☉浙江省浦江縣實驗中學　方　芳

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探究一道中考選擇題的解法

☉浙江省浦江縣實驗中學方芳

題目（2014年湖北武漢）如圖1，PA、PB切⊙O于A、B兩點，CD切⊙O于點E，交PA、PB 于C、D兩點.若⊙O的半徑為r，△PCD的周長等于3r，則tan∠APB的值是（）.

圖1

分析：此題以圓的一個基本圖形為背景設置，內涵十分豐富：PA=PB；連接OA、OB，則∠OAP=∠OBP=90°；連接OP，則OP平分∠APB；連接AB，則OP垂直平分AB……

又CD切⊙O于點E，所以CA=CE，DB=DE.

一、直接法

圖2

二、轉化法

注意到∠APB=2∠APO，可利用Rt△PAO斜邊上的中線構造一個與∠APB相等的角，求出這個角的正切值即可.

圖3

三、割補法

連接OA、OB得到一個一組對角為直角的四邊形，不妨把這種四邊形稱為“雙垂四邊形”，它是一種特殊的四邊形，在已知和未知難以直接產生關系時，通常采取用“割”與“補”的方法來添加輔助線，將其轉化為熟悉的圖形來求解.

1.補成直角三角形+相似三角形

解法3：如圖4，延長BO交PA的延長線于點F，則△PBF為直角三角形.

圖4

因為BF=BO+FO，

2.補成矩形+相似三角形

所以故選B.

3.割成矩形+相似三角形

圖5

圖6

四、倍角法

圖7

注意到∠APB=2∠APO，而∠APO是Rt△APO的一個銳角，用高中倍角公式可直接求解，方法十分簡潔.

解法6：如圖7，連接PO，則∠APB=2∠APO.

從這道中考選擇題的初中解法看，盡管所添的輔助線不同，但都體現(xiàn)了一種共同的思想──轉化思想，幾種解法都用到了一些基本圖形性質，如直角三角形、等腰三角形、矩形，以及全等三角形、相似三角形等基礎知識.帶給我們的教學啟示是：即使是比較復雜的問題，所用到的知識也是基礎知識的組合和數學思想方法的凸現(xiàn)，這就要求教師在日常教學中，尤其在中考復習階段，不僅要精挑典型問題、教給學生解題方法，而且還應與學生共同探究有哪些解法，讓學生說出“為什么這樣想”，“用到哪些知識”，“哪種解法更自然”，“哪種方法更簡潔”，“同樣的方法能用來處理更一般性的問題嗎”，“這些方法體現(xiàn)了什么樣的數學思想”，潛移默化地增強學生解題的信心、提升解題能力.在課堂教學中，教師不能只當“二傳手”的角色，而要用心去思考、去變化，用智慧去整合、去創(chuàng)新，唯有如此，學生才能受益無窮.