(shù)與形上，因此，學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)意義上的三角函數(shù)認識就是這個“點”。同時，同角三角函數(shù)本身也是一個相對發(fā)散的，也確實需要一個點以帶動知識本身這個面。研究可知，同角三角函數(shù)建立點的認知，可以在上面提到的平面直角坐標系的基礎(chǔ)之上，通過對邊的關(guān)系的梳理與分類，得到同一象限內(nèi)終邊相同的角（集合）、終邊關(guān)于x、y軸以及關(guān)于直線y=x對稱的角、終邊關(guān)于原點對稱的角三種情況，這三者可以形成建立三角函數(shù)的“點”的認知的三個支點，有此三“足”，三角函數(shù)之“鼎”則可立。而此三個支點如果要濃縮成一個認識的話，那就是“某一個角的三角函數(shù)值，最終只決定于這個角的終邊”。這一點看似抽象，但實際上卻是對六種三角函數(shù)的高度概括，在此基礎(chǔ)上再將思維發(fā)散到不同的具體三角函數(shù)當中，這便如一顆種子發(fā)芽之后生成不同植株一樣。

二是“面”的確定。同角三角函數(shù)關(guān)系的構(gòu)建中，什么是面？基于上一段的分析，同角三角函數(shù)在不同專業(yè)視角下的實際應(yīng)用可以視作面，這個時候就需要建立數(shù)學(xué)與不同專業(yè)之間的聯(lián)系，事實上對于高職院校的數(shù)學(xué)教學(xué)來說，這也是一種重要的教學(xué)策略，讓不同專業(yè)的實際知識成為該專業(yè)學(xué)習(xí)中的數(shù)學(xué)知識背景，不僅有利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，也有利于學(xué)生更有效地構(gòu)建數(shù)學(xué)認識。譬如在三角函數(shù)教學(xué)中可以引入具體的測量實例（測量是諸多專業(yè)中都必須培養(yǎng)的技能之一，不同專業(yè)有著不同的測量情境，限于篇幅這里不具體舉例），職業(yè)視角下，測量不是簡單的測量工具的運用，更指測量方法的確定，而測量方法往往是需要數(shù)學(xué)素養(yǎng)作為支撐的。當將某一個測量需要與三角函數(shù)建立聯(lián)系的時候，學(xué)生一般會將思路確定在測量本身之上，這對于高職學(xué)院的學(xué)生來說，既是一種職業(yè)直覺，又是一種注意力的轉(zhuǎn)移。對于后者而言，這樣的轉(zhuǎn)移極具教學(xué)價值，因為當學(xué)生將注意力從抽象的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)移到形象的測量之上時，學(xué)生的學(xué)習(xí)心理會有很大的轉(zhuǎn)變，因為抽象而產(chǎn)生的畏懼性的學(xué)習(xí)心理，有可能變成積極的解決問題的心態(tài)，而在積極解決問題的過程中，三角函數(shù)的知識又確實得到了運用，對于三角函數(shù)的知識也確實進行了建構(gòu)，這種隱性的建構(gòu)往往對于學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)提升來說，更具意義，也更符合高職院校數(shù)學(xué)教育基礎(chǔ)性作用的發(fā)揮。高職院校學(xué)生數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，是基于專業(yè)背景進行的數(shù)學(xué)知識的運用，恰恰是符合這一思路的。需要指出的是，這三個支點的形成以及以之為“點”向“面”擴散，可以引導(dǎo)學(xué)生自己去形成認識，也就是說通過學(xué)生的自主學(xué)習(xí)過程來完成對點和面的認識，是必要的教學(xué)策略

3　數(shù)學(xué)思維：建構(gòu)三角函數(shù)認知

初等函數(shù)作為高職數(shù)學(xué)教學(xué)的一個基本內(nèi)容，其教學(xué)目標除了以之為基礎(chǔ)提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)與職業(yè)素養(yǎng)之外，就數(shù)學(xué)知識構(gòu)建本身而言，三角函數(shù)本身作為一個認知對象，其實也具有培養(yǎng)學(xué)生思維能力的重要價值，而發(fā)掘這個價值的過程，也可以視作有效的教學(xué)對策。

數(shù)學(xué)的最高價值就是培養(yǎng)學(xué)生縝密的思維，思維能力作為智力的核心，又是高職學(xué)校培養(yǎng)學(xué)生的重要基礎(chǔ)，沒有思維能力的支撐，專業(yè)技能是不可能有質(zhì)的提升的，培養(yǎng)高素質(zhì)的技能性人才也容易成為一句空話。在筆者看來，三角函數(shù)在抽象著孕育著形象，而這恰恰又是思維的兩個重要維度，如果能夠?qū)崿F(xiàn)形象思維與抽象思維的積極轉(zhuǎn)換，并努力讓學(xué)生形成有效的直覺思維，那就是對三角函數(shù)的有效認知了，學(xué)生的思維能力也就真正得到培養(yǎng)了。在利用三角函數(shù)實現(xiàn)數(shù)學(xué)思維的過程中，筆者認為可以關(guān)注如下兩點：

第一點，三角函數(shù)的函數(shù)視角。函數(shù)是學(xué)生接觸過六年的知識點，到了高職院校重新建構(gòu)初等三角函數(shù)，關(guān)鍵不在于知識的重現(xiàn)，而在于尋找新的學(xué)習(xí)視角。函數(shù)（function）作為一個基本數(shù)學(xué)概念，最初由數(shù)學(xué)家李善蘭的著作《代數(shù)學(xué)》所給出。其解釋是，“凡此變數(shù)中函彼變數(shù)者，則此為彼之函數(shù)”。由此可見，函數(shù)是描述事物之間的一種規(guī)律性關(guān)系的，是借助于自變量和因變量來描寫這種關(guān)系的，從這種規(guī)律性的對應(yīng)關(guān)系的角度來理解三角函數(shù)，學(xué)生會有不同的認識。因為這個階段的學(xué)生對于事物之間的普遍聯(lián)系已經(jīng)有了相當程度的認識，而當這種聯(lián)系變換成數(shù)學(xué)語言的時候，就吻合了學(xué)生內(nèi)心所用主觀世界的語言描述客觀世界的需要。因此實際教學(xué)中，在呈現(xiàn)單位圓之前，可以給出一個具體實例，譬如一個城市中以市中心為圓心，描述不同建筑所在的位置，或者描述一輛出租汽車一天的行駛位置。學(xué)生自然就會將這個形象的問題抽象成數(shù)學(xué)圖形，進而用角和邊的關(guān)系去描述相應(yīng)的位置，這就是形象事物與數(shù)學(xué)之間的聯(lián)系，就是函數(shù)思想的自然體現(xiàn)。

第二點，三角函數(shù)背后的幾何直觀。初等數(shù)學(xué)中的三角函數(shù)認知，離不開對其背后的幾何直觀的認識。如果暫不考慮三角函數(shù)中“數(shù)”的關(guān)系，而從“形”的角度來認識，會發(fā)現(xiàn)三角函數(shù)其實就是一個平面直角坐標系上的單位圓，以及圓的半徑與弦的關(guān)系。這是一個很好的認知切入點，因為根據(jù)筆者的研究發(fā)現(xiàn)，高職學(xué)院的學(xué)生一般來說在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中更擅長形象思維，而幾何恰恰是形象思維的良好載體，因此從幾何的角度切入三角函數(shù)，也是一個很重要的教學(xué)策略。而且，教師引導(dǎo)學(xué)生進行這樣的抽象，可以幫學(xué)生搭建對三角函數(shù)認識的多重梯度，從而實現(xiàn)該知識的層次性建構(gòu)。當然，三角函數(shù)還隸屬于更為廣泛的三角學(xué)范疇，對于少數(shù)優(yōu)秀的學(xué)生而言，教師可以適當滲透，也算是因材施教策略的具體運用。當然需要說明的是，三角函數(shù)的圖像雖然是以圖像的形式存在，卻不是幾何的產(chǎn)物，需要厘清。

綜上所述，所謂教學(xué)對策，無非是針對學(xué)生的學(xué)習(xí)需要所采用的教學(xué)思路與措施。高職數(shù)學(xué)教學(xué)中，對于隸屬初等數(shù)學(xué)的三角函數(shù)的教學(xué)，既需要關(guān)注學(xué)生的已有基礎(chǔ)，同時更需要建立新的視角，以實現(xiàn)學(xué)生對這一知識的重新構(gòu)建。只有基于三角函數(shù)定義，并抓住同角三角函數(shù)這個核心，才能完成學(xué)生對三角函數(shù)認知的有效構(gòu)建。

［1］趙韜.三角函數(shù)在高職高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用［J］.四川職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報，2011，21（2）：108-110.

［2］周益峰.高職電子專業(yè)學(xué)生三角函數(shù)學(xué)習(xí)困難的研究［D］.蘇州大學(xué)，2011.

（責(zé)任編輯：興安）

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10.19469/j.cnki.1003-3319.2016.03.0050