胡金華

【摘 要】數(shù)學(xué)方法是科學(xué)方法中重要的一種，它不僅被物理學(xué)廣泛應(yīng)用，而且也成為其它眾多自然學(xué)科的重要方法。高中物理電磁學(xué)內(nèi)容多、難度大，且在高考理綜考試中所占比重較大，這些內(nèi)容涉及到的試題經(jīng)常要用到一定的數(shù)學(xué)知識(shí)，那么如果能夠靈活運(yùn)用這些數(shù)學(xué)方法來(lái)處理電磁學(xué)問(wèn)題，將能起到事半功倍的效果。本文就這個(gè)問(wèn)題談?wù)労瘮?shù)法、不等式法、圖象法及幾何法等在高中物理電磁學(xué)中的應(yīng)用。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)方法；高中物理；電磁學(xué)

1.引言

國(guó)家高考物理科考試大綱明確提出考生應(yīng)具備的第四種能力“應(yīng)用數(shù)學(xué)處理物理問(wèn)題的能力：能夠根據(jù)具體問(wèn)題列出物理量之間的關(guān)系式，進(jìn)行推導(dǎo)和求解，并根據(jù)結(jié)果得出物理結(jié)論，能運(yùn)用幾何圖形、函數(shù)圖像進(jìn)行表達(dá)、分析”，這里所要考查的就是要有靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)方法處理物理問(wèn)題的能力。所謂數(shù)學(xué)方法，就是在科學(xué)技術(shù)工作中，把客觀(guān)事物的狀態(tài)關(guān)系和過(guò)程用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)出來(lái)，進(jìn)行推導(dǎo)、演算和分析，以形成對(duì)問(wèn)題的判斷、解釋和預(yù)言的方法。下面就以電磁學(xué)為例談?wù)剮追N數(shù)學(xué)方法在高中物理電磁學(xué)中的應(yīng)用。

2.函數(shù)法

在電磁學(xué)問(wèn)題中，經(jīng)常需要確定兩個(gè)物理量間的變化所對(duì)應(yīng)關(guān)系（包括極值問(wèn)題），這就需要利用函數(shù)思想來(lái)完成，同時(shí)函數(shù)也是進(jìn)行物理推導(dǎo)判斷的重要數(shù)學(xué)工具。在高中物理電磁學(xué)中主要用到的是一次函數(shù)、一元二次函數(shù)和三角函數(shù)。

2.1一次函數(shù)的應(yīng)用

在電磁學(xué)問(wèn)題中用到的一次函數(shù)有形如y=ax或y=ax/（ax+b）a≠0，b≠0形式。一次函數(shù)y=ax描述的是y與x之間呈線(xiàn)性關(guān)系，比如在靜電場(chǎng)中討論F與E、U與d、Q與U等兩個(gè)量間的關(guān)系用的就是這種函數(shù)。

觀(guān)察函數(shù)y=ax/（ax+b（a≠0，b≠0））不難發(fā)現(xiàn)，分子分母都有未知量x（自變量），如果x增加（減小），則分子、分母都同時(shí)增加（減?。?，這樣無(wú)法確定因變量y的變化情況。但是如果把分子、分母都同時(shí)除以x，函數(shù)就變?yōu)閥=a/（a+b/x）關(guān)系就非常明朗了，y隨x的增大而增大，y隨x的減小而減小。這種一次函數(shù)在討論閉合電路中路端電壓隨外電阻變化等類(lèi)似問(wèn)題中經(jīng)常有用到。

例1：設(shè)一個(gè)閉合電路中，電源電動(dòng)勢(shì)為E，內(nèi)阻為r，外電路為純電阻電路電阻為R，路端電壓為U外，試討論當(dāng)R發(fā)生變化時(shí)，U外如何變化？

分析與解：這類(lèi)問(wèn)題既可用閉合電路歐姆定律E=U外+Ir（間接法，較易，本文不做討論）求解，也可用部分電路歐姆定律（直接法）求解。如果用直接法如何討論呢？根據(jù)部分電路歐姆定律有U外=IR①，又由閉合電路歐姆定律有I=E/（R+r）②，把②代入①有U外=ER/（R+r），這就轉(zhuǎn)化成了形如一次函數(shù)y=ax/（ax+b），故U外=ER/（r+R）=E/（1+r/R）可見(jiàn)U外隨R的增大而增大，隨R的減小而減小。因此當(dāng)外電路斷開(kāi)即R→∞時(shí)，有U外=E，此為直接測(cè)量法測(cè)電源電動(dòng)勢(shì)的依據(jù)；當(dāng)外電路短路時(shí)即R→0，故。U外=0。

2.2一元二次函數(shù)的應(yīng)用

在處理外電路為純電阻電路中電源輸出功率隨外電路電阻變化規(guī)律以及討論滑動(dòng)變阻器分壓接法電路中■或■示數(shù)變化情況等類(lèi)似問(wèn)題，可以把電阻這個(gè)動(dòng)態(tài)變化物理量轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)y=ax2+bx+c形式，將這個(gè)函數(shù)進(jìn)行配方整理有：y=a（x+b/2a）2-（4ac-b2）/4a，可見(jiàn)當(dāng)x=-b/2a時(shí)，y有最值（4ac-b2）/4a。當(dāng)a>0時(shí)，y有最小值，當(dāng)a<0時(shí)，y有最大值。

例2：如圖1所示，電源電動(dòng)勢(shì)E=6V，內(nèi)阻為r=1？萃，滑動(dòng)變阻器R的總阻值為11？萃，固定電阻R0=3？萃，求當(dāng)滑動(dòng)變阻器從a到b過(guò)程中，■的讀數(shù)范圍。

分析與解：令■讀數(shù)I，并設(shè)ap部分電阻為x，則pb部分電阻為11-x，根據(jù)閉合電路歐姆定律及并聯(lián)電路的電流分配關(guān)系：I=6/（R并+11-x+r）×3/（x+3）=18/（-（x-6）2+72）

可見(jiàn)當(dāng)x=0時(shí)，Imax=0.5A，x=6？萃時(shí)，Imax=0.25A，故■示數(shù)范圍為從0.25A到0.5A連續(xù)變化

3.不等式法

不等式可用在半定量討論、推斷及求解極值問(wèn)題，如在討論等量同種電荷中垂線(xiàn)上場(chǎng)強(qiáng)大小變化、某些并聯(lián)電路中■或■示數(shù)變化以及在兩大小材料均相同的同種電荷接觸后放回原處過(guò)程中庫(kù)侖力大小變化問(wèn)題中，如果條件滿(mǎn)足均可以運(yùn)用重要不等式a+b≥2■（a、b均為正數(shù)）或a+b+c≥33■討論最值：當(dāng)和有定值，則積有最大值；反之當(dāng)積有定值，則和有最小值。

例3.如圖3所示，已知R1=2？萃，R2=3？萃，滑動(dòng)變阻器的最大值R3=5？萃，則當(dāng)滑動(dòng)片P從a滑到b過(guò)程中，電流表示數(shù)的最小值為多少？

分析與解：由閉合電路歐姆定律可知電流表示數(shù)有最小值時(shí)，外電路電阻有最大值，設(shè)ap部分電阻為x，則bp部分為5-x，1/R并=1/（2+x）+1/（3+（5-x）），化簡(jiǎn)可得R并=（2+x）（8-x）10，令a=2+x，b=8-x，而a+b=10，故當(dāng)且僅當(dāng)a=b即2+x=8-x亦即x=3？萃時(shí)ab≤（a+b）/4，故有（2+x）（8-x）≤（102/4）？萃=25？萃，所以■示數(shù)最小值Imin.=2A。

4.幾何法

在處理靜電場(chǎng)中某帶電體受到庫(kù)侖力、重力、拉力等三個(gè)共點(diǎn)力的動(dòng)態(tài)平衡問(wèn)題時(shí)，如果直接運(yùn)用平衡條件結(jié)合力的分解（正交分解）處理該類(lèi)問(wèn)題，過(guò)程非常繁瑣，這里可充分運(yùn)用帶電體（質(zhì)點(diǎn)）所受力的矢量三角形與對(duì)應(yīng)另一個(gè)由長(zhǎng)度組成的純標(biāo)量三角形相似，這就是應(yīng)用了平衡條件中相似三角形法，然后根據(jù)題目條件可在短時(shí)間內(nèi)快速準(zhǔn)確解決要討論的問(wèn)題。

例5：一根絕緣細(xì)線(xiàn)下拴一帶電小球A，細(xì)線(xiàn)上的上端固定在天花板上，在懸點(diǎn)正下方某適當(dāng)位置，固定另一帶同種電荷小球B，A靜止時(shí)，懸線(xiàn)與豎直方向成θ角，如圖6所示?，F(xiàn)緩慢增加B的帶電量使θ角逐漸增大，則有關(guān)A球所受力的變化，下列說(shuō)法正確的是（ ）

A.懸線(xiàn)的拉力大小不變 B.懸線(xiàn)拉力逐漸增大

C.庫(kù)侖力逐漸增大 D.庫(kù)侖力大小可能不變

分析與解：設(shè)懸線(xiàn)長(zhǎng)為L(zhǎng)，如圖7所示，掛在細(xì)線(xiàn)下端的小球在重力、細(xì)線(xiàn)拉力和電荷之間的庫(kù)侖斥力這三個(gè)力的作用下處于平衡狀態(tài)。由平衡條件的相似三角形可知：△OAB～△ACD，即L/G=L/F=AB/F，可見(jiàn)細(xì)線(xiàn)的拉力T=G不變，而庫(kù)侖力隨著AB的增大而增大。故本題正確答案為AC。

6.結(jié)論

數(shù)學(xué)方法在高中物理電磁學(xué)中應(yīng)用廣泛而且巧妙，本文主要描述了函數(shù)法、不等式法、圖象法及幾何法，但有時(shí)在解決某些復(fù)雜電磁學(xué)問(wèn)題時(shí)可能要用到上述這些方法中的兩種或兩種以上，甚至還可能用到其它方法如極限法。因此，在解題時(shí)可通過(guò)聯(lián)想、數(shù)理結(jié)合、數(shù)形結(jié)合來(lái)靈活地選擇合適的數(shù)學(xué)方法來(lái)解決電磁學(xué)問(wèn)題，這將對(duì)提高解決電磁學(xué)問(wèn)題的能力大有裨益。

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