李景和

[摘要]針對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)理統(tǒng)計(jì)的實(shí)際情況，結(jié)合生活實(shí)例和學(xué)生的困惑，通俗簡(jiǎn)單地解釋樣本和樣本值，解釋矩估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)的思想方法，使學(xué)生更容易掌握數(shù)理統(tǒng)計(jì)的教學(xué)內(nèi)容，從而收到良好的課堂教學(xué)效果。

[關(guān)鍵詞] 通俗簡(jiǎn)單；生活實(shí)例；思想方法；樣本；矩估計(jì)；假設(shè)檢驗(yàn)

[中圖分類號(hào)]G642[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]A[文章編號(hào)]10054634（2016）01008503

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是一門重要的公共基礎(chǔ)課，其中數(shù)理統(tǒng)計(jì)占課程總學(xué)時(shí)的三分之一。教學(xué)實(shí)踐表明，真正使學(xué)生掌握數(shù)理統(tǒng)計(jì)的內(nèi)容并非易事，不少看似簡(jiǎn)單的問(wèn)題其實(shí)學(xué)生并沒有真正理解和掌握，特別是在獨(dú)立學(xué)院的教學(xué)中表現(xiàn)得更加明顯。從每次期末概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的試卷中可以看到，一些學(xué)生放棄了數(shù)理統(tǒng)計(jì)的學(xué)習(xí)，試卷中和數(shù)理統(tǒng)計(jì)相關(guān)的題目一概不做。筆者在多年與學(xué)生的交流中感到學(xué)生除了認(rèn)為該部分內(nèi)容公式多，記不住外，還認(rèn)為內(nèi)容抽象，不好理解。如何使教學(xué)內(nèi)容更通俗易懂，讓基礎(chǔ)較差的學(xué)生理解內(nèi)容的思想方法，一直是筆者思考的問(wèn)題。事實(shí)上，數(shù)理統(tǒng)計(jì)的應(yīng)用性極強(qiáng)，生活中的許多做法和想法都與課程中的思想方法具有一致性，一些生活中常見的簡(jiǎn)單的東西上升為課本中的定義和定理，變得神秘和抽象，使部分學(xué)生不好理解，望而生畏。為提高數(shù)理統(tǒng)計(jì)的教學(xué)效果，應(yīng)盡可能使其思想方法通俗化和簡(jiǎn)單化，即通俗簡(jiǎn)單地解釋思想方法，語(yǔ)言應(yīng)盡可能直觀和形象，注意結(jié)合學(xué)生可能會(huì)產(chǎn)生的問(wèn)題和困惑，特別發(fā)揮生活中的實(shí)例的作用，通過(guò)一些耳熟能詳?shù)膶?shí)例拉近書本知識(shí)和實(shí)際生活的距離，盡可能避免抽象的理論給學(xué)生帶來(lái)的神秘感。本文結(jié)合學(xué)生經(jīng)常提出的問(wèn)題，特別考慮到基礎(chǔ)較差學(xué)生的實(shí)際情況，以抽取樣本、矩估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)為例，對(duì)其思想方法進(jìn)行通俗簡(jiǎn)單的解釋。

1通俗簡(jiǎn)單地解釋樣本和樣本值

“（X1，X2，…，Xn）是取自總體X的一個(gè)樣本”，這是數(shù)理統(tǒng)計(jì)中幾乎所有定義、定理和結(jié)論以及習(xí)題的第一句話，否則就是被省略和默認(rèn)了。因?yàn)閿?shù)理統(tǒng)計(jì)所做的一切結(jié)論最后都是根據(jù)樣本，即根據(jù)樣本對(duì)總體的未知情況進(jìn)行推理、判斷和猜測(cè)。比如，在實(shí)際生活中，為了確定要購(gòu)買某種產(chǎn)品時(shí)，人們常常要“取些樣子看看”、“用一些試試”、“嘗一嘗”等等。從總體中抽取個(gè)體，觀測(cè)X的取值，對(duì)X的第i次觀測(cè)的結(jié)果是隨機(jī)變量Xi[1]，經(jīng)常有的同學(xué)問(wèn)：第i次觀測(cè)的結(jié)果應(yīng)是具體的數(shù)，為何是隨機(jī)變量？事實(shí)上，觀測(cè)后得到具體的數(shù)xi是Xi的一個(gè)觀察值，由于抽樣的隨機(jī)性，在未得到xi之前第i次觀測(cè)的結(jié)果是不確定的，因此第i次觀測(cè)的結(jié)果當(dāng)然是隨機(jī)變量，這里應(yīng)分清Xi與其一個(gè)觀察值xi的區(qū)別和聯(lián)系。注意到為了使樣本更好的反映出總體X的狀況，抽取個(gè)體一定是隨機(jī)的，每個(gè)個(gè)體被抽到的可能性是一樣的而且抽取是相互獨(dú)立互不影響的，因此每個(gè)Xi與總體X一定服從相同的分布且Xi（i=1，2，…，n）相互獨(dú)立。

例1X是全校全體同學(xué)的身高，現(xiàn)準(zhǔn)備從全校全體同學(xué)中隨機(jī)抽取3人量其身高，這相當(dāng)于從總體X中抽取容量為3的一個(gè)樣本（X1，X2，X3），由于全校同學(xué)的數(shù)量很大，因此可認(rèn)為抽到3人的方式是有放回的。量完3人身高后得到一組具體的數(shù)據(jù)（x1，x2，x3）是樣本（X1，X2，X3）的一個(gè)樣本值，假如過(guò)后又隨機(jī)抽取3人量其身高得到另外一組具體的數(shù)據(jù)（y1，y2，y3），是樣本（X1，X2，X3）的又一個(gè)樣本值，注意yi與xi（i=1，2，3）可能相等也可能不相等，它們分別是隨機(jī)變量Xi的兩個(gè)觀察值，注意到這一點(diǎn)有助于理解Xi為什么是隨機(jī)變量。

向?qū)W生解釋好樣本的定義是非常重要的，因?yàn)闃颖镜母拍钍菙?shù)理統(tǒng)計(jì)首個(gè)重要的概念，正確理解這一概念是理解數(shù)理統(tǒng)計(jì)一切問(wèn)題的基礎(chǔ)，否則學(xué)生將失去學(xué)習(xí)的信心，很難理解后面的抽樣分布和抽樣分布定理，參數(shù)估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)等一系列問(wèn)題。

2通俗簡(jiǎn)單地解釋矩估計(jì)的思想方法

矩估計(jì)的思想方法是用樣本矩估計(jì)總體相應(yīng)的矩，通過(guò)解方程將未知參數(shù)用樣本的函數(shù)表出，便是未知參數(shù)的矩估計(jì)量。其理論根據(jù)是樣本矩依概率收斂于總體相應(yīng)的矩，即隨著樣本容量n的增大，樣本矩與總體相應(yīng)矩?zé)o差異的可能性越來(lái)越大，有差異的可能性越來(lái)越小。當(dāng)總體X的分布中有一個(gè)未知參數(shù)時(shí)，一般是用樣本一階原點(diǎn)矩估計(jì)總體一階原點(diǎn)矩，即用樣本均值估計(jì)X的數(shù)學(xué)期望E（X）。事實(shí)上，用估計(jì)E（X）是生活中經(jīng)常用到的，比如測(cè)量一個(gè)物體的長(zhǎng)度時(shí)，由于測(cè)量誤差永遠(yuǎn)不會(huì)得到物體長(zhǎng)度真正的精確數(shù)值，多次測(cè)量得到物體長(zhǎng)度可能會(huì)互有小的差別，這樣測(cè)量到的物體的長(zhǎng)度是隨機(jī)變量X。設(shè)第i次測(cè)量的結(jié)果是隨機(jī)變量Xi，若測(cè)量n次，則相當(dāng)于從總體X中抽取樣本（X1，X2，…，Xn），求物體的長(zhǎng)度就是求E（X）。在實(shí)際操作時(shí)為了使結(jié)果更加精確，一般會(huì)多次測(cè)量后取平均值作為物體的長(zhǎng)度，這個(gè)平均值就是的觀察值，這里是用作為E（X）的估計(jì)值。顯然，測(cè)量次數(shù)越多，與E（X）沒有差異的可能性就越小。

例2總體X的分布密度是f（x）=θxθ-1，0x1；

0，其他.求θ的矩估計(jì)量。

首先求E（X），有E（X）=∫10xθxθ-1dx=∫10θxθdx=θθ+1，然后令θ^θ^+1=X，得θ的矩估計(jì)量θ^=X1-X。

問(wèn)題一：令θ^+1=X，好像就是令E（X）=X，那么X與E（X）是同一個(gè)概念嗎？回答是否定的，必須分清X與E（X）。X是樣本的均值，是對(duì)X的n次觀測(cè)后得到的n個(gè)結(jié)果X1，X2，…，Xn的平均值，而E（X）是總體X的均值，亦即X的數(shù)學(xué)期望，二者是兩個(gè)不同的概念，但它們之間有依概率收斂的關(guān)系。令θ^θ^+1=X是用X估計(jì)E（X），并不是說(shuō)成立E（X）=X，所以“令E（X）=X”的說(shuō)法是不嚴(yán)格的。

問(wèn)題二：令θ^θ^+1=X中，為何θ要帶上“^”，不帶“^”，行否？這里E（X）=θθ+1沒任何問(wèn)題，但使θ^θ^+1=X成立的θ^不是真正的θ，真正的θ未知，所以要估計(jì)它，而使該式成立的“θ”是θ的估計(jì)量θ^，因此不帶“^”，是不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)摹?

上述“問(wèn)題一”和“問(wèn)題二”是在數(shù)理統(tǒng)計(jì)教學(xué)中碰到的學(xué)生常問(wèn)的兩個(gè)問(wèn)題，講清楚這兩個(gè)問(wèn)題可以有針對(duì)性地解決學(xué)生的困惑，促使學(xué)生理解和掌握矩估計(jì)的思想方法。

3通俗簡(jiǎn)單地解釋假設(shè)檢驗(yàn)的思想方法

假設(shè)檢驗(yàn)的推理思想就是數(shù)學(xué)上反證法的思想，在推斷時(shí)應(yīng)用了實(shí)際推斷原理，即“認(rèn)為小概率事件在一次試驗(yàn)中不會(huì)發(fā)生”。實(shí)際推斷原理是在日常生活中廣泛應(yīng)用的，像“火車、飛機(jī)和輪船事故”、“買彩票中大獎(jiǎng)”等等均是小概率事件，而在乘坐火車、飛機(jī)和輪船時(shí)，一般不會(huì)顧慮是否會(huì)發(fā)生事故。買彩票后，對(duì)未中大獎(jiǎng)會(huì)有一個(gè)理智的心態(tài)，也就是已經(jīng)認(rèn)為這些小概率事件不會(huì)發(fā)生。

假設(shè)檢驗(yàn)的推理過(guò)程也是生活中常見的，比如超市在銷售某種食品時(shí)，可以“先嘗后買”[2]。 銷售者宣稱該種食物的口感非常好，若銷售者說(shuō)的是正確的，則從該種食物中任挑一個(gè)品嘗，口感好的概率應(yīng)很大，口感不好的概率應(yīng)很小。在決定是否購(gòu)買時(shí)，先品嘗一下，若感到口感不好，相當(dāng)于在假定口感好的情況下，發(fā)生了小概率事件，與實(shí)際推斷原理矛盾，從而拒絕口感好的假定，認(rèn)為銷售者的宣稱不對(duì)。顯然多次品嘗均感覺口感不好應(yīng)是概率更小的事件，相當(dāng)于顯著性水平α更小，因此若多次品嘗均感覺口感不好，則認(rèn)為銷售者的宣稱不對(duì)應(yīng)更加堅(jiān)決。由此可以看出“先嘗后買”的方法與假設(shè)檢驗(yàn)的思想是完全一致。

在假設(shè)檢驗(yàn)中，拒絕域的確立和在日常生活中的推理也是完全一致的。

例3設(shè)某校同學(xué)的身高X～N（μ，σ2），其中σ2已知，該校一名同學(xué)稱“該校全體學(xué)生身高的平均值是1.68 m左右”。想大致驗(yàn)證這名同學(xué)說(shuō)法的一個(gè)顯然的辦法是從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取若干個(gè)人，量其身高并算得平均值。若比1.68大的很多或比1.68小的很多，當(dāng)然會(huì)否定這名同學(xué)的說(shuō)法，否則就沒法從這一辦法的結(jié)果中找到這名同學(xué)說(shuō)法的毛病，而不得不認(rèn)可這名同學(xué)的說(shuō)法。事實(shí)上，在承認(rèn)這名同學(xué)的說(shuō)法正確的前提下，隨機(jī)抽取若干個(gè)人的身高的平均值比1.68大的很多或小的很多都是小概率事件。上述簡(jiǎn)單的推理過(guò)程正是教學(xué)中一個(gè)正態(tài)總體均值的假設(shè)檢驗(yàn)，設(shè)顯著性水平為α，考慮到σ2已知，應(yīng)用檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量U=X-1.68σ/n且將其觀察值記為u，在假定身高的平均值是1.68的情況下，推出拒絕域?yàn)閨u|u1-α2，這個(gè)拒絕域?qū)嶋H上為|-1.68|u1-α2σn，即比1.68過(guò)大就是1.68+u1-α2σn，而比1.68過(guò)小就是1.68-u1-α2σn。根據(jù)樣本值，當(dāng)比1.68過(guò)大或過(guò)小時(shí)，拒絕“全體學(xué)生身高的平均值是1.68 m”這樣的說(shuō)法。

類似地可解釋單側(cè)檢驗(yàn)的方法，比如該校一名同學(xué)又稱“該校全體學(xué)生身高的平均值至少為1.68 m”。顯然比1.68越大，人們就越相信該同學(xué)的說(shuō)法；相反比1.68越小，人們就越懷疑該同學(xué)的說(shuō)法。當(dāng)比1.68小的很多時(shí)，人們當(dāng)然會(huì)拒絕這名同學(xué)的說(shuō)法。仍然設(shè)顯著性水平為α且σ2已知，教學(xué)中在假定身高的平均值至少為1.68 m的情況下，推出拒絕域?yàn)閡-u1-α。由u=-1.68σ/n知，u-u1-α實(shí)際上為1.68-u1-ασn，如若這樣，則人們認(rèn)為比1.68過(guò)小了，發(fā)生了小概率事件，拒絕接受“全體學(xué)生身高的平均值至少為1.68 m”的說(shuō)法。

教學(xué)中，還可結(jié)合生活實(shí)例和學(xué)生的問(wèn)題對(duì)最大似然估計(jì)，區(qū)間估計(jì)等內(nèi)容的思想方法進(jìn)行通俗而簡(jiǎn)單的解釋。教學(xué)的實(shí)踐表明對(duì)數(shù)理統(tǒng)計(jì)的思想方法進(jìn)行通俗、簡(jiǎn)單而直觀的解釋是提高教學(xué)效果的好辦法，這使思想方法顯得更加簡(jiǎn)單、通俗易懂、貼近實(shí)際，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，特別是對(duì)基礎(chǔ)較差學(xué)生更具有很大的幫助作用，使他們感到所學(xué)的內(nèi)容并非高不可攀，從而增強(qiáng)學(xué)好數(shù)理統(tǒng)計(jì)課的信心。

參考文獻(xiàn)

[1] 金大永，徐勇.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)[M].北京：高等教育出版社，2011：139140.

[2] 尹江麗.數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程教學(xué)方法探討[J].數(shù)學(xué)教學(xué)研究，2013，32（1）：6566.

Explaining thinking method of mathematical statistics popularly and simply

LI Jinghe

（School of Science，Hebei University of Technology，Tianjin300401，China）

Abstract For the actual situation of the student studying mathematical statistics，combining with examples in life and student′s confusion，the paper explains sample and sample value，the thinking method of estimation by the method of moments and hypothesis testing popularly and simply.In this way，students master the teaching content of mathematical statistics more easily and better classroom teaching effect can be obtained.

Key words popularly and simply； examples in life； thinking method； sample； estimation by the method of moments； hypothesis testing