☉江蘇省如皋市城北初級(jí)中學(xué)　周　兵

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以本為本：復(fù)習(xí)課如何“用教材教”——以勾股定理復(fù)習(xí)課教學(xué)為例

☉江蘇省如皋市城北初級(jí)中學(xué)周兵

2015年《中學(xué)數(shù)學(xué)》（下）發(fā)表了多篇關(guān)于勾股定理新授課的課例研究，老師們對(duì)勾股定理起始課研究頗見功夫，反映了各自在理解數(shù)學(xué)上的深度，筆者受益其中.對(duì)比之下，勾股定理復(fù)習(xí)課的研究卻并不多見，本地區(qū)近期在一次教研活動(dòng)中就選擇了該課題展開教學(xué)研討，筆者有幸執(zhí)教勾股定理復(fù)習(xí)課，由于創(chuàng)造性地使用教材，開發(fā)教材內(nèi)容，緊貼教學(xué)主線，融通相關(guān)內(nèi)容，取得較好的教學(xué)效果，本文呈現(xiàn)該課的教學(xué)流程，并跟進(jìn)闡釋教學(xué)立意，提供研討.

一、勾股定理復(fù)習(xí)課教學(xué)流程

教學(xué)環(huán)節(jié)1.直角三角形三邊長的特殊關(guān)系

問題1：本章我們學(xué)習(xí)了勾股定理，勾股定理主要揭示了直角三角形三邊長的特殊關(guān)系，這就是兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.如圖1，可以求出AB=？（學(xué)生口答出5之后，找一個(gè)學(xué)困生說明過程，鞏固勾股定理）

圖1

設(shè)計(jì)意圖：復(fù)習(xí)課開課階段，低起點(diǎn)起入，吸引學(xué)生全員參與，而這個(gè)特殊的數(shù)據(jù)為下一復(fù)習(xí)環(huán)節(jié)提供對(duì)照.

問題2：我們是如何證明勾股定理的呢？你學(xué)會(huì)了哪些方法？

設(shè)計(jì)意圖：安排學(xué)生上臺(tái)展示自己理解的勾股定理證明方法，對(duì)于不同的證明方法要求學(xué)生概述思路，并闡釋這種證明方法的關(guān)鍵之處是什么？體現(xiàn)了怎樣的數(shù)學(xué)思想方法？比如，趙爽弦圖體現(xiàn)了中國古代數(shù)學(xué)家“出入相補(bǔ)原理”等.這里的追問與對(duì)話，不僅限于展示學(xué)生與教師之間，教師也可追問臺(tái)下學(xué)生對(duì)臺(tái)上展示學(xué)生之間的展開互動(dòng)、對(duì)話.

圖2

教學(xué)環(huán)節(jié)2.已知三角形三邊長，如何判斷直角三角形

問題3：我們?cè)谘芯苛斯垂啥ɡ碇螅€研究了它的逆命題，如圖2，已知一個(gè)三角形的三邊，如何判斷直角三角形呢？（預(yù)設(shè)：根據(jù)勾股定理的逆定理，可以判定圖2中的∠F是直角）

問題4：我們也知道，與勾股定理的證明方法眾多相比，勾股定理的逆定理的證法就少了很多，你學(xué)會(huì)了哪種證法呢？

設(shè)計(jì)意圖：安排學(xué)生上臺(tái)對(duì)照?qǐng)D1、圖2進(jìn)行講解，即先構(gòu)造一個(gè)直角三角形，使得兩條直角邊等于圖2中的兩條邊長，這里在圖1中利用勾股定理計(jì)算出斜邊AB= 5=DE，從而根據(jù)“SSS”證明△DEF≌△ABC，從而得出圖2中的∠F=∠C=90°.

問題5：在學(xué)習(xí)這章過程中，有人認(rèn)為需要積累很多勾股數(shù)，這對(duì)于提升解題效率很有幫助，你們積累了哪些勾股數(shù)組呢？（學(xué)生口答，追問補(bǔ)充）

拓展1：古希臘數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家柏拉圖曾指出，如果m表示大于1的整數(shù)，a=2m，b=m2-1，c=m2+1，那么a，b，c為勾股數(shù)，你認(rèn)為對(duì)嗎？如果對(duì)，說明理由.（需要安排學(xué)生獨(dú)立演算，然后匯報(bào)自己的演算結(jié)果）

拓展2：有人還把柏拉圖上述結(jié)論進(jìn)一步拓展，提出命題：如果m，n表示大于1的不等整數(shù)，a=2mn，b=m2-n2，c=m2+n2，那么a，b，c為勾股數(shù).（繼續(xù)安排學(xué)生演算之后再匯報(bào)它們的證明過程，證明之后，安排學(xué)生利用這個(gè)規(guī)律，舉例寫出兩組勾股數(shù)組）

拓展3：有人指出（3，4，5）可以看成是方程x2+y2=z2的一個(gè)正整數(shù)解，你能否再找出一個(gè)正整數(shù)解嗎？（學(xué)生會(huì)受到勾股數(shù)組啟示，寫出很多）你能否寫出這個(gè)三元二次方程的“通解”嗎？（預(yù)設(shè)：x=2mn，y=m2-n2，z=m2+n2，其中m，n表示大于1的不等整數(shù)）

教學(xué)環(huán)節(jié)3.例題講評(píng)

圖3

例1如圖3，在四邊形ABCD中，AB=3，BC=4，CD= 12，AD=13，∠B=90°.

（1）連接AC，求AC的長；

（2）求證：AC⊥CD；

（3）求點(diǎn)C到AD的距離；

（4）請(qǐng)你再設(shè)計(jì)一個(gè)問題，并在小組內(nèi)交流，再到全班展示.

圖4

（1）若正方形的周長為16cm，求△AEF的周長；

（2）若正方形的邊長為a，求△AEF的周長（用含a的式子表示）；

（3）有人指出圖4中，一共有4個(gè)直角三角形，你覺得呢？理由是什么？

預(yù)設(shè)講評(píng)：這兩個(gè)例題改編自教材習(xí)題，設(shè)計(jì)了系列問題，既需要使用勾股定理，又需要運(yùn)用逆定理.教學(xué)時(shí)可以使用PPT的動(dòng)畫漸次呈現(xiàn)問題（如圖5），使得學(xué)生的思維有序深入.教師通過對(duì)話、啟發(fā)、追問，把更多學(xué)生的思維吸引到問題探究上來.

圖5

教學(xué)環(huán)節(jié)4.課堂小結(jié)

小結(jié)：從勾股定理全章來看，我們不僅學(xué)會(huì)了勾股定理的原命題、逆命題，也感受到原命題與逆命題之間的差異.那么在幾何學(xué)習(xí)時(shí)，是否原命題成立，逆命題也一定成立呢？請(qǐng)舉例說說.（預(yù)設(shè)學(xué)生舉例，比如對(duì)頂角相等）我們也學(xué)到了不少定理、逆定理，請(qǐng)舉例說說.（預(yù)設(shè)學(xué)生舉例，比如等邊對(duì)等角、等角對(duì)等邊）

附：當(dāng)堂檢測(cè)題

（1）請(qǐng)寫出方程“x2+y2=z2”的兩個(gè)正整數(shù)解.

（2）在例2中，給出“新定義”：如果一個(gè)直角三角形的兩條直角邊之比為1∶2時(shí)，稱該直角三角形為“半正切三角形”.請(qǐng)指出圖4中所有的“半正切三角形”.

（3）設(shè)直角三角形的兩條直角邊、斜邊、斜邊上的中線和高分別為a，b，c，m，h.

二、教學(xué)立意的進(jìn)一步解讀

1.以本為本，復(fù)習(xí)課也要重視“用教材教”

人民教育出版社中學(xué)數(shù)學(xué)室原主任章建躍編審曾指出：“教材的結(jié)構(gòu)體系、內(nèi)容順序是反復(fù)考量的，語言是字斟句酌的，例題是反復(fù)打磨的，習(xí)題是精挑細(xì)選的.”［1］應(yīng)該承認(rèn)，當(dāng)前各級(jí)賽課活動(dòng)、示范課中，對(duì)于新授課的教學(xué)研討，老師們普遍重視教材的理解和創(chuàng)造性的使用，然而在一些常態(tài)的復(fù)習(xí)課中，離開教材找來一些考題、習(xí)題充當(dāng)復(fù)習(xí)學(xué)案內(nèi)容的現(xiàn)象還不在少數(shù).正是基于上述認(rèn)識(shí)，我們?cè)陬A(yù)設(shè)本課教學(xué)內(nèi)容時(shí)努力理解教材，熟悉人教版八年級(jí)教材的同行應(yīng)該知道，在勾股定理章末小結(jié)時(shí)，教材上提供了5個(gè)問題：

（1）直角三角形三邊的長有什么特殊的關(guān)系？

（2）趙爽證明勾股定理運(yùn)用了什么思想方法？

（3）已知一個(gè)三角形的三邊長，怎樣判斷它是不是直角三角形？你作判斷的依據(jù)是什么？

（4）證明勾股定理的逆定理運(yùn)用了什么方法？

（5）一個(gè)命題成立，它的逆命題未必成立.請(qǐng)舉例說明.

這樣來比對(duì)上文中的課例路徑，可見，我們預(yù)設(shè)的一條教學(xué)主線正是基于教材上的這“5個(gè)問題”.此外，本課中的例題、拓展中的問題都選自教材習(xí)題，也是我們重視教材、以本為本的直接體現(xiàn).

2.對(duì)話教學(xué)，備課時(shí)預(yù)設(shè)系列追問是前提

當(dāng)前教學(xué)倡導(dǎo)對(duì)話已深入人心，然而如何讓這一理念落地，卻還有很長的路要走.一個(gè)現(xiàn)實(shí)的做法就是，在備課時(shí)減少選題的數(shù)量，而走上精選母題的道路，并針對(duì)入選的母題展開系列追問，通過如上文中PPT動(dòng)畫方式漸次呈現(xiàn)系列問題的策略，每呈現(xiàn)一個(gè)問題，就安排學(xué)生思考、表達(dá)，教師在這個(gè)過程中起到主導(dǎo)發(fā)問、啟發(fā)探究、穿針引線的作用，把問題從一個(gè)學(xué)生引向另外的學(xué)生，促進(jìn)師生之間的互動(dòng)、生生之間的對(duì)話互動(dòng)，讓教學(xué)對(duì)話走向深入，吸引學(xué)生更多的思維參與.特別是，我們不僅在例題教學(xué)環(huán)節(jié)加強(qiáng)了系列設(shè)問，在課堂最后的檢測(cè)題中，還注意了例2的互動(dòng)、拓展，開發(fā)一個(gè)“新定義”問題.

三、結(jié)束語

華東師大終身教授鐘啟泉先生曾指出：“教師不能滿足于現(xiàn)成教科書的普適性預(yù)設(shè)，而是需要在課堂教學(xué)之前，根據(jù)本校、本班學(xué)生的實(shí)際重新作出預(yù)設(shè).”并認(rèn)為新、舊教學(xué)的分水嶺就是從“教教材”過渡到“用教材教”.我們?cè)趶?fù)習(xí)課中重視教材、以本為本的實(shí)踐還很初步，期待更多的實(shí)踐跟進(jìn)與案例分享.

參考文獻(xiàn)：

1.章建躍.中學(xué)數(shù)學(xué)課改的十個(gè)論題［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上），2010（3～5）.

2.中華人民共和國教育部制定.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

3.鐘啟泉.新舊教學(xué)的分水嶺［J］.基礎(chǔ)教育課程（上），2014（2）.