☉江西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院　況琳琳　劉錫光

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圖形變換的性質(zhì)及其教育價(jià)值

☉江西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院況琳琳劉錫光

一、引言

義務(wù)教育課程改革對(duì)幾何課程體系作了較大調(diào)整，平面幾何內(nèi)容加大，其中“圖形的變化”單獨(dú)列出，并作為“圖形與幾何”的一個(gè)重要組成部分呈現(xiàn).此外，圖形變換（平移、對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)）中的對(duì)稱變換與旋轉(zhuǎn)變換更是獨(dú)立成章，并且，幾何內(nèi)容的編排更是有意突出讓學(xué)生以圖形變換的思想去探索三角形、平行四邊形、圓等圖形的性質(zhì).由此，滲透圖形變化思想，體現(xiàn)動(dòng)態(tài)幾何教育價(jià)值成為初中平面幾何教學(xué)的一項(xiàng)重要任務(wù).

二、概念與性質(zhì)

為反映圖形變換內(nèi)容在實(shí)驗(yàn)幾何向演繹幾何過渡中的特殊作用，教科書對(duì)平移、對(duì)稱及旋轉(zhuǎn)概念的介紹更強(qiáng)調(diào)其幾何直觀性，從直觀圖形抽象出相關(guān)性質(zhì).

1.平移變換

圖1

如圖1所示，把一個(gè)圖形整體沿某一直線方向移動(dòng)，會(huì)得到一個(gè)新的圖形，新圖形與原圖形的形狀和大小完全相同，新圖形中的每一點(diǎn)，都是由原圖形中的某一點(diǎn)移動(dòng)后得到的，這兩點(diǎn)是對(duì)應(yīng)點(diǎn).連接各組對(duì)應(yīng)點(diǎn)的線段（或在同一條直線上）平行且相等.圖形的這種移動(dòng)，叫做平移.

2.軸對(duì)稱變換

圖2

如圖2所示，把一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么就說這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線（成軸）對(duì)稱，這條直線叫做對(duì)稱軸，折疊后重合的點(diǎn)是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，叫做對(duì)稱點(diǎn).

由此可知，如果兩個(gè)圖形關(guān)于直線對(duì)稱，那么對(duì)稱軸是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線；軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸，是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線.

3.旋轉(zhuǎn)變換

圖3

如圖3所示，把一個(gè)平面圖形繞著平面內(nèi)任意一點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度，叫做圖形的旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)O叫做旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動(dòng)的角叫做旋轉(zhuǎn)角.如果圖形上的點(diǎn)P經(jīng)過旋轉(zhuǎn)變?yōu)辄c(diǎn)P′，那么這兩個(gè)點(diǎn)叫做這個(gè)旋轉(zhuǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn).

由此可知，對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等.

圖4

如圖4所示，把一個(gè)圖形繞著某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么就說這兩個(gè)圖形關(guān)于這個(gè)點(diǎn)對(duì)稱或中心對(duì)稱，這個(gè)點(diǎn)叫做對(duì)稱中心（簡(jiǎn)稱中心）.這兩個(gè)圖形在旋轉(zhuǎn)后能夠重合的對(duì)應(yīng)點(diǎn)叫做關(guān)于對(duì)稱中心的對(duì)稱點(diǎn).

由此可知，中心對(duì)稱的圖形，對(duì)稱點(diǎn)所連線段都經(jīng)過對(duì)稱中心，而且被對(duì)稱中心所平分；中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形是全等圖形.

從教材的編排特點(diǎn)來看，在學(xué)習(xí)了平行線等相關(guān)性質(zhì)之后再學(xué)習(xí)平移變換，這樣的安排不僅使得學(xué)生能從平行線的角度去認(rèn)識(shí)平移變換，探索平移變換的性質(zhì)，更能反過來加深對(duì)平行線相關(guān)性質(zhì)的認(rèn)識(shí).軸對(duì)稱變換中，把等腰三角形的學(xué)習(xí)安排在軸對(duì)稱變化之后，讓學(xué)生以變換的思想去探索和認(rèn)識(shí)等腰三角形.同樣地，旋轉(zhuǎn)變換更是與圓的相關(guān)知識(shí)的學(xué)習(xí)安排在一起，讓學(xué)生以平移、軸對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)變換的思想去探究圓的相關(guān)性質(zhì).由于，在初中階段不便于給出幾何變換的形式化定義，故教材的編排只是讓學(xué)生從生活中熟悉的例子作為探究起點(diǎn)，探究幾何變換的性質(zhì)，體會(huì)平移變換的思想，了解變中的不變.

三、教育價(jià)值

從初中幾何圖形變換的概念及性質(zhì)的特殊處理考量，其至少具有以下幾方面的教育意義.

1.能多角度認(rèn)識(shí)幾何圖形

從圖形變換的角度認(rèn)識(shí)平面幾何中的基本圖形，有利于學(xué)生從不同方向掌握基本圖形的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)和性質(zhì).此外，能培養(yǎng)學(xué)生從運(yùn)動(dòng)變換的觀點(diǎn)去考慮問題，可以為學(xué)生多樣化的思維提供較大的空間.

例如，“對(duì)平行四邊形中的AB=CD且AB∥CD”可以從以下角度來認(rèn)識(shí)：

（1）從數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系的角度引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)圖形.

（2）從平移的角度加以分析，如圖5，將線段AB沿AD方向平移AD長(zhǎng)度即得到線段DC，因此AB=CD且AB∥CD.

圖5

圖6

（3）從中心對(duì)稱的角度來分析，如圖6，將線段AB繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°得到線段DC，因此AB=CD且AB∥CD.

2.有利于探索發(fā)現(xiàn)幾何圖形的性質(zhì)

在平面幾何的教學(xué)過程中，可讓學(xué)生從探索幾何基本圖形有關(guān)變換的基本性質(zhì)入手，形成對(duì)變換的初步理性認(rèn)識(shí)，再把變換基本性質(zhì)作為更深入認(rèn)識(shí)其他圖形的一個(gè)方法.這樣，學(xué)生在探索圖形更多的性質(zhì)的過程中，不僅能使學(xué)生進(jìn)一步加深對(duì)變換本身的理解，也能使學(xué)生進(jìn)一步探索發(fā)現(xiàn)基本圖形更多的性質(zhì).

例如，圓既是軸對(duì)稱圖形，也是中心對(duì)稱圖形，并且是很特殊的軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形.由于這種特殊的對(duì)稱性，教學(xué)中就可以讓學(xué)生從軸對(duì)稱變換的角度或者是旋轉(zhuǎn)變換的角度去認(rèn)識(shí)圓，由此可以很容易得到圓的各種性質(zhì).并且采用這種方法講解圓，不僅直觀、簡(jiǎn)便，而且學(xué)生還能夠把它遷移到與圓有關(guān)的其他圖形中去.比如，利用軸對(duì)稱的基本性質(zhì)探索三角形、四邊形、等腰梯形等其他圖形的某些性質(zhì).

3.有利于培養(yǎng)學(xué)生的合情推理能力

由于幾何圖形具有直觀、形象的特點(diǎn)，當(dāng)學(xué)生通過動(dòng)手操作實(shí)驗(yàn)，從直觀感知的基礎(chǔ)上認(rèn)識(shí)軸對(duì)稱、平移、旋轉(zhuǎn)等變換后，再借助直觀的圖形變換探索出圖形的幾何性質(zhì)，使靜止的圖形在頭腦中動(dòng)起來，這樣能更好地培養(yǎng)學(xué)生的合情推理能力.特別地，在發(fā)展學(xué)生圖形直覺、觀察、操作、探索、合情推理能力等方面具有“過程性”的教育意義.

例如，在學(xué)習(xí)等腰三角形的性質(zhì)時(shí)，可讓學(xué)生利用剪的等腰三角形的模具，將它兩腰折疊重合，折痕兩旁的圖形重合，讓學(xué)生通過觀察、探究，發(fā)現(xiàn)等腰三角形是一個(gè)軸對(duì)稱圖形，在此基礎(chǔ)上，讓學(xué)生很容易作出等腰三角形的底角相等，對(duì)頂角平分線和底邊上的高、中線互相重合等性質(zhì)合情推理.這樣不僅容易得到結(jié)論，而且使學(xué)生認(rèn)識(shí)更加深刻，并且它的折痕對(duì)性質(zhì)的證明有啟發(fā)作用.

4.有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的良好品質(zhì)

初中幾何圖形變換是研究平面圖形在運(yùn)動(dòng)、變化過程中的不變性和不變量中最為特殊的基本情形，而一般幾何變換則是從運(yùn)動(dòng)、變化的觀點(diǎn)來研究幾何圖形及其性質(zhì)，利用幾何變換來解決平面問題往往會(huì)顯得更加直觀、更加形象，如果再結(jié)合一般演繹幾何的處理方法，則可以更好地培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性和敏捷性.

例如，如圖7所示，P為平行四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，求證以AP、BP、CP、DP為邊可以構(gòu)成一個(gè)四邊形，且所構(gòu)成的四邊形的對(duì)角線長(zhǎng)恰好分別等于線段AB和BC.

此問題的解證只需將AP沿著線段AB方向平移AB長(zhǎng)，得到線段BQ，連接Q、C，則有BQ=AP，DP=QC，即可得證.

圖7

四、結(jié)束語

綜上可見，圖形變換在初中幾何教學(xué)具有多方面的教育價(jià)值，教學(xué)實(shí)踐中，要求我們能正確處理教材中對(duì)圖形變換的定義及性質(zhì)，理解圖形變換體現(xiàn)的新課程理念，把握好操作、演示、實(shí)驗(yàn)幾何在初中幾何教學(xué)中的重要作用，真正發(fā)揮變換幾何在演繹幾何教學(xué)中的感知經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)性作用.但是，從當(dāng)下的教學(xué)實(shí)踐現(xiàn)狀來看，據(jù)我們了解，并不是所有的教師都能自覺地踐行這種新變化.比如，有的教師認(rèn)為它忽視了數(shù)學(xué)的邏輯體系，削弱了基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能；還有的教師不按教材的編寫，隨機(jī)地更改內(nèi)容的前后順序，仍按傳統(tǒng)的處理方式來進(jìn)行教學(xué)；還有的教師認(rèn)為“變換固然可以促進(jìn)對(duì)圖形的認(rèn)識(shí)，但課標(biāo)中沒有將變換的有關(guān)結(jié)論作為基本的幾何事實(shí)（公理），而且課標(biāo)的最終目的是要求學(xué)生能基于課標(biāo)所羅列的那些公理進(jìn)行嚴(yán)格的幾何證明，這樣，不管借助變換探索圖形性質(zhì)多么方便，最終仍然要落實(shí)到嚴(yán)格證明，而以變換為依據(jù)的證明是不嚴(yán)格的、‘不合法的’（至少現(xiàn)行課標(biāo)沒有明確其合法性），各種學(xué)業(yè)考試中，借助變換進(jìn)行證明是較難得到認(rèn)可的”.［1］所以，本文論及的問題旨在讓一線教師們更好地把握?qǐng)D形變換在初中幾何教育中的價(jià)值.

參考文獻(xiàn)：

1.趙生初，許正川，盧秀敏.圖形變換與中國(guó)初中幾何課程的自然融合［J］.數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2012（4）.