☉江蘇省蘇州市陽(yáng)山實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)　仲進(jìn)東

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HPM視角下“三等分角”習(xí)題課教學(xué)與思考

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一、數(shù)學(xué)史話(huà)

將數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)融合在一起共同促進(jìn)學(xué)生的發(fā)展是HPM（Historyand Pedagogyof Mathematics）研究的一個(gè)主要涵義.我們知道，三等分角是古希臘三大幾何問(wèn)題之一.即在尺規(guī)作圖（即用沒(méi)有刻度的直尺和圓規(guī)作圖）的前提下，無(wú)法將一個(gè)給定的角三等分.若將條件放寬，卻可以引發(fā)三等分的作法.比如歷史上關(guān)于“三等分角”的故事的版本很多，其中有一段是與阿基米德有關(guān).這里簡(jiǎn)要概述這段故事.

公元前4世紀(jì)，亞歷山大城的工匠們?cè)噲D用尺規(guī)作圖法確定出橋的位置，可是他們用了很長(zhǎng)的時(shí)間也沒(méi)有解決.問(wèn)題的本質(zhì)是用尺規(guī)作圖解決三等分角，于是他們?nèi)フ?qǐng)教阿基米德.阿基米德用在直尺上做固定標(biāo)記的方法，解決了三等分一角的問(wèn)題.正當(dāng)大家稱(chēng)贊阿基米德了不起時(shí)，阿基米德卻說(shuō)：“這個(gè)確定北門(mén)位置的方法固然可行，但只是權(quán)宜之計(jì)，它是有破綻的.”阿基米德所謂的破綻就是在尺上做了標(biāo)記，等于是做了刻度，這在尺規(guī)作圖法中是不允許的.

受到這個(gè)故事的啟發(fā)，我們針對(duì)八年級(jí)學(xué)生（已學(xué)習(xí)初中幾何全等三角形、角平分線(xiàn)的性質(zhì)與判定、垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)與判定），設(shè)計(jì)了一節(jié)習(xí)題課，取得較好的教學(xué)效果.本文先展示該課的教學(xué)設(shè)計(jì)，并進(jìn)一步闡釋相關(guān)思考，供研討.

二、“三等分角”習(xí)題課教學(xué)設(shè)計(jì)

活動(dòng)一：作已知角的平分線(xiàn)

問(wèn)題1：尺規(guī)作圖作出已知角的角平分線(xiàn).

問(wèn)題2：尺規(guī)作圖作出一個(gè)60°角.

問(wèn)題3：尺規(guī)作圖作一個(gè)平角的三等分線(xiàn).

設(shè)計(jì)意圖：開(kāi)課階段安排學(xué)生復(fù)習(xí)一些基本作圖及作法，為本課的探究作必要的準(zhǔn)備.由于這些基本操作都是應(yīng)知必會(huì)的技能，這里不展示相關(guān)素材.

活動(dòng)二：學(xué)習(xí)使用阿基米德的“角尺”工具

通過(guò)PPT圖文介紹上文中提及的阿基米德設(shè)計(jì)的“角尺”（如圖1）.

圖1

解說(shuō)：該“角尺”是由兩個(gè)等寬的直尺拼接而成，其中一個(gè)直尺上標(biāo)有等距離的刻度.

下面以三等分∠ABC為例說(shuō)明利用“角尺”三等分銳角的過(guò)程.

第一步：畫(huà)直線(xiàn)DE使DE∥BC，且這兩條平行線(xiàn)的距離等于PQ（即角尺上直尺的寬）；

第二步：移動(dòng)并調(diào)整“角尺”到如下位置，使其頂點(diǎn)P落在DE上，使“角尺”的MN邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，同時(shí)讓點(diǎn)R落在∠ABC的BA邊上；

圖2

第三步：標(biāo)記此時(shí)點(diǎn)Q和點(diǎn)P所在的位置，作射線(xiàn)BQ和射線(xiàn)BP.

問(wèn)題4：射線(xiàn)BQ和射線(xiàn)BP是∠ABC的三等分線(xiàn)嗎？

預(yù)設(shè)：連接BP，作PH⊥BC于H點(diǎn)，根據(jù)作法及垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)容易證明∠RBQ=∠QBP=∠PBC.從而確認(rèn)射線(xiàn)BQ和射線(xiàn)BP是∠ABC的三等分線(xiàn).

活動(dòng)三：制作簡(jiǎn)易“角尺”三等分60°角

活動(dòng)準(zhǔn)備：每人準(zhǔn)備兩張A4紙，雙面膠.

制作“角尺”：將兩張A4紙對(duì)折成兩個(gè)長(zhǎng)條狀長(zhǎng)方形紙條，其中一個(gè)長(zhǎng)方形紙條連續(xù)折出正方形折痕（折痕即刻度），用雙面膠將兩個(gè)長(zhǎng)方形紙條如圖1一樣貼好.

使用“角尺”：利用“角尺”將活動(dòng)一中的尺規(guī)作圖對(duì)60°角進(jìn)行三等分.

活動(dòng)組織：同桌可以分成一組，制作“角尺”后交流他們的制作與使用心得.并安排2～3個(gè)小組派出代表走上講臺(tái)運(yùn)用實(shí)物展臺(tái)展示“角尺”和三等分角的操作過(guò)程.

活動(dòng)四：提出問(wèn)題，拓展思考

問(wèn)題5：小賈同學(xué)在圖2的基礎(chǔ)上，作射線(xiàn)BS，他糾結(jié)于∠SBR是不是∠ABC的三分之一，可是又不會(huì)證明，你能幫助小賈同學(xué)辨別一下嗎？

預(yù)設(shè)：只要說(shuō)明∠SBR不等于∠RBQ即可，可以把目光聚焦在直角△SBQ中，BR是中線(xiàn)，它就不可能是角平分線(xiàn)了！否則，就可證出BS=BQ了！

問(wèn)題6：在圖2中，能否在∠ABC外部，作射線(xiàn)BV，使∠ABV=∠ABC呢？

圖3

圖4

預(yù)設(shè)：如圖4，作QH⊥AB于H，再截取HG=HQ，作射線(xiàn)BG，則射線(xiàn)BG就是所求的射線(xiàn)BV.

問(wèn)題7：尺規(guī)作圖將一個(gè)平角四等分.

預(yù)設(shè)：只要使用尺規(guī)連續(xù)作兩次角平分線(xiàn)即可.

問(wèn)題8：使用“角尺”將一個(gè)直角四等分.

預(yù)設(shè)：先調(diào)整“角尺”的位置（如圖5），得到直角的角平分線(xiàn)（作射線(xiàn)BP），再調(diào)整“角尺”的位置（如圖6），注意需要利用“角尺”的度量功能保證BR=BD，這時(shí)作出射線(xiàn)BM可得到45°角的角平分線(xiàn).

圖5

圖6

三、關(guān)于HPM融入日常教學(xué)的三點(diǎn)思考

上面結(jié)合“角尺”給出一個(gè)三等分角的習(xí)題課教學(xué)設(shè)計(jì)，概述了教學(xué)流程和各環(huán)節(jié)的操作建議，以下再由該課例出發(fā)，就HPM融入日常教學(xué)提出三點(diǎn)思考.

1.基于HPM構(gòu)思教學(xué)設(shè)計(jì)是深刻“理解數(shù)學(xué)”的體現(xiàn)

由于引入數(shù)學(xué)史話(huà)進(jìn)入課例設(shè)計(jì)必然涉及教師要廣泛閱讀、涉獵相關(guān)數(shù)學(xué)史的著作或文獻(xiàn)，弄清教學(xué)內(nèi)容在數(shù)學(xué)歷史上的先后順序，包括這些教學(xué)內(nèi)容是如何被數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)、證明的，其中的經(jīng)歷是如何的曲折，背后的故事版本往往也多樣，如何鑒別取舍，甚至在引入課堂教學(xué)中來(lái)時(shí)還需要教者本人進(jìn)行改編.事實(shí)上，這樣的過(guò)程正是教者本人深入理解數(shù)學(xué)的過(guò)程，也是踐行章建躍教授提出的“理解數(shù)學(xué)”的體現(xiàn).正是在這樣的角度上，我們預(yù)設(shè)阿基米德“角尺”的數(shù)學(xué)情境貫穿于整節(jié)課中，除了實(shí)現(xiàn)解題教學(xué)的功能，還給學(xué)生留下一個(gè)大大的“？”，即尺規(guī)作圖為什么不能進(jìn)行三等分角？如何證明這個(gè)命題呢？限于初中學(xué)段知識(shí)所囿，只能讓學(xué)生存疑，待日后有興趣的學(xué)生進(jìn)入更高層次的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時(shí)再去攻克和理解.

2.基于HPM的教學(xué)設(shè)計(jì)要從“嵌入”走向“融入”或“重構(gòu)”

我們發(fā)現(xiàn)，不少基于HPM視角開(kāi)發(fā)的課例多是數(shù)學(xué)史話(huà)的“附加式”或“嵌入式”，與學(xué)者們提出的“數(shù)學(xué)史引入中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的方式，應(yīng)以‘融入’的方式為主”相去甚遠(yuǎn).這方面的課例突出的是勾股定理的新授課，很多老師執(zhí)教時(shí)喜歡引入一段所謂的數(shù)學(xué)史話(huà)，包括教材上也把畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)和證明勾股定理的靈感用到在朋友家坐客時(shí)受到地面磚的啟發(fā).然而有些類(lèi)似的數(shù)學(xué)史話(huà)如果從該課中刪除的話(huà)，完全不影響整節(jié)課的效果，甚至還能起到削枝強(qiáng)干的作用，那么這樣的數(shù)學(xué)史話(huà)作為一種點(diǎn)綴，不要也罷.這樣來(lái)看，以華東師大汪曉勤教授領(lǐng)銜的促進(jìn)數(shù)學(xué)史融入課堂教學(xué)就是值得踐行的一種有效方式.在上文課例中，我們?cè)噲D通過(guò)阿基米德的一段關(guān)于“角尺”的傳說(shuō)重構(gòu)一個(gè)古老的數(shù)學(xué)情境，將尺規(guī)作圖與工具作圖互動(dòng)起來(lái)，既指向理性文化，又溝通數(shù)學(xué)的實(shí)用主義，應(yīng)該是一次有積極意義的數(shù)學(xué)史融入課堂、重構(gòu)教學(xué)內(nèi)容的嘗試.

3.基于HPM設(shè)計(jì)系列追問(wèn)，促進(jìn)教學(xué)對(duì)話(huà)

章建躍教授提出的“三個(gè)理解”中還有“理解學(xué)生”和“理解教學(xué)”，在這兩者的角度來(lái)看，基于HPM設(shè)計(jì)教學(xué)內(nèi)容時(shí)，要注意圍繞一個(gè)主干問(wèn)題設(shè)計(jì)系列追問(wèn)，貼近學(xué)生熟悉的情境，根據(jù)教師對(duì)教學(xué)環(huán)節(jié)的熟悉，設(shè)計(jì)邏輯連續(xù)的問(wèn)題是課堂教學(xué)的關(guān)鍵.在上文的課例中，全課，我們?cè)诓煌虒W(xué)環(huán)節(jié)中，一共預(yù)設(shè)了8個(gè)系列問(wèn)題，注重關(guān)聯(lián)，加強(qiáng)互動(dòng)，使得各個(gè)教學(xué)活動(dòng)之間過(guò)渡平滑.這樣的努力，才努力追求開(kāi)放式教學(xué)、對(duì)話(huà)式教學(xué)，在對(duì)話(huà)中傾聽(tīng)學(xué)生的表達(dá)，欣賞學(xué)生的展示，并適時(shí)作出恰當(dāng)?shù)脑u(píng)價(jià)和追問(wèn)，有效追求了精心預(yù)設(shè)與動(dòng)態(tài)生成的課堂教學(xué).

四、寫(xiě)在最后

基于HPM視角的教學(xué)設(shè)計(jì)是一個(gè)前景廣闊的課題研究，值得我們深入下去.本文提供的課例只是一次初步的嘗試，一定有很多不足和遺憾，歡迎大家批評(píng)指正，更期待踐行HPM的優(yōu)秀教學(xué)設(shè)計(jì)的展示與研討.

參考文獻(xiàn)：

1.張小明，汪曉勤.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中融入數(shù)學(xué)史的行動(dòng)研究［J］.數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2009，18（4）.

2.蒲淑萍，汪曉勤.教材中的數(shù)學(xué)史：目標(biāo)、內(nèi)容、方式與質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)研究［J］.課程·教材·教法，2015，35（3）.