胡金華

【摘 要】數(shù)學方法是科學方法中重要的一種，它不僅被物理學廣泛應用，而且也成為其它眾多自然學科的重要方法。高中物理電磁學內(nèi)容多、難度大，且在高考理綜考試中所占比重較大，這些內(nèi)容涉及到的試題經(jīng)常要用到一定的數(shù)學知識，那么如果能夠靈活運用這些數(shù)學方法來處理電磁學問題，將能起到事半功倍的效果。本文就這個問題談談函數(shù)法、不等式法、圖象法及幾何法等在高中物理電磁學中的應用。

【關鍵詞】數(shù)學方法；高中物理；電磁學

1.引言

國家高考物理科考試大綱明確提出考生應具備的第四種能力“應用數(shù)學處理物理問題的能力：能夠根據(jù)具體問題列出物理量之間的關系式，進行推導和求解，并根據(jù)結果得出物理結論，能運用幾何圖形、函數(shù)圖像進行表達、分析”，這里所要考查的就是要有靈活運用數(shù)學方法處理物理問題的能力。所謂數(shù)學方法，就是在科學技術工作中，把客觀事物的狀態(tài)關系和過程用數(shù)學語言表達出來，進行推導、演算和分析，以形成對問題的判斷、解釋和預言的方法。下面就以電磁學為例談談幾種數(shù)學方法在高中物理電磁學中的應用。

2.函數(shù)法

在電磁學問題中，經(jīng)常需要確定兩個物理量間的變化所對應關系（包括極值問題），這就需要利用函數(shù)思想來完成，同時函數(shù)也是進行物理推導判斷的重要數(shù)學工具。在高中物理電磁學中主要用到的是一次函數(shù)、一元二次函數(shù)和三角函數(shù)。

2.1一次函數(shù)的應用

在電磁學問題中用到的一次函數(shù)有形如y=ax或y=ax/（ax+b）a≠0，b≠0形式。一次函數(shù)y=ax描述的是y與x之間呈線性關系，比如在靜電場中討論F與E、U與d、Q與U等兩個量間的關系用的就是這種函數(shù)。

觀察函數(shù)y=ax/（ax+b（a≠0，b≠0））不難發(fā)現(xiàn)，分子分母都有未知量x（自變量），如果x增加（減小），則分子、分母都同時增加（減小），這樣無法確定因變量y的變化情況。但是如果把分子、分母都同時除以x，函數(shù)就變?yōu)閥=a/（a+b/x）關系就非常明朗了，y隨x的增大而增大，y隨x的減小而減小。這種一次函數(shù)在討論閉合電路中路端電壓隨外電阻變化等類似問題中經(jīng)常有用到。

例1：設一個閉合電路中，電源電動勢為E，內(nèi)阻為r，外電路為純電阻電路電阻為R，路端電壓為U外，試討論當R發(fā)生變化時，U外如何變化？

分析與解：這類問題既可用閉合電路歐姆定律E=U外+Ir（間接法，較易，本文不做討論）求解，也可用部分電路歐姆定律（直接法）求解。如果用直接法如何討論呢？根據(jù)部分電路歐姆定律有U外=IR①，又由閉合電路歐姆定律有I=E/（R+r）②，把②代入①有U外=ER/（R+r），這就轉(zhuǎn)化成了形如一次函數(shù)y=ax/（ax+b），故U外=ER/（r+R）=E/（1+r/R）可見U外隨R的增大而增大，隨R的減小而減小。因此當外電路斷開即R→∞時，有U外=E，此為直接測量法測電源電動勢的依據(jù)；當外電路短路時即R→0，故。U外=0。

2.2一元二次函數(shù)的應用

在處理外電路為純電阻電路中電源輸出功率隨外電路電阻變化規(guī)律以及討論滑動變阻器分壓接法電路中■或■示數(shù)變化情況等類似問題，可以把電阻這個動態(tài)變化物理量轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)y=ax2+bx+c形式，將這個函數(shù)進行配方整理有：y=a（x+b/2a）2-（4ac-b2）/4a，可見當x=-b/2a時，y有最值（4ac-b2）/4a。當a>0時，y有最小值，當a<0時，y有最大值。

例2：如圖1所示，電源電動勢E=6V，內(nèi)阻為r=1？萃，滑動變阻器R的總阻值為11？萃，固定電阻R0=3？萃，求當滑動變阻器從a到b過程中，■的讀數(shù)范圍。

分析與解：令■讀數(shù)I，并設ap部分電阻為x，則pb部分電阻為11-x，根據(jù)閉合電路歐姆定律及并聯(lián)電路的電流分配關系：I=6/（R并+11-x+r）×3/（x+3）=18/（-（x-6）2+72）

可見當x=0時，Imax=0.5A，x=6？萃時，Imax=0.25A，故■示數(shù)范圍為從0.25A到0.5A連續(xù)變化

3.不等式法

不等式可用在半定量討論、推斷及求解極值問題，如在討論等量同種電荷中垂線上場強大小變化、某些并聯(lián)電路中■或■示數(shù)變化以及在兩大小材料均相同的同種電荷接觸后放回原處過程中庫侖力大小變化問題中，如果條件滿足均可以運用重要不等式a+b≥2■（a、b均為正數(shù)）或a+b+c≥33■討論最值：當和有定值，則積有最大值；反之當積有定值，則和有最小值。

例3.如圖3所示，已知R1=2？萃，R2=3？萃，滑動變阻器的最大值R3=5？萃，則當滑動片P從a滑到b過程中，電流表示數(shù)的最小值為多少？

分析與解：由閉合電路歐姆定律可知電流表示數(shù)有最小值時，外電路電阻有最大值，設ap部分電阻為x，則bp部分為5-x，1/R并=1/（2+x）+1/（3+（5-x）），化簡可得R并=（2+x）（8-x）10，令a=2+x，b=8-x，而a+b=10，故當且僅當a=b即2+x=8-x亦即x=3？萃時ab≤（a+b）/4，故有（2+x）（8-x）≤（102/4）？萃=25？萃，所以■示數(shù)最小值Imin.=2A。

4.幾何法

在處理靜電場中某帶電體受到庫侖力、重力、拉力等三個共點力的動態(tài)平衡問題時，如果直接運用平衡條件結合力的分解（正交分解）處理該類問題，過程非常繁瑣，這里可充分運用帶電體（質(zhì)點）所受力的矢量三角形與對應另一個由長度組成的純標量三角形相似，這就是應用了平衡條件中相似三角形法，然后根據(jù)題目條件可在短時間內(nèi)快速準確解決要討論的問題。

例5：一根絕緣細線下拴一帶電小球A，細線上的上端固定在天花板上，在懸點正下方某適當位置，固定另一帶同種電荷小球B，A靜止時，懸線與豎直方向成θ角，如圖6所示。現(xiàn)緩慢增加B的帶電量使θ角逐漸增大，則有關A球所受力的變化，下列說法正確的是（ ）

A.懸線的拉力大小不變 B.懸線拉力逐漸增大

C.庫侖力逐漸增大 D.庫侖力大小可能不變

分析與解：設懸線長為L，如圖7所示，掛在細線下端的小球在重力、細線拉力和電荷之間的庫侖斥力這三個力的作用下處于平衡狀態(tài)。由平衡條件的相似三角形可知：△OAB～△ACD，即L/G=L/F=AB/F，可見細線的拉力T=G不變，而庫侖力隨著AB的增大而增大。故本題正確答案為AC。

6.結論

數(shù)學方法在高中物理電磁學中應用廣泛而且巧妙，本文主要描述了函數(shù)法、不等式法、圖象法及幾何法，但有時在解決某些復雜電磁學問題時可能要用到上述這些方法中的兩種或兩種以上，甚至還可能用到其它方法如極限法。因此，在解題時可通過聯(lián)想、數(shù)理結合、數(shù)形結合來靈活地選擇合適的數(shù)學方法來解決電磁學問題，這將對提高解決電磁學問題的能力大有裨益。

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